线性空间与线性变换习题

第六章第六章 习题课习题课 定义定义:设设V是一个非空集合是一个非空集合,R为实数域为实数域.如果对于如果对于任意两个元素任意两个元素,V,总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 V与之与之对应对应,称称 为为 与与 的和的和(简称简称加法运算加法运算),记作记作 =+.若对于任一数若对于任一数 R与任一元素与任一元素 V,总有唯一的总有唯一的元素元素 V与之对应与之对应,称称 为为数数 与与 的积的积(简称简称数乘运算数乘运算),记作记作 =.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那那么么,就称就称V为为数域数域R上的向量空间上的向量空间(或或线性空间线性空间):设设,O O V,1,l,k R,(1)加法交换律加法交换律:+=+;(2)加法结合律加法结合律:(+)+)+=+(+(+);(3)零元素零元素:存在存在O O V,对任一向量对任一向量 ,有有+O=;(4)负元素负元素:对任一对任一元素元素 V,存在存在 V,有有+=O O,记记 =;(5)1 =;(6)数乘结合律数乘结合律:k(l )=(l k);(7)数乘对加法的分配律数乘对加法的分配律:k(+)=k+k ;(8)数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律:(k+l)=k+l .1.零元素是唯一的零元素是唯一的.2.负元素是唯一的负元素是唯一的.3.0=0;(1)=;0=0.4.如果如果=0,则则 =0 或或 =0.定义定义2:设设V是一个线性空间是一个线性空间,L是是V的一个非空子的一个非空子集集,如果如果L对于对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间成一个线性空间,则称则称L为为V的的子空间子空间.定理定理:线性空间线性空间V的非空子集的非空子集L构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是必要条件是:L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭.定义定义:在线性空间在线性空间V中中,如果存在如果存在n个元素个元素 1,2,n V,满足满足:(1)1,2,n 线性无关线性无关;(2)V中任意元素中任意元素 总可以由总可以由 1,2,n线性表示线性表示,则称则称 1,2,n为线性空间为线性空间V的一个的一个基基,称称n为线性空为线性空间间V的的维数维数.当一个线性空间当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向中存在任意多个线性无关的向量时量时,就称就称V是是无限维的无限维的.维数为维数为n的线性空间的线性空间V称为称为n维线性空间维线性空间,记作记作Vn.若若 1,2,n为为Vn的一个基的一个基,则则Vn可表示为可表示为:Vn=x1 1+x2 2+xn n|x1,x2,xn R 定义定义:设设 1,2,n为线性空间为线性空间Vn的一个基的一个基,对对任意任意 V,总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数x1,x2,xn,使使 =x1 1+x2 2+xn n,则称有序数组则称有序数组 x1,x2,xn 为为元素元素 在基在基 1,2,n下的坐标下的坐标,并记作并记作 =(x1,x2,xn)T.线性空间线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同在不同的基下所对应的坐标一般不同.在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标它们的运算就归结为坐标的运算的运算,因而对线性空间因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间的讨论就归结为线性空间Rn的讨论的讨论.定义定义:设设U,V是两个线性空间是两个线性空间,如果它们的元素之如果它们的元素之间有一一对应关系间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的且这个对应关系保持线性组合的对应对应,那末就称线性空间那末就称线性空间U与与V同构同构.结论结论1.同一数域同一数域P上的同维数线性空间都同构上的同维数线性空间都同构;结论结论2.同构的线性空间之间具有同构的线性空间之间具有等价性等价性.同构的意义同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间无论构成线性空间的元素是什么的元素是什么,其中的运算是如何定义的其中的运算是如何定义的,我们所关心我们所关心的只是这些运算的代数的只是这些运算的代数(线性运算线性运算)性质性质.从这个意义从这个意义上可以说上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的同构的线性空间是可以不加区别的,而有限而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.