“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用江苏省木渎高级中学 （215101） 潘振嵘在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.例2直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .解设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.于是，即.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.2 求曲线方程例3已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.解由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，.设，则.又，（1），（2）得：，.所在直线方程为，即.例4已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解设，则，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.3 求直线的斜率例5已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.（1）证略.（2）解，设线段的中点为.又在椭圆上，（1），（2）得：，.直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.4 确定参数的范围例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.解 当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，又，.中点在直线上，于是.中点在抛物线区域内，即，解得.综上可知，所求实数的取值范围是.5 证明定值问题例7已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明设且，则，（1），（2）得：，.又，（定值）.6 处理存在性问题例8已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，又，（1），（2）得：，的斜率 又直线过三点，的方程为 ，即.但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.5