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2.4抛物线抛物线及其标准方程一、抛物线的定义一、抛物线的定义定点定点F F定直线定直线l相等相等思考思考:定义中为什么加上条件定义中为什么加上条件“l“l不经过不经过F F?提示提示:假设点假设点F F在直线在直线l l上上,满足条件的动点满足条件的动点P P的轨迹是过点的轨迹是过点F F且且垂直于垂直于l l的直线的直线,而不是抛物线而不是抛物线.二、抛物线的标准方程二、抛物线的标准方程标准方程标准方程图形图形焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)(,0)(,0)x=-x=-y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)_p2p2(-,0)(-,0)p2x=x=p2标准方程标准方程图形图形焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程x x2 2=2py=2py(p0)(p0)_x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)_(0,)(0,)p2y=y=p2(0,)(0,)p2y=y=p2判断判断:(:(正确的打正确的打“,错误的打错误的打“)(1)(1)抛物线的方程都是二次函数抛物线的方程都是二次函数.(.()(2)(2)抛物线的焦点到准线的距离是抛物线的焦点到准线的距离是p.(p.()(3)(3)抛物线的开口方向由一次项确定抛物线的开口方向由一次项确定.(.()提示提示:(1)(1)错误错误.抛物线的方程不都是二次函数抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的如开口向右的抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),对任一个对任一个x x的值的值,y,y的值不唯一的值不唯一,所以不是二次函数所以不是二次函数.(2)(2)正确正确.在抛物线标准方程中在抛物线标准方程中,p0,p0,焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为p.p.(3)(3)正确正确.一次项是一次项是x x项时项时,p0,p0开口向右开口向右,p0,p0,p0开口向上开口向上,p0,p0,pp0,p越大越大,抛物线开口越开阔抛物线开口越开阔,反之反之越扁狭越扁狭.(3)(3)四种标准方程的位置的相同点四种标准方程的位置的相同点:原点在抛物线上原点在抛物线上;焦点在坐标轴上焦点在坐标轴上;准线与焦点在原点两侧准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直且准线与其中一条坐标轴垂直.3.3.抛物线的焦点及开口方向抛物线的焦点及开口方向4.4.抛物线与二次函数的关系抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),当当b,cb,c为为0 0时时,y=ax,y=ax2 2表示焦点在表示焦点在y y轴上的抛物线轴上的抛物线,标准方程为标准方程为x x2 2=y,a0=y,a0时抛物线时抛物线开口向上开口向上,a0,a0a0时时,抛物线开口向右抛物线开口向右,焦点坐标是焦点坐标是(,0),(,0),准线方程是准线方程是x=-;x=-;当当a0a0),y2=2px(p0),那么那么22=2p1,22=2p1,解得解得p=2,p=2,抛物线方程为抛物线方程为y2=4x;y2=4x;当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在y y轴上时轴上时,设抛物线的方程为设抛物线的方程为x2=2py(p0),x2=2py(p0),那么那么12=2p2,12=2p2,解得解得p=,p=,抛物线方程为抛物线方程为x2=y.x2=y.方法二方法二:设所求抛物线的标准方程为设所求抛物线的标准方程为y2=mxy2=mx或或x2=ny,x2=ny,将点将点(1,2)(1,2)代入代入,得得m=4,n=.m=4,n=.故所求的方程为故所求的方程为y2=4xy2=4x或或x2=y.x2=y.14121212【拓展提升拓展提升】1.1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2.2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)(1)把握开口方向与方程间的对应关系把握开口方向与方程间的对应关系.