+=+=+=nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111 设设 1,2,n及及 1,2,n是是n维线性空间维线性空间Vn的的两个基两个基,且有且有称以上公式为称以上公式为基变换公式基变换公式.在基变换公式中在基变换公式中,矩阵矩阵P称为由基称为由基 1,2,n到到基基 1,2,n的的过渡矩阵过渡矩阵,过渡矩阵过渡矩阵P是是可逆的可逆的.(1,2,n)=(1,2,n)P将上式用矩阵形式表示为将上式用矩阵形式表示为:定理定理1:设设n维线性空间维线性空间Vn中的元素中的元素,在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为:(x1,x2,xn)T,在基在基 1,2,n 下的坐标为下的坐标为:(x1,x2,xn)T,若两个基满足关系式若两个基满足关系式:(1,2,n)=(1,2,n)P.则有则有坐标变换公式坐标变换公式:,2121 =nnxxxPxxx.21121 =nnxxxPxxx或或 反之反之,若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式公式,则两个基满足基变换公式则两个基满足基变换公式:(1,2,n)=(1,2,n)P.定义定义:设有两个非空集合设有两个非空集合A,B,如果对于如果对于A中任一中任一元素元素,按照一定按照一定规则规则,总有总有B中一个确定的元素中一个确定的元素 和它和它对应对应,那么那么,这个对应规则称为从集合这个对应规则称为从集合A到集合到集合B的的变变换换(或称或称映射映射),记作记作 =T()或记作或记作 =T (A).设设 A,T()=,就说变换就说变换T把元素把元素 变为变为,称称 为为 在变换在变换T下的下的象象,称称 为为 在变换在变换T下的下的源源(或或象源象源),称称A为变换为变换T的的源集源集,象的全体所构成的集合称为象的全体所构成的集合称为象集象集,记作记作T(A),即即变换概念是函数概念的推广变换概念是函数概念的推广.T(A)=T()|A.显然显然,T(A)B.定义定义:设设Vn,Um分别是实数域分别是实数域R上的上的n维和维和m维线维线性空间性空间,T是一个从是一个从Vn到到Um的变换的变换,如果变换如果变换T满足满足:(1)任给任给 1,2 Vn,都有都有T(1+2)=T(1)+T(2);(2)任给任给 Vn,k R,都有都有T(k)=kT().则称则称T为从为从Vn到到Um的的线性变换线性变换.一个从线性空间一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性到其自身的线性变换称为线性空间空间Vn中的线性变换中的线性变换.零变换零变换O:O()=0恒等变换恒等变换(或称单位变换或称单位变换)E:E()=,V,1.T(0)=0,T()=T().2.若若 =k1 1+k2 2+km m,则则 T =k1T 1+k2T 2+kmT m.3.若若 1,2,m 线性相关线性相关,则则T 1,T 2,T m亦线性相关亦线性相关.注意注意:若若 1,2,m 线性无关线性无关,则则T 1,T 2,T m不一定线性无关不一定线性无关.4.线性变换线性变换T的象集的象集T(Vn)是线性空间是线性空间Vn的一个子的一个子空间空间,称称T(Vn)为线性变换为线性变换T的的象空间象空间.5.ST=|T 1=0,Vn(经经T变换到变换到0的全体元素的全体元素构成的集合构成的集合)是是Vn的子空间的子空间.称称ST为线性变换为线性变换T的的核核.对对Rn上的线性变换上的线性变换:T(x)=Ax,x Rn,则有则有 (1)T(x)=Ax的的象空间象空间T(Rn)就是由就是由 1,2,n 所所生成的向量空间生成的向量空间:即即T(Rn)=y=x1 1+x2 2+xn n|x1,x2,xn R (2)T(x)=Ax的的核核ST就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组Ax=0的解的解空间空间.表示表示,其中其中A=(T(e1),T(e2),T(en)Rn中任何线性变换中任何线性变换T,都可用关系式都可用关系式T(x)=Ax (x Rn),212222111211 =nnnnnnaaaaaaaaae1,e2,en为单位坐标向量组为单位坐标向量组.+=+=+=nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 22112222112212211111)()()(定义定义:设设T是线性空间是线性空间Vn中的线性变换中的线性变换,在在Vn中取中取定一个基定一个基 1,2,n,如果这个基在变换如果这个基在变换T下的象为下的象为其中其中T(1,2,n)=(T(1),T(2),T(n),则上式可表示为则上式可表示为记记T(1,2,n)=(1,2,n)A,212222111211 =nnnnnnaaaaaaaaaA则称则称A为为线性变换线性变换T在基在基 1,2,n下的矩阵下的矩阵.结论结论:在在Vn中取定一个基后中取定一个基后:由线性变换由线性变换T可唯一可唯一地确定一个矩阵地确定一个矩阵A;反之反之,由一个矩阵由一个矩阵A也可唯一地确也可唯一地确定一个线性变换定一个线性变换T.