植树问题公式

植树问题公式单边植树（两端都植）：距离三间隔长+1=棵数单边植树（只植一端）：距离三间隔长二棵数单边植树（两端都不植）：距离三间隔长一1二棵数双边植树（两端都植）：（距离三间隔长+1）X2二棵数双边植树（只植一端）：（距离三间隔长）X2二棵数双边植树（两端都不植）：（距离三间隔长-1）X2二棵数循环植树：距离三间隔数二棵数解释：1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:在非封闭线路的两端都要植树，那么：株数二段数+1=全长三株距+1全长二株距X（株数一1）株距二全长三（株数一1）在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数二段数二全长三株距全长二株距X株数株距二全长三株数在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数二段数一1二全长三株距一1 全长二株距X（株数+1）株距二全长三（株数+1）2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数二段数二全长三株距 全长二株距X株数 株距二全长三株数3、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，再 乘二，即：棵树二（段数+1）X2。二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数。三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数一1） X边数。例1 长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行 距是3米这个苹果园共种苹果树多少棵？解：解法一：一行能种多少棵？ 8422=42（棵）.|这块地能种苹果树多 少行？ 5423=18（行）.这块地共种苹果树多少棵？ 42X18=756（棵）. 如果株距、行距的方向互换，结果相同：（8423）X（5422）=28X27=756（棵）.解法二： 这块地的面积是多少平方米呢？ 84X54=4536（平方米）. 一棵苹果树占地多少平方米呢？ 2X3=6（平方米）.这块地能种苹果树多少棵 呢？ 453626=756（棵）.当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中 的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第 二种解法来解但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是反映封 闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数总比锯 的次数多一。上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那么：上 楼所需总时间二（终点层一起始层）X每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题例2 直线场地：在一条公路的两旁植树，每隔3 米植一棵，植到头还剩3 棵；每隔2.5 米植一棵，植到头 还缺少 37 棵，求这条公路的长度。解法一：（代数解法） 设一共有 x 棵树 【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5 x=205 公路长: 【（205-3）/2-1】X3=300 得:公路长度为300 米解法二：（算术解法） 这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑：首先，我们在两边起点处各栽下一 棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增 加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时，最后剩下3 棵，也就 是说植树的路线要比路长出3个间距，3X3=9米，当按2.5米的间距植树时，最后还缺37棵树，也就 是说植树的路线比路短了 37个间距，2.5X37=92.5米，两次相差9+92.5=101.5米，两次植树的间距相 差是32.5=0.5米，据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵） 101.520.5=203（个） 知道了 树的棵数，就可以求出植树路线的长度了： 3X （203 3）=600 （米） 或2.5X （203+37）=600 （米） 因为是双侧植树，所以路长为：60022=300（米） 综合算式为： 3X （3X3+2.5X37）2（32.5）3 22=300（米） 或 2.5X（3X3+2.5X37）2（32.5） +37 22=300（米） 答：（略）例3 圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花， 再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2 株紧相邻的月季花相距多少米 解： 解：根据棵数=全长2间隔可求出栽丁香花的株数： 12026=20（株） 由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：2X20=40 （株）由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：623=2（米） 答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株， 2株紧相邻月季花之间相距2米。例4 例4 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了 314 棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度） 解：先求出植树线路的长。植树线路是 一个圆的周长，这个圆的周长是：2X314=628 （米） 这个圆的直径是：62823.14=200 （米） 由 于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：200-3X2=194 （米） 圆形水池 的周长是： 194X3.14=609.16 （米） 综合算式： （2X31423.14-3X2）X3.14 = （200-6） X3.14=194X3.14=609.16 （米）例5小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树，一共可栽几棵？（两端都植树）按常规解法，答案应该是6 （10三2+1 ）棵，同理，如果小光家门前也有一段10米长的水沟，同样可 以栽6棵，也就是两家一共可以栽12棵，这并看不出有什么不妥。但是，当小明与小光家是邻居时， 我们再计算一下：两家的水沟总长是20米，20三2+1=11 （棵），也就是两家一共可以栽11棵树，结果比 上次计算少了一棵（本人称之为“邻里冲突”），这是因为在端点处有两棵树“重合”了，这两棵树的 间距为 0，与题中要求间距 2 米不符，因此，可以看出两端植树是不妥当的。但如果两端都不植树， 又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距4米的情况，仍与题意不符。那么一端植树又会怎样呢？这 种要求是无法实现的，因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后，就会使邻家地段两端都有树存在， 还是不合题意。因此，要求在端点上植树（或不植树）都会出现矛盾，这样的计算方法也不能正确的 反映出各个数量间的关系。数学是一门严谨的科学，出题者固然可以任意给定条件，但用不同的计算 方法得出的结果应该是相同的，当计算结果出现矛盾时，应该找出问题的原因所在，不能简单的用“两 树重合”来解释解释。再按照“棵树 =段数”的方法计算一下：小明家可栽树：10三2=5 （棵） 小 光家可栽树：10三2=5 （棵） 两家一共可栽树10棵。 当两家是邻居时，可栽树：（10+10）三2=10（棵） 两次计算结果相同，因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的关系。 为什么说常 规的解法不够正确呢？那是因为在常规解法中，只考虑了植树路段为一家独有的情况，多栽或少栽一 棵都不会出现“争议”，也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家共有时就会出现一方或双 方将树栽到了公共端点上的情况，从理论上讲这是不正确的。相对于“路边加一”，“楼间减一”也无 道理，因为完全可以按“间距2米”栽下5棵而不是4棵树，至于端点处的两棵树与楼相距只有1米 的情况，与题意并不矛盾： 1、要求“间距2米”可以认为每棵树需要2米的生长空间，端点的树和 中间的树同样都具有2米的空间； 2、如果把“楼”也看做“树”而使间距不足，那么则是因为“他” 将树栽倒了公共端点上而侵占了“我”的空间，“我”并没有栽错。（点击图片可放大）