(2)(2)当抛物线的类型没有确定时当抛物线的类型没有确定时,可设方程为可设方程为y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,这这样可以减少讨论情况的个数样可以减少讨论情况的个数.(3)(3)注意注意p p与与 的几何意义的几何意义.p2【变式训练】【变式训练】(2021(2021新课标全国卷新课标全国卷)设抛物线设抛物线C:y2=2px C:y2=2px(p0)(p0)的焦点为的焦点为F,F,点点M M在在C C上上,|MF|=5,|MF|=5,假设以假设以MFMF为直径的圆过点为直径的圆过点(0,2),(0,2),那么那么C C的方程为的方程为()A.y2=4xA.y2=4x或或y2=8x B.y2=2xy2=8x B.y2=2x或或y2=8xy2=8xC.y2=4xC.y2=4x或或y2=16x D.y2=2xy2=16x D.y2=2x或或y2=16xy2=16x【解析】选【解析】选C.C.由题意知：由题意知：准线方程为准线方程为x=x=那么由抛物那么由抛物线的定义知，线的定义知，xM=5-xM=5-设以为直径的圆的圆心为设以为直径的圆的圆心为所以圆方程为所以圆方程为 又因为过点又因为过点(0,2)(0,2)，所以，所以yM=4yM=4，又因为点在上，所以，又因为点在上，所以16=16=解得解得p=2p=2或或p=8p=8，所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为y2=4xy2=4x或或y2=16x.y2=16x.pF(,0)2，p2，p2，My5(,)22，22My525(x)(y).224p2p(5)2，类型类型 三三 抛物线的实际应用抛物线的实际应用 【典型例题】【典型例题】1.1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部,灯口所灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处灯泡位于抛物线焦点处,灯口的灯口的直径是直径是24cm,24cm,灯深灯深10cm,10cm,那么灯泡与反射镜顶点那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线即截得抛物线顶点顶点)间的距离是间的距离是.2.2.一辆卡车高一辆卡车高3m,3m,宽宽1.6m,1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道欲通过断面为抛物线形的隧道,拱口拱口ABAB宽恰好是拱高宽恰好是拱高CDCD的的4 4倍倍,假设拱宽为假设拱宽为am,am,求能使卡车通过的求能使卡车通过的a a的最小整数值的最小整数值.【解题探究】【解题探究】1.1.对于实际问题的抛物线模型对于实际问题的抛物线模型,建系有什么原那建系有什么原那么么?2.2.解答实际问题应注意什么解答实际问题应注意什么?探究提示探究提示:1.1.一般地一般地,遇抛物线模型的实际问题时遇抛物线模型的实际问题时,要注意把抛物线建在要注意把抛物线建在标准位置标准位置,即顶点在坐标原点即顶点在坐标原点,焦点建在坐标轴上焦点建在坐标轴上.2.2.解答本类题时解答本类题时,一要合理画出图形一要合理画出图形;二要建立恰当的直角坐二要建立恰当的直角坐标系标系;三要关注点的坐标和图形中线段的对应关系三要关注点的坐标和图形中线段的对应关系.【解析】【解析】1.1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x x轴轴,抛物线的抛物线的顶点为坐标原点顶点为坐标原点,建立直角坐标系建立直角坐标系xOy,xOy,如下图如下图.因灯口直径因灯口直径|AB|=24,|AB|=24,灯深灯深|OP|=10,|OP|=10,所以点所以点A A的坐标是的坐标是(10,12).(10,12).设抛物线的方程为设抛物线的方程为y2=2px(p0),y2=2px(p0),由点由点A(10,12)A(10,12)在抛物线上在抛物线上,得得122=2p122=2p10,10,所以所以p=7.2.p=7.2.所以抛物线的焦点所以抛物线的焦点F F的坐标为的坐标为(3.6,0).(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点因此灯泡与反射镜顶点间的距离是间的距离是3.6cm.3.6cm.答案答案:3.6cm:3.6cm2.2.