在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下,线性变换与矩阵是一一线性变换与矩阵是一一对应的对应的.定理定理1:设线性空间设线性空间Vn中取定两个基中取定两个基:由基由基 1,2,n到基到基 1,2,n的过渡矩阵为的过渡矩阵为P,Vn中的线性变换中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为A和和B,那那末末B=P-1AP.1,2,n;,定义定义:线性变换线性变换T的象空间的象空间T(Vn)的维数的维数,称为线性称为线性变换变换T的秩的秩.若若A是线性变换是线性变换T的矩阵的矩阵,则则T的秩就是的秩就是R(A).若线性变换若线性变换T的秩为的秩为r,则则T的核的核ST的维数为的维数为nr.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加乘运算通常实数间的加乘运算,则只需检验运算的封闭性则只需检验运算的封闭性.(2)一个集合一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的常的实数间的加加,乘运算乘运算,则则必需必需检验是否满足检验是否满足八条线八条线性运算规律性运算规律.例例1:正实数的全体记作正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘在其中定义加法及乘数运算为数运算为:a b=a+b,a=a,(R,a,b R+)问问R+对上述加法与乘数运算是否构成对上述加法与乘数运算是否构成(实数域实数域R上的上的)线性空间线性空间.解解:可以验证可以验证,所定义的运算是上的运算所定义的运算是上的运算.但对于但对于八条运算规律并不都成立八条运算规律并不都成立.对对(7),(8)两条不成立两条不成立.例如例如,(8)(k+l)a=ak+l=ak al 所以所以,R+对所定义的运算不构成线性空间对所定义的运算不构成线性空间.ak+al=ak al=ka l a.例例1:设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,问在什么条件下满足问在什么条件下满足xAxT=0的的n维实向量维实向量 x=(x1,x2,xn)构成构成Rn的子空间的子空间?解解:记记V=x=(x1,x2,xn)|xAxT=0 显然显然0 V,所以所以V非空非空.对任意的对任意的 x V,k R,有有xAxT=0.(kx)A(kx)T=k2(xAxT)=0,则则所以所以 kx V.因此因此,V构成构成Rn的子空间的条件为的子空间的条件为:对任意的对任意的 x,y V,有有(x+y)A(x+y)T=0.而而(x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT由于由于x,y V,则有则有xAxT=0,yAyT=0.所以所以,(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT=2xAyT=0故故,V构成构成Rn的子空间需要再增加条件的子空间需要再增加条件:对任意的对任意的 x,y V,有有xAyT=0.证一证一:因为因为Px2是是3维线性空间维线性空间,所以所以Px2中任意中任意三个线性无关的向量都构成它的一组基三个线性无关的向量都构成它的一组基.例例3:证明证明:1,x1,(x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基,并并求向量求向量 1+x+x2 在这组基下的坐标在这组基下的坐标.而而 1,x1,(x2)(x1)Px2,令令k11+k2(x1)+k3(x2)(x1)=0(k1k2+2k3)+(k23k3)x+k3x2=0整理得整理得比较等式两边得比较等式两边得,00302332321 =+kkkkkk 由方程组易得由方程组易得 k1=k2=k3=0,于是于是1,x1,(x2)(x1)线性无关线性无关,所以所以1,(x1),(x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基.设设1+x+x2在给定基在给定基1,(x1),(x2)(x1)下的坐标为下的坐标为:(a1,a2,a3)T.则有则有1+x+x2=a11+a2(x1)+a3(x2)(x1),整理得整理得比较等式两边得比较等式两边得:1+x+x2=(a1a2+2a3)+(a23a3)x+a3x2,11312332321 =+aaaaaa,143321 =aaa解得解得:所以所以 1+x+x2 在给定基下的坐标为在给定基下的坐标为:(3,4,1)T.1+x+x2=3+4(x1)+(x2)(x1).即即 证二证二:已知已知 1,x,x2 是是Px2的一组基的一组基,而而 1,(x1),(x2)(x1)Px2,所以所以,1,(x1),(x2)(x1)由由1,x,x2 线线性表示性表示;又由于又由于 +=+=)1)(2(1)1(311)1(1111112xxxxxx即即 1,x,x2 可以由可以由 1,(x1),(x2)(x1)线性表示线性表示,所以所以两个向量组等价两个向量组等价.