3.3排序不等式

排序不等式排序不等式三三?,?,:.,.,.,.,.,小小个个三三角角形形的的面面积积之之和和最最使使得得到到的的才才能能如如何何一一一一搭搭配配个个三三角角形形面面积积之之和和最最大大得得到到的的才才能能使使边边上上的的点点如如何何一一一一搭搭配配边边上上的的点点与与问问不不同同因因而而三三角角形形面面积积也也可可能能不不同同得得到到的的不不同同搭搭配配的的方方法法显显然然个个三三角角形形得得到到一一共共可可以以这这样样一一一一搭搭配配得得到到连连结结某某个个点点与与选选取取某某个个点点边边也也依依次次取取点点沿沿个个点点边边依依次次取取沿沿自自点点设设如如图图探探究究nnOBOAOBAnOBAnjBjniABBBOBAAAnOAOAOBjijiinn 212113321211B2BO1A2AiAnAjBnBAB133.图图 .,.,nnjjiibbbbaaaanJibOBaOA 32132121得得由已知条件由已知条件设设:,sin,sin代数问题代数问题归结为下面的归结为下面的上面的几何问题就可以上面的几何问题就可以于是于是数数是常是常而而的面积是的面积是因为因为2121jijibaOBA?,何时取得最大值何时取得最大值个乘积的和个乘积的和问以下的问以下的的任何一个排列的任何一个排列是数组是数组nnnncacacaSnbbbccc 22112121 .:,.,21332211212312112121SSSbabababaSbabababaSbbbaaaSnnnnnnnn 下下面面的的不不等等式式应应该该成成立立几几何何直直觉觉告告诉诉我我们们作作同同样样的的定定义义我我们们对对一一般般的的实实数数组组也也称称为为和和的的按按相相同同顺顺序序相相乘乘所所得得积积称称为为所所得得积积的的和和其其中中按按相相反反顺顺序序相相乘乘的的和和叫叫做做数数组组我我们们把把上上面面的的和和乱乱序序和和反反序序和和顺顺序序.顺顺序序和和乱乱序序和和即即反反序序和和 和和 .,反反序序和和是是否否最最小小最最大大看看看看顺顺序序和和是是否否试试试试和和例例如如数数不不妨妨用用两两组组为为初初步步检检验验上上面面的的直直觉觉探探究究654321.,明明下下面面我我们们进进行行一一般般性性证证直直觉觉一一定定正正确确但但这这还还不不能能完完全全说说明明致致检检验验的的结结果果会会与与直直觉觉一一 .,!,!,最大值和最小值其中必有个数个的不同的值也只有有限所以个的全排列只有因为的任一排列是数为两组设证明ncacacaSnbbbbbbcccbbbaaannnnnnn 22112121212121 .,kkcckbcbc 11111则有某若式考虑nnkkkcacacaScc 111,得对换中将 .0111111 kkkkkkccaacacacacaSS得 .,和式不减小后中的第一项调换为这说明将11ba.,并进行类似讨论则转而考察若211cbc .,和式不减小后项换为第二中的第一项换为将可以证明类似地2211baba .,2SSci 即最大和数是顺序和排序的情况由小到大能是数组大和数所对应的情况只最可知一切和中经有限步调整如此继续下去.,11SS 即最小和数是反序和同样可证.是正确的面的直觉至此我们已经证明了前因此21SSS?,?么什么条件下两者相等么什么条件下两者相等那那如果能如果能能相等吗能相等吗与反序和与反序和顺序和顺序和思考思考12SS.,212121SSSbbbaaann 即顺序和等于反序和时或当容易发现 ,.,),(,jkilljkikklljjiikljinnbabababababababaSSbbaanklklnjijibbbaaa 2212111考虑和数的方法用类似上面证明使得和则一定可以找到也不全相等并且不全相等如果事实上 ,jkilkjlikklljjiibabababababababaSS 2 .,SSbbaaSSSlkij即而且的形式这两个和数都符合前面可以看出0.21SSSS 进而得得得归结上面证明的结论归结上面证明的结论,.,.,序序和和等等于于顺顺序序和和反反时时或或当当且且仅仅当当那那么么的的任任一一排排列列是是为为两两组组实实数数设设又又称称排排序序原原理理排排序序不不等等式式定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbcccbbbaaainequalitysequence 212122112211112121212121.,式的应用式的应用下面举例说明排序不等下面举例说明排序不等不等式得到证明不等式得到证明助排序助排序许多重要不等式可以借许多重要不等式可以借便于记忆和使用便于记忆和使用明了明了它的思想简单它的思想简单重要的不等式重要的不等式排序不等式也是基本而排序不等式也是基本而?,.,总总时时间间等等于于多多少少这这个个最最少少的的少少使使他他们们等等候候的的总总时时间间最最人人的的顺顺序序个个应应如如何何安安排排问问只只有有一一个个水水龙龙头头时时各各不不相相同同假假定定这这些些分分钟钟个个人人的的水水桶桶需需要要第第设设水水龙龙头头注注满满人人各各拿拿一一只只水水桶桶去去接接水水有有例例101021101iittii ;,.,分分人所需等候的总时间是人所需等候的总时间是接这桶水时接这桶水时分分若第一个接水的人需若第一个接水的人需为数学问题为数学问题即转化即转化需要将它数学化需要将它数学化这是一个实际问题这是一个实际问题分析分析111010tt第二个接水的人第二个接水的人;,分分人人所所需需等等候候的的总总时时间间是是接接这这桶桶水水时时分分需需2299tt.,分分需需要要只只有有他他一一人人在在等等人人接接水水时时到到第第如如此此继继续续下下去去1010t人人都都接接满满水水所所需需的的按按这这个个顺顺序序所所以以10,.1021910ttt 是是分分等等待待总总时时间间.,最最小小满满足足什什么么条条件件这这个个和和数数现现在在考考虑虑学学模模型型这这个个和和数数就就是是问问题题的的数数1021ttt .1021910ttt 是分等待总时间解.,时间取最小值总时当根据排序不等式1021ttt ,人等候的总时间最少依次接水按水桶的大小由小到大这就是说10这个最少时间是.1021910ttt .1021ttt 其中.,22322121321312112naaaannaaann 求证求证个互不相同的正整数个互不相同的正整数是是设设例例.,证明的思路证明的思路不等式不等式由此可以联想到用排序由此可以联想到用排序对应另一列数是对应另一列数是可以猜想到与可以猜想到与子子观察问题中的式观察问题中的式排序排序此它们可以从小到大地此它们可以从小到大地因因个互不相同的正整数个互不相同的正整数是是分析分析2222121131211naaanaaann .,nnnbbbaaabbb 212121且满足的一个排列是设证明.,nbbbbbbnn 212121故是互不相同的正整数因得由排序不等式又因,222131211n 2232212232213232nbbbbnaaaann 222131321211nn .n131211