以拱顶为原点以拱顶为原点,拱高所在直线为拱高所在直线为y y轴轴,建立如下图的直角坐标系建立如下图的直角坐标系.设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py(p0),x2=-2py(p0),那么点那么点B B的坐标为的坐标为(),(),由点由点B B在抛物线上在抛物线上,()2=-2p(-),p=,()2=-2p(-),p=,抛物线方程为抛物线方程为x2=-ay.x2=-ay.aa,24a2a4a2将点将点E(0.8,y)E(0.8,y)代入抛物线方程代入抛物线方程,得得y=-y=-点点E E到拱底到拱底ABAB的距离为的距离为解得解得a12.21,aa12.21,a取整数取整数,aa的最小整数值为的最小整数值为13.13.0.64.aaa0.64y3.44a【拓展提升拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤求解抛物线实际应用题的五个步骤【变式训练】某隧道横断面由抛物线及矩【变式训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成形的三边组成,尺寸如下图尺寸如下图,某卡车空车某卡车空车时能通过此隧道时能通过此隧道,现载一集装箱现载一集装箱,箱宽箱宽3m,3m,车与箱共高车与箱共高4.5m,4.5m,问此车能否通过该隧道问此车能否通过该隧道?说明理由说明理由.【解析解析】在以抛物线的顶点为坐标原点在以抛物线的顶点为坐标原点,以过顶点的水平直线以过顶点的水平直线为为x x轴建立的直角坐标系中轴建立的直角坐标系中,点点A A的坐标为的坐标为(3,-3),(3,-3),设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=-2py,=-2py,抛物线方程为抛物线方程为x x2 2=-3y.=-3y.如果此车能通过隧道如果此车能通过隧道,卡车和集装箱应处于以卡车和集装箱应处于以y y轴为对称轴的轴为对称轴的对称位置对称位置,把点把点(x,-0.5)(x,-0.5)代入代入x x2 2=-3y=-3y得得x x2 2=-3=-3(-0.5),(-0.5),xx1.22.1.22.因此因此,高度为高度为4.5m4.5m处处,允许的宽度约为允许的宽度约为2 21.22=2.443,1.22=2.440),y2=2px(p0),那么由题意知那么由题意知:p=3,:p=3,所求抛物线的方程为所求抛物线的方程为:y2=6x.:y2=6x.323232323252【拓展提升拓展提升】定义法求抛物线方程的关键定义法求抛物线方程的关键抛物线的轨迹问题抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解既可以用轨迹法直接求解,也可以转化为也可以转化为抛物线的定义求解抛物线的定义求解.后者的关键是找到条件满足动点到定点的后者的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离距离等于到定直线的距离,有时需要依据条件进行转化有时需要依据条件进行转化.【易错误区】求抛物线焦点和弦长时的误区【易错误区】求抛物线焦点和弦长时的误区【典例】【典例】(2021(2021南昌高二检测南昌高二检测)从抛物线从抛物线y2=4xy2=4x上一点上一点P P引抛引抛物线准线的垂线物线准线的垂线,垂足为垂足为M,M,且且|PM|=5,|PM|=5,设抛物线的焦点为设抛物线的焦点为F,F,那那么么MPFMPF的面积为的面积为.【解析】【解析】抛物线方程为抛物线方程为y2=4x,y2=4x,那么准线方程为那么准线方程为x=-1.x=-1.令令P P点坐标为点坐标为P(x0,y0),P(x0,y0),由图可知由图可知,|PM|=x0+1=5.|PM|=x0+1=5.x0=4.x0=4.把把x0=4x0=4代入代入y2=4x,y2=4x,解得解得y0=y0=4,4,MPFMPF的面积为的面积为|PM|PM|y0|=|y0|=5 54=10.4=10.答案答案:10:101212【误区警示误区警示】【防范措施】【防范措施】1.1.准确记住抛物线的焦点和准线准确记住抛物线的焦点和准线在抛物线方程中在抛物线方程中,一次项系数与焦点的横或纵坐标间是一次项系数与焦点的横或纵坐标间是“4“4倍倍关系关系,要牢记公式要牢记公式,不能失误不能失误,如本例中准线方程为如本例中准线方程为x=-1.x=-1.2.2.