静定结构影响线

第四章 静定结构影响线 概述 用静力法作单跨静定梁的影响线 间接荷载作用下的影响线 用机动法作单跨静定梁的影响线 多跨静定梁的影响线 桁架的影响线 利用影响线求量值4.1 移动荷载和影响线的概念移动荷载作用下内力计算特点:结构内力随荷载的移动而变化,为此需要研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。研究方法：先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律，再根据叠加原理解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。P=1FBxY=FB1影响线的定义：当F=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线。在Z的影响线中,横标表示的是F=1的作用位置；竖标表示的是量值Z的值。如在FB影响线中的竖标yD表示的是：当F=1移动到 点时，产生的 支座反力。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力 的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。DByDDF=1 以自变量以自变量x x表示表示P=1P=1的作的作用位置，通过平衡方程，建用位置，通过平衡方程，建立反力和内力的影响线函数立反力和内力的影响线函数 并作影响线并作影响线0，a）1、支座反力影响线MA=0 FB=x/l 0，lMB=0FA=（l-x）/l0，l11FB.影响线FA.影响线2、剪力影响线Cab当F=1在AC上移时取CBMCFSCFBY=0QC =（L-x）/lRB=x/la/l当F=1在CB上移时取ACFAFSCMCY=0QC=（a，lRAb/l+FSC.影响线FAAFB.B、弯矩影响线MC=MCRBb=0 0,a MC=x/lb MC=MCRAa=0 ab/lMC.影响线CBbACaMC=（lx）laa,lxF=1l 4.2 用静力法作单跨静定梁的影响线a/lb/l+FSC.I.Lab/lMC.I.LFB.B11FB.I.LFA.I.LCabxF=1lFAA 单跨静定梁的影响线特点单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；反力影响线是一条直线；剪力影响线是两条平行线；剪力影响线是两条平行线；弯矩影响线是两条直线组弯矩影响线是两条直线组 成的折线。成的折线。CabxF=1Lab/LM图(kN.m)F=1kNCabLab/LMC.I.L(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置yDDyDD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩 RB=x/L 0,L当P=1在AC上移动 QC=-x/L（0，a）当P=1在CB上移动 QC=（L-x）/L CabxP=1LRAABRB.当P=1在EC上时：QC=-RB=-x/L （-L1，a）当P=1在CF上时：QC=RA=（L-x）/L （a，L+L2）RB=x/L （-L1，L+L2）伸臂梁的影响线由平衡条件可得:故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。+1-FB.I.La/Lb/L-+-FSC.I.Lab/L+_Mc.I.LD当P=1在D以里移动时D截面内力等于零，故伸臂上截面内力影响线在该截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移动时D截面才有内力d+1QD.I.LL1abLL2F=1xABCFAFBEF d 8 5d 4 3d1615横梁纵梁主梁AB CE FFAFB l=4dd/2 d/2DF=1 MD影响线F=1 F=1 DxP=1F=1 dxd dxdxddxddMD4385 结点荷载下影响线特点 1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。2、相邻结点之间影响线为一直线。结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.LI.L.FSCE1/21/4CMLI.43d4-3 结点荷载作用下梁的影响线l=6dACBDEFGh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。4-4静力法作桁架的影响线P=1l=6dACBDEFGacbdefgh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。11NbcFAFGFSbc=FA2d/h (P=1在C以右时）NCD同理：FNCD=+Mc0/hP=1平行弦桁架弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。F=14d/3/hI.L.FNCDI.L.FNbc4d/34d/3/hF=1F=1F=1F=1或：FNbc=MC0/h FNbc=F4d/h (P=1在C以左时）l=6dACBDEFGacbdefghF=1xACBDEFG22FAFGFAFGP=1F=1I.L.Ybc0SBCbCFY1/62/3FNbC平行弦桁架斜杆轴力的YbC影响线就是梁的节间剪力FSBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。F=1在B以右时 YbC=FAF=1在B以左时 YbC=F可概括为一个式子 l=6dACBDEFGacbdefghF=1xACBDEFGFAFGFAFGP=1F=10SCDNcCFFNcC111/21/3I.L.FNcC1/6竖杆轴力FNcC影响线就是负的梁的节间剪力FSCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。下承上承0NbcNcCFF2/3I.L.FNcCF=1在D以右时 FNcCFAF=1在C以左时 FNcCFG可概括为一个式子在CD之间为直线 4-4静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghI.L.FNdD=0下承上承I.L.FNdD1F=1ACBDEFGacbdefghF=1F=1F=1F=1F=1任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。平行弦桁架 弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。斜杆轴力的YbC影响线就是梁的节间剪力FSBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。竖杆轴力FNcC影响线就是梁的节间剪力FSCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。绘制影响线的方法静力法:列影响线方程,作影响线.机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问 题转化为作位移图的几何问题。机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。P=1xablCP=1Z(x)ZP(x)zPPzxxZxPxZ)()(0)()(1 1 机动法作影响线的步骤：1）撤除与Z相应的约束，代以未知力。2）使体系沿Z的正方向发生虚位移，作出荷载作用点的竖向虚位移图，即Z的影响线轮廓。3）再令Z=1，定出影响线竖标的值。4）基线以上为正的影响线,基线以下为负的影响线，4-5机动法作影响线b/la/lI.L.QC P=1CQCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC 所作虚位移图要满足支承连接条件！1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1 1m1/43/49/49/29/4I.L.MK I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/4Qk11/43/41/43/43/23/4I.L.QKMC11I.L.QKI.