故它们有相同的秩故它们有相同的秩,而而1,x,x2线性线性无关无关,因此因此,1,(x1),(x2)(x1)也线性无关也线性无关.从而从而1,x1,(x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基.(1)又由又由(1)式得式得,由基由基1,(x1),(x2)(x1)到到1,x,x2的的过渡矩阵为过渡矩阵为:,100310111 =P即即显然显然,1+x+x2在给定基在给定基1,x,x2下的坐标为下的坐标为:(1,1,1)T.则则1+x+x2在基在基1,(x1),(x2)(x1)下的坐标为下的坐标为:(1,x,x2)=(1,(x1),(x2)(x1)P.即即1+x+x2=(1,x,x2)(1,1,1)T.=(1,(x1),(x2)(x1)P(1,1,1)T.=(1,(x1),(x2)(x1)111100310111 143=(1,(x1),(x2)(x1).143 1+x+x2=3+4(x1)+(x2)(x1).即即 例例4:在在R3中中,求由基求由基 1=(1,0,0)T,2=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T,通过过渡矩阵通过过渡矩阵所得到的新基所得到的新基 1,2,3,并求并求 =12 2+3在基在基 1,2,3下的表达式下的表达式.=100110011A解解:由题设有由题设有(1,2,3)=(1,2,3)A=(1,2,3)100110011=(1,1+2,2+3)再由再由 1=(1,0,0)T,2=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T,得得 1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T,为所求的新基为所求的新基.5211001100111 =12 2+3=(1,2,3)(1,2,5)T=(1,2,3)A-1(1,2,5)T=(1,2,3)521100110111,532 =(1,2,3)=(1,2,3)故故 =2 1+3 2+5 3.例例5:设设R4的两组基的两组基:求由基求由基 1,2,3,4到基到基 1,2,3,4的过渡矩阵的过渡矩阵,并写并写出相应的坐标变换公式出相应的坐标变换公式.;1110,1211,0011,01214321 =.1234,2143,3412,43214321 =解一解一:由过渡矩阵的定义有由过渡矩阵的定义有 +=+=+=+=)4()3()2()1(4443342241144443333223113344233222211224413312211111 aaaaaaaaaaaaaaaa整理得整理得 +=1110121100110121432141312111aaaa由方程由方程(1)得得,432221413141311141312111312111 =+=+=+aaaaaaaaaaaa,26161141312111 =aaaa解得解得:同理可以从方程同理可以从方程(2),(3),(4)求出其余的求出其余的aij,从而确从而确定出过渡矩阵定出过渡矩阵.从上面的解法可以看到从上面的解法可以看到,由定义出发由定义出发,利用解方程利用解方程组组,求出线性表达式中的系数求出线性表达式中的系数,得到过渡矩阵得到过渡矩阵,这种方这种方法计算量太大法计算量太大.因此因此,当线性表达式不容易得到时当线性表达式不容易得到时,可可采用下面的解法采用下面的解法.解二解二:引入一组新的基引入一组新的基:.1000,0100,0010,00011111 =eeee.1100120111120111 =A(1,2,3,4)=(e1,e2,e3,e4)A.于是于是其中其中.1234214334124321 =B(1,2,3,4)=(e1,e2,e3,e4)B.又又其中其中(1,2,3,4)=(1,2,3,4)A-1B.从基从基 1,2,3,4到基到基 1,2,3,4的过渡矩阵为的过渡矩阵为:.1234214334124321 11100120111120111 P=A-1B=因此因此,从基从基 1,2,3,4到基到基 1,2,3,4的基变换的基变换公式为公式为:对任意的对任意的 R4,设其在基设其在基 1,2,3,4和基和基 1,2,3,4下的坐标分别为下的坐标分别为(x1,x2,x3,x4)T和和(y1,y2,y3,y4)T.则坐标变换公式为则坐标变换公式为:,432114321 =xxxxPyyyy.43214321 =yyyyPxxxx或或 例例6:判断下列变换是否为线性变换判断下列变换是否为线性变换.(1)在线性空间在线性空间V中中,定义变换定义变换 1()=+,V,其中其中 是是V中的一个固定向量中的一个固定向量.(2)在在R3中中,定义变换定义变换 2(x1,x2,x3)=(x12,x2+x3,x32),其中其中=(x1,x2,x3)R3.解解(1):对任意的对任意的,V,k R,1(+)=(+)+,1()+1()=(+)+(+)=(+)+2,1(k)=k+,k 1()=k(+)=k+k,当当 0时时,1不是线性变换不是线性变换;当当=0时时,1是线性变换是线性变换.