加强图形之间的联系与直观性加强图形之间的联系与直观性在解析几何的解题中在解析几何的解题中,要加强图形的直观要加强图形的直观,对结论性的知识应对结论性的知识应利用图形加强记忆利用图形加强记忆,防止运算中使用错误结论防止运算中使用错误结论,如本例中如本例中PMPM的的长可表示为长可表示为x0+1=5.x0+1=5.3.3.注意抛物线定义的应用注意抛物线定义的应用抛物线的定义比较灵活抛物线的定义比较灵活,要注意灵活应用要注意灵活应用,往往是往往是“看到焦点看到焦点,想到准线想到准线;看到准线看到准线,想到焦点想到焦点,这有利于问题的解决这有利于问题的解决.【类题试解】【类题试解】(2021(2021新课标全国卷新课标全国卷)O)O为坐标原点，为坐标原点，F F为抛为抛物线物线C C：y2=y2=的焦点，的焦点，P P为为C C上一点，假设上一点，假设|PF|=|PF|=那么那么POFPOF的面积为的面积为()()【解析】选【解析】选C.C.设设P(x1,y1)P(x1,y1)，那么，那么|PF|=|PF|=解解得得 因为因为P P为为C C上一点，那么上一点，那么 得得|y1|=|y1|=所以所以S SPOF=POF=4 2x4 2，A.2 B.2 2 C.2 3 D.411pxx24 22，1x3 2.211y4 2x4 23 224，2 6，122 62 3.21.1.抛物线抛物线x=4yx=4y2 2的准线方程是的准线方程是()A.y=A.y=B.y=-1B.y=-1 C.x=-C.x=-D.x=D.x=【解析解析】选选C.C.抛物线的标准方程是抛物线的标准方程是y y2 2=x,=x,这里这里p=,p=,所以准线方程为所以准线方程为x=-.x=-.121161814181162.2.抛物线抛物线y y2 2=8x=8x的焦点到准线的距离是的焦点到准线的距离是()A.1A.1 B.2 B.2 C.4 C.4 D.8 D.8【解析解析】选选C.C.抛物线抛物线y y2 2=8x=8x的焦点坐标为的焦点坐标为(2,0),(2,0),准线方程为准线方程为x=-2,x=-2,所以焦点到准线的距离为所以焦点到准线的距离为4.4.3.3.点点P P为抛物线为抛物线y2=2pxy2=2px上任一点上任一点,F,F为焦点为焦点,那么以那么以P P为圆心为圆心,以以|PF|PF|为半径的圆与准线为半径的圆与准线l(l()A.A.相交相交 B.B.相切相切C.C.相离相离 D.D.位置由位置由F F确定确定【解析】选【解析】选B.B.根据抛物线的定义根据抛物线的定义,|PF|,|PF|等于点等于点P P到准线到准线l l的距离的距离,即圆心即圆心P P到直线到直线l l的距离等于半径的距离等于半径|PF|,|PF|,所以半径为所以半径为|PF|PF|的圆的圆P P与准线与准线l l相切相切.4.4.设抛物线设抛物线y2=4xy2=4x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是2,2,那么点那么点P P到该抛物到该抛物线焦点的距离是线焦点的距离是()A.1A.1 B.2 B.2 C.3 C.3 D.4 D.4【解析】选【解析】选C.C.由由y2=4xy2=4x可知可知,点点P P在在y y轴的右侧轴的右侧,且准线方程为且准线方程为x=-1,Px=-1,P到到y y轴的距离为轴的距离为2,P2,P到准线的距离为到准线的距离为3,3,根据定义可根据定义可知知,P,P到焦点的距离是到焦点的距离是3.3.5.5.假设直线假设直线ax-y+1=0ax-y+1=0经过抛物线经过抛物线y2=4xy2=4x的焦点的焦点,那么实数那么实数a=a=.【解析】把【解析】把y2=4xy2=4x的焦点坐标的焦点坐标(1,0)(1,0)代入代入ax-y+1=0ax-y+1=0得得a+1=0,a+1=0,即即a=-1.a=-1.答案答案:-1:-16.6.抛物线的顶点在原点抛物线的顶点在原点,对称轴是对称轴是x x轴轴,抛物线上的点抛物线上的点M(-3,m)M(-3,m)到焦点的距离等于到焦点的距离等于5,5,求抛物线的方程和求抛物线的方程和m m的值的值.【解析】设抛物线方程为【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0),y2=-2px(p0),那么焦点那么焦点F(-,0),F(-,0),由题意可得由题意可得解得解得 或或 故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为y2=-8x.my2=-8x.m的值为的值为2 .2 .222m6ppm(3)52,m2 6p4,m2 6p4,6p2
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