复变数对偶边界元素法研究课件

複變數對偶邊界元素法研究報告人 陳鈺文海洋大學河海工程研究所中華民國八十七年六月四號複變數阿達馬主值之觀念及其應用陳正宗 教授海洋大學河海工程研究所，基隆八十八年電子計算機於土木水利工程應用會議中華民國八十九年二月十七日十八日，台中綱 要研究動機以阿達馬主值求解基本解複變數對偶邊界元素法結論研 究 動 機對偶邊界元素法實數域核函數的超奇異性計算難度較繁雜傳統複變數邊界元素法變量(u,v)退化邊界問題?變量(t)?複變數對偶邊界元素法主值與基本解以複數域阿達馬主值求解基本解高 階 極 點 的 路 徑 積 分極點以往如何處置如何將極點降階ReIm二階極點RRx0數 線abxReImCR xs11ReImCR xsReImC4C二階極點C1C3xsd U x sdxxs22(,)()Usei s(,)12 12121(,)(,)UsU x seedi si x CCCCC1340fzi xs eizx s()()()()1000 CCCf zifz1340010020lim()()()()CCHPVf zifz1300102lim()()()()121122H PVzedzxsiz x s()()輔助系統控制方程阿 達 馬 主 值ReIm二階極點RRf zzzdzC()()02 f zf zfzzzfzzz()()()()()!()()()010020022 f zzzd zC()()02 f zzzd zC()()002 fzzzd zC()()100+fzd zC()()!202 lim()()0002f zzzd zC=f z()lim002 lim()()0100fzzzd zC=ifz()()10lim()()000213RCCf zzzd z=f z()lim002lim()()010013RCCfzzzd z=0C段CPV段將發散的部分予與扣除泰勒展開主 值柯西主值(C.P.V.)阿達馬主值(H.P.V.)C PVg xxbdxg xxbdxg xxbdxbcabac()lim()()0HPVh xxbdxCPVh xxbdxh bacac ()()()()lim()2202abcg xxb()xabch xxb()()2x複變數對偶邊界元素法域內點實數域對偶積分方程式2 u xT s xu sU s x t sdBsB()(,)()(,)()()2 t xMs xu sL s x t sdBsB()(,)()(,)()()Us xr(,)lnT s xU s xns(,)(,)L s xU s xnx(,)(,)Ms xU s xnnsx(,)(,)2其中，r 代表 x 與 s 的距離，與分別表示在 x 與 s 點的法向量nxns邊界點實數域對偶邊界積分方程式 ,uxC PVTs xus dBsUs xt s dBsxbBB()(,)()()(,)()(),t xH PVMs xu s dBsCPVL s xt s dBsxbBB()(,)()()(,)()()域內點複數域對偶積分方程式 ()()(),zittzd tzDB12柯西積分公式 ()()(),zittzd tzDB122阿達馬積分公式 ()(,)(,)zu x yiv x y邊界點複數域對偶邊界積分方程式 ()()(),ziCPVttzd tzBB1 ()()(),ziH PVttzd tzBB12Re()zuxIm()y zutznznRe()Im()12ComplexComplexReal邊界積分方程之離散化 ()()()()()zittzd titzd ttiiBjNjijjBj 1111 ()()()()()zittzd titzd ttiiBjNjijjBj111212Ctzd ti jjijBj11 ()影響係數Ctzd ti jjijBj221 ()影響係數數 值 分 析影響係數矩陣的秩數rankCNp qRNN 11rankCNp qINN 11rankCCNp qRp qINN 112rankCCNp qIp qRNN 112rankCCCCNp qRp qIp qIp qRNN 11112222rankCCCCnCn CnCn CNp qRp qIp qIp qRp qRp qIp qIp qRNN 111112221222322()()CiCPVtzd tp qqpqBp qq 111()影響係數CiHPVtzd tp qqpqBq 2211()影響係數CCnCn CnCn Cuvtp qRp qIp qRp qIp qIp qRNNqqNpN 11122212222221210()()CCnCn CnCn Cuvtp qIp qRp qRp qIp qIp qRNNqqNpN 11122212222221210()()CCCCnCn CnCn Cuvtp qRp qIp qIp qRp qRp qIp qIp qRNNqqNp 111112221222322100()()31N方式一，配合SVD方式二，配合SVD方式三，配合SVD方式四(由方式三與Least-Square)，配合SVD奇 異 值 分 解 法奇異值為零或數值趨近於零就會出現問題，愈接近於零的奇異值會致使解對於資料的誤差非常敏感，為避免解空間被不正常的放大這需要分析者對問題本身的經驗來決定。帶入邊界條件後，為過定的方程（Eq.No.unknow No.），以及有 v 角色的輔助，出現上述劣性情況相對降低。Axbmnmnnm11,AUVmnmmmnn nT xAb1AVUnT111 diag1,方 形 正 規 邊 界 算 例 2u(x,y)=0u=0u=1t=0t=0(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)2u(x,y)=0t=-1t=1t=0t=0(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)解析解為 u(x,y)=xMixed type B.C.Neumann type B.C.