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)1121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDGI.L.QEI.L.RD I.L.QE121I.L.RD1.5QE 1）求影响量b/la/lI.L.QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷载QC=P1y1+P2y2+P3y3一般说来：Z=PiyiablCa blqABqdxb）均布荷载d=ydxQC=q 正的影响线取正面积ydxqBAyqdxQBACwdqBAb/la/lyx dxQCydxqBA 0yqc 0qctgxb qdtgxxbxdtgqbx0定理：当一组平行力作用在影 响线的同一直线段上时，这组平行力产生的影响等 于其合力产生的影响。I.L.QCy0c 4-6影响线的应用例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。6454I.L.MK (m)MK=P1y1+P2y2+q11+q22 q33m =1004100550 12321630 1.518301925kN.m6m3m6m6m3m 3m3m100kN100kN 50kN/m30kN/mK30kN.m301/3 1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量一般说来：Z=Piyi+qm tg mbm/bm/bZ=m/ba+m/bc =m(ac)/b =m tgacZ的影响线集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。两者同向取负值。2）利用影响线求荷载的最不利位置如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置称为荷载最不利位置。判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。a）单个移动集中荷载：ablPb）可按任意方式分布的移动均布荷载：I.L.Z求Z的最大值求Z的最小值c）行列荷载（间距不变的一系列移动荷载）2m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKxP1=PP2=2P10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/3P1=PP2=2P2P/3P1=PP2=2PP1=PP2=2PxMK的综合影响线P1=PP2=2PP1=PP2=2P满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。1)当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。2)MK的极值表现为尖点值。其特点是：a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点,MK的值均减少。Z影响线P1P2P3P4P5P6R1R2R3临界荷载的判断条件3y2y1y1yD2yD3yD102030P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75132Z影响线P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6荷载稍向右移:R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20荷载稍向左移:R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kNkN4552675.01275.081.08.37906.090Z185.68585.390所以P4是个临界荷载。（中活载）0.90685.68585.3 0.81当影响线为三角形时：PcrR左R右tg=c/atg=c/b荷载右移：cab荷载左移：bRaPRbRPaRcrcr右左右左当影响线为三角形时，临界位置的特点是：有一集中力Pcr在影响线的顶点，将Pcr计入那边那边荷载的平均集度就大。如Z的达极大值iitgR=R左tg(PcrR右)tg0=(R左 Pcr)tgR右tg0 iitgR15m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m25200151307015702520013015150 25220130 15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=1003.75+506.25+1309.38+707.88+1002.25+50 0.752720kN.mMcmax=2720kN.m 130kN是临界荷载1）简支梁的包络图：将移动荷载作用下简支梁中各个截面产生的最大（小）内力值用曲线连接起来，得到的图形称为简支梁的内力包络图。Px=MCmax=(l-)P/l0.25Pl0.21Pl0.09PlM包络图C12m(l-)/lMC影响线 单个集中力4-7简支梁的包络图和绝对最大弯矩12m(l-)/lM4影响线P3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN123456789100M4max=559kN.m559M包络图（kN.m)Q包络图（kN)21215394.341.7574578弯矩包络图动力系数+M静=据以设计的弯矩包络图 行列荷载弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载移作用下,产生的D截面的弯矩弯矩包络图变变截面位置在实际移动荷载作用下,D截面可能产生的最大弯矩与弯矩包络图的比较 2）简支梁的绝对最大弯矩：移动荷载作用下简支梁各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生的最大弯矩。绝对最大弯矩与两个未知因素有关：（1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？（2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。计算途径：任取一个集中力Pcr求行列荷载移动过程中Pcr作用 点产生的弯矩最大值Mmax计算公式，利用这个公 式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中 最大 的，就是绝对最大弯矩。经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截面弯矩取得最 大值的临界荷载下面。P1PcrPn-1PnxRa推导Pcr弯矩最大值的算式由 MB0 crMxlaxlRAlaxlRRaxllR0)2(dxdM0cr MRAxxM)(RAalx22（a）crmxaMlalRM1222（b）l/2l/2a/2 a/2Mcr=Pcr以左梁上荷载对Pcr作用点的力矩之和。（49）说明Pcr作用点的弯矩为最大时，梁的中线正好平分Pcr与R的间距。Pcr与R的间距a可由合力矩定理确定。R在Pcr 右a为正。注意R是梁上实有荷载。安排Pcr与R的位置时，有些荷载进入或离开梁，这时应重新计算合力R的值和位置。例12mP3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN先求P2作用点的最大弯矩。R=482=328kN，R作用在P2与P3中间。a=0.75mMmaxmkN.578)5.182582(121275.02123282mkN.5785.382121275.02123282MlalRMcr1222max再求P3作用点的最大弯矩。R=482=328kN，R作用在P2与P3中间。a=0.75mP3P4P1P23.53.51.5 l ：当竖向单位 移动荷载在梁上移动时，表示某一指定位移kP与荷载位置 x 的关系曲线，即为kP位移的影响线。P=1xkPP=1xkPP=1xkP*位移影响线kPkP影响线kPKMlabPk=1abPKPMlxlx)(位移KP的影响线等于固定荷载 PK=1作用于K点时引起的竖向位移图。于是，将求位移影响线的问题，转变为求在固定荷载PK=1作用下的位移图问题。PK=1作用下的位移图由位移互等定理得：KP=PKdxEIMMxkPkP)(3xl aP=1xAB例：试作图示等截面简支梁B截面的角位移影响线。解：作单位竖向移动荷载P=1作用下的MP。lxlx)(MP 在B截面施加单位力偶MB=1,并作MB图。求影响线方程。ABM=11MB绘制影响线。EIxlxlxlllxlxEIEIdsMMBPB6)(3)()(21122lxl34l4l4l4lEIl12852EIl12882EIl12852