微分方程求解

微分方程求解微分方程的解析解方法例题1：求解微分方程组初值问题clearsyms t xx1,x2,x3=dsolve(Dx1=-x1+x3+1,Dx2=x1+2*x2-1,.Dx3=-4*x1+3*x3+2,x1(0)=1,x2(0)=0,x3(0)=1)t1=0:.1:5;xt1=subs(x1,t,t1);xt2=subs(x2,t,t1);xt3=subs(x3,t,t1);plot(t1,xt1,t1,xt2,t1,xt3)微分方程的数值积分微分方程的数值积分MATLAB中用来进行常微分方程数值积分的函数有好多种，例如ode23,ode45,等，ode是常微分方程(ordinary differential equation)的缩写。它们都用来解形如的一阶微分方程组在给定初始值y0时的解。对入门者而言，会一种ode函数就行。0,()dttdt 0yyf(y,)yy微分方程求解函数clear,close allf1=(t,x)-1,0,1;1,2,0;-4,0,3*x+1;-1;2;t_final=5;x0=1;0;1;t,x=ode23(f1,0,t_final,x0);plot(t,x)【例】Simulink 简介 1990 年前后出现最早的 Simulink，当时名为SimuLAB，1992 年改为 Simulink Simulink 的名字有两重含义 仿真(simu)与模型连接(link)odegroup 命令可以打开自定义模块集 Simulink 相关模块常用的模块：微分方程的Simulink建模与求解 建立起微分方程的 Simulink 模型 可以用 sim()函数对其模型直接求解 得出微分方程的数值解【例7-30】Simulink模型图Out11ScopeIntegrator 21sIntegrator 11sIntegrator1sFcn2f(u)Fcn1f(u)Fcnf(u)微分方程转换单个高阶常微分方程处理方法微分方程数值积分【例微分方程数值积分【例5-3-7】用数值积分法求解微分方程 设初始时间t0=0;终止时间tf=3;初始条件y(0)=1,y(0)=0.解：先将方程化为两个一阶微分方程的方程组，其左端为两维变量的一阶导数。21tyty 12221,1xxtxtx 微分方程化为标准形式 写成矩阵形式为 其中 为取代变量y的变量向量，为x的导数，在程序中用xdot表示。x的初始条件为 这就是待积分的微分方程组的标准形式。用MATLAB语句表述为：xdot=0,1;-t,0*x+0;1*(1-t2/pi2);2211220101101xxttxtx x=AxB12xxx12xx x11(0)(0)(0)xxx【例【例5-3-7】数值解的程序】数值解的程序将微分方程的右端写成一个exn547f.m函数程序,内容如下：function xdot=exn547f(t,x)u=1-(t.2)/(pi2);xdot=0,1;-t,0*x+0;1*u;%向量导数方程主程序exn547如下,它调用MATLAB中的现成的数值积分函数ode23进行积分。clf,t0=0;tf=3*pi;x0=1;0;%给出初始值t,x=ode23(exn547f,t0,tf,x0)%此处显示结果y=x(:,1);%y为x的第一列plot(t,y),grid%绘曲线xlabel(t),ylabel(y(t)数值解程序数值解程序exn547的运行结果的运行结果程序运行的结果见图5-37。这个数值积分函数是按精度要求自动选择步长的。它的默认精度为1.e-3，因此图中的积分结果是可靠的。若要改变精度要求，可在调用命令中增加备选变元，具体做法可键入help ode23查找。Simulink模型图Out1 1StepScopeProduct 1ProductIntegrator 11sIntegrator1sGain-K-Clock2Clock1Clock【例】Simulink模型图Out22Out11TransportDelay 1TransportDelayTransfer Fcn 11s+3Transfer Fcns +3s+224StepScope 1ScopeFcnf(u)【例】Simulink模型图Out11TransportDelay 1TransportDelayStepScopeIntegrator1sGain 2K*uGain 1K*uGainK*u