所以所以,解解(2):对任意的对任意的=(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3)V,则则 2(+)=(x1+y1)2,(x2+y2)+(x3+y3),(x3+y3)2)2()+2()=(x12,(x2+x3),x32)+(y12,(y2+y3),y32)=(x12+y12,(x2+x3)+(y2+y3),x32+y32)所以所以,2(+)2()+2(),因此因此,2不是线性变换不是线性变换.例例7:全体二阶实矩阵构成实数域全体二阶实矩阵构成实数域R上的线性空间上的线性空间V,取固定实数矩阵取固定实数矩阵,=dcbaA在在V中定义变换中定义变换 :(X)=AXXA,X V.(1)证明证明 是是V中的一个线性变换中的一个线性变换;(2)证明对任意的证明对任意的X,Y V,恒有恒有(XY)=(X)Y+X(Y);(3)在在V中取一组基中取一组基:,1000,0100,0010,00014321 =EEEE写出写出 在该基下的矩阵在该基下的矩阵.证明证明(1):对任意的对任意的X,Y V,k R,(X+Y)=A(X+Y)(X+Y)A=AX+AYXAYA=(AXXA)+(AYYA)=(X)+(Y).(kX)=A(kX)(kX)A=k(AXXA)=k(X)故故 是是V上的一个线性变换上的一个线性变换.证明证明(2):对任意的对任意的X,Y V,(XY)=A(XY)(XY)A=(AX)YX(YA)=(AX)Y(XA)Y+X(AY)X(YA)=(AXXA)Y+X(AYYA)=(X)Y+X(Y)=dcbadcba00010001(E1)=AE1E1A =00cb=bE2+cE3.同理可得同理可得,(E2)=cE1+(ad)E2+cE4(E3)=bE1+(da)E3bE4(E4)=bE2cE4,000000 bccadcbdabbc.000000 =bccadcbdabbcB(E1,E2,E3,E4)所以所以=(E1,E2,E3,E4)即即,线性变换线性变换 在基在基E1,E2,E3,E4下的矩阵为下的矩阵为:解解:如果按定义直接写出如果按定义直接写出(i)(i=1,2,3)被被 1,2,3线性表示出的表达式相当麻烦线性表示出的表达式相当麻烦,为了简化运算为了简化运算,可引可引入一组新基入一组新基:例例8:在线性空间在线性空间R3中取基中取基 1=(1,0,2)T,2=(0,1,2)T,3=(1,2,5)T,线性变换线性变换 使得使得 (1)=(2,0,1)T,(2)=(0,0,1)T,(3)=(0,1,2)T,求求 在基在基 1,2,3下的矩阵下的矩阵.e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,则则,522210101 =A(1,2,3)=(e1,e2,e3)A,其中其中,211100002 =B(e1,e2,e3)=(1,2,3)A-1,于是于是而而(1,2,3)=(e1,e2,e3)B,其中其中 =21110000252221010111BA.0151210013 =故故(1,2,3)=(1,2,3)A-1B,其中其中,210,101,011,521,210,201321321 =例例9:在在R3中取两组基中取两组基:定义线性变换定义线性变换 :,210)(,100)(,102)(321 =求求 在基在基 1,2,3下的矩阵下的矩阵.解解:取取R3的另一组基的另一组基,522210101 =A,211100002 =Be1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,(1,2,3)=(e1,e2,e3)A,(1,2,3)=(e1,e2,e3)B,(1,2,3)=(e1,e2,e3)C,则则其中其中.210101011 =C所以所以(e1,e2,e3)=(1,2,3)C-1,故故=(e1,e2,e3)C=(1,2,3)A-1C=(e1,e2,e3)BA-1C=(1,2,3)C-1BA-1C.(1,2,3)=21010101152221010121110000221010101111于是线性变换于是线性变换 在基在基 1,2,3下的矩阵为下的矩阵为:C-1BA-1C.112124122 =填空题填空题1.定义了线性运算的集合称为定义了线性运算的集合称为 .2.线性变换线性变换T的象空间的象空间T(Vn)的的 称为线性称为线性变换变换T的秩的秩.3.已知三维向量空间已知三维向量空间R3的一组基为的一组基为 1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(0,1,1)T,则向量则向量 4=(2,0,0)T在这组基下的坐标为在这组基下的坐标为 .则在基则在基 2,1下的矩阵是下的矩阵是 .,22211211 aaaa4.线性变换线性变换T在基在基 1,2下的矩阵为下的矩阵为5.线性空间线性空间U,V同构是指同构是指 .两空间元素一一对应两空间元素一一对应,且保持线性组合的对应且保持线性组合的对应.线性空间线性空间(或向量空间或向量空间)维数维数 11122122aaaa(1,1,1)T 6.已知已知R3的线性变换的线性变换:T(a,b,c)=(a+2bc,b+c,a+b2c),则则T(Vn)的维数为的维数为 ,基为基为 .2(2,1,1)T,(1,0,1)T