邊界效應對 t 與 u 的影響藉由 u 與 v 建構起 t。也因常數元素的模擬產生邊界效應，此邊界效應對 u 值的影響較小，但對 t 值影響較大。剛體運動項貢獻在何方uxvy1v=y+c1與給定邊界條件有關混合邊界條件與 Dirichlet 邊界條件c1貢獻量全由 v 吸收 Neumann 混合邊界條件c1貢獻量由 u 與 v 吸收u=x 力 平 衡 條 件ttttKKKKKKKKKKKKKKKKuuvv1234111217182122272831323738414247481414 t1t3t2t4tNN140MN MNK181400()亦即矩陣的每一列(column)所有元素和為零。若不是等常數元素則需將元素長度(li)乘ti，才是力平衡條件。實數域下的力平衡條件角域部分的誤差量較大。採力平衡檢驗實數域下的結果較由複數域誤差量較小。U tT u tUT u1 L tM u tLM u1 常數場與不含極點的封閉路徑積分 Auvti jjjj Aucvcti jjjj12 Acci j120解一解 二解 三每一行(row)所有元素和為零時，常數元素所造成的差量顯示了複數域下的定常解檢驗較實數域模式佳。亦可利用留數定理再次檢驗離散化後邊界積分方程在此封閉積分中並不包任何極點在內，相對的無論 u 值與 v 值為何，其結果應為零。矩 形 退 化 邊 界 算 例 2u(x,y)=0u=-1u=1t=0t=0(-1,-0.5)(-1,0.5)(1,0.5)(1,-0.5)(0,0)t=0t=0四種組合求解方式的比較方式一正規邊界之順序如左對於退化邊界，方式一、二的束制條件不足無法做單一考量，以方式四的效果為佳方式四方式三方式二佳較差結 論提出了兩個驗核方法，一為常數場解，另一為平衡條件。自柯西積分公式可得阿達馬積分公式，可簡化奇異積分方程與超奇異積分方程的計算過程。對退化邊界問題提出解決之道。未 來 研 究 方 向嘗試以線性元素模擬時，如何滿足超奇異核函數之密度函數微分需連續的要求。如何推廣到三維問題。由平衡條件檢定，可建構誤差評估指標，進行自適性網格切割。拉普拉斯方程在退化邊界時：element：nodet=0t=0t=0t=0t=0t=0u=1u=-12u=0CR10 01 09860 18370 47780 45810 45810 00 80471 09860 00 80470 00 45810 45810 47780 18390 61190 80470 00 80470 11160 11160 61190 00 47780 00 80470 00 34660 34661 09860 18390 51080 51080.19281 41660 00 01 41660 19280 51080 51080 19281 41660 00 01 41660 19280 00 47780 18391 09860 34660 34660 00 80470 80470 61190 00 61190 11160 11160 80470 0.CR24 01 33330 20510 06150 60 60 81 61 33334 01 60 80 60 60 06150 20510 32940 80 00 80 20 20 32940 00 06150 81 641 01 01 33330 20510 640 640 30120 9412.0 00 00 94120 30120 640 640 30120 94120 00 00 94120 30120 80 06150 20511 33331 01 04 01 60 80 32940 00 32940 20 20 80 0.CI10 00 58800 51920 32180 32180 9273110720 0110720 92730 32180 32180 51920 58800 218811072110720 46370 46370 21880 490 51910 9273110720 78540 78540 00 58800 92730 92730 88851 32581 32580.88850 92730 92730 88851 32581 32580 88850 92730 51910 58800 00 78540 785411072110720 21880 490 21870 46370 463711072.CI20 00 00 30770 49230 20 20 00 80 00 00 80 00 20 20 49230 30770 28241 64 01 60 40 40 28240 23530 49230 00 80 01 01 00 00 30770 85330 85330 71533 7647.8 08 03 76470 71530 85330 85330 71533 76478 08 03 76470 71530 00 49230 30770 01 01 00 00 81 60 28240 23530 28260 40 41 64 0.CiC P VtzdtpqqpqBpqq 111()影響係數CiHP VtzdtpqqpqBq 2211()影響係數留 數 定 理若 z0 為 f(z)的m階極點：則在 z0 之留數表示式為R zmddzzzf zzzmmm()()!lim()()0110110研 究 動 機以往對偶邊界元素法均建構在實數域，複數域中核函數的超強奇異性，可簡化實數域計算上的困難度傳統的複變數邊界元素法只引用變量u與v傳統的複變數邊界元素法 v.s.含退化邊界的問題加入複變數對偶邊界元素法中的第二式，提高擁有的束制方程