高二数学基本初等函数的导数公式

(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导数的和导数的和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x例例2.求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数.4:1(1).;(2).yyx xx练习 .%982;%901:,.100801005284:%1.,.3化率所需净化费用的瞬时变时求净化到下纯度为元单位用时所需费化到纯净度为吨水净已知将用不断增加所需净化费纯净度的提高随着水净化的经过通常是日常生活中的饮用水例xxxcx?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy .),(,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复复合合函函数数 .,xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得的导数对表示xyyx .,sin3;2;3214105.02均为常数其中求下列函数的导数例xyeyxyx.3232132的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy 232 xu.1284xu.105.02105.0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有xuxuyy 105.0 xeu.05.005.0105.0 xuee.sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy sinxu.coscosxu例例5.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得:t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.即即t3-12t2+32t=0,解得解得:t1=0,t2=4,t3=8,0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.练习练习:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平平行且距离等于行且距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.31xy 10;3)()1(,14333 xxxyxy解解：.043),1(31,3|)1,1(1 yxxyykPx即即从而切线方程为从而切线方程为处的切线的斜率为处的切线的斜率为曲线在曲线在设直线设直线m的方程为的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公由平行线间的距离公式得式得:;146,10|4|1013|)4(|2 bbbb或或故所求的直线故所求的直线m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.练习练习:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平平行且距离等于行且距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.31xy 10