《数值分析》第一章答案

习题11以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。()x* Fl.023(2) x2 = -0.045 113(3) x3 =23-421 3,4)x =451.01；1x =-0.045 182x =23.460 4；3x = 0.333 3；45) x5* = 23.496x5=23.494 X6 =96X 105,%=96105；7) x7*=0.000 96X7 =0-96X108) x8*=-8 700x8=-8 700.3。解:(1)x* = 451.023X二 451.011x* - = 0.013 2 x 10-1，具有 4 位有效数字。 T451.0 X* =-0.045 113 丁-0.045 18X 10 - 4 x * - x2 2=0.045 18 - 0.045113 =0.000 067 1 x 10 -32x2具有2位有效数字，x T - 0.0452(3)x3* =23.4213x =23.4604333=|23.4213 - 23.4604 = 23.4604 - 23.4213 = 0.0391 2 x 10-1x3 具有 3 位有效数字， x3 T 23.4 （不能写为23.5）x4 = 0.33331x4 - x4 = 0.000033 2 x 10-4，x4具有4位有效数字x4二03333(5) x5* =23.496， x5 = 23.494=23.496 23.494 = 0.002 0.1062 + 0.947; x 10 -22x5具有4位有效数字，x5 T23.50 （不能写为23.49）(6) x* = 96 x 10x = 96.1 x 105 = 0.961 x 107 = 0.96 x 1076=0.001 x 10-7 1 x 10-2 x 10-72x 具有 2 位有效数字， x =0.96x107 =96x10566(7) x； = 0.00096x7 = 96 %10-3x； = 0.96 x 10-3 x； x7 = 0x7精确(8) x* =-8700 x =-8700.388*X8 X8=0.3 1 x 1002x8具有4位有效数字，x8 =-8700精确882.以下各数均为有效数字：(2) 23.4612.753;(3)2.747 x 6.83;(4) 1.473 / 0.064 。问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？解：(1) x1=0.1062， x2=0.947， x1+x2=1.0532 1 X 10 - 4 + 1 x 10 - 32 2|e(x 2 x 104, |e(x2)|x1 + x2)卜 |e(x1) + e(x2) |e(x+ |e(xj=0.00055x* + x； e 1.0532- 0.00055, 1.0532+0.00055=1.05265, 1.05375 x =23.46,x = -12.753 x - x = 10.7071 2 1 21 1e(x1) x 10-2 , |e(x2) x 10-3e(x1 - x2)沁 |e(x1)- e(x2) |e(x+ |e(xj11_x 10-2 + x 10-3=0.00552 2x* -x2 e 10.707- 0.0055 , 10.707+0.0055=10.7015,10.7125丄乙(3) x =2.747x =6.83 x x =18.76201,1 2 1 21 1e(x1) x 103, |e(x2) x 102|e( x1 x2)卜 |x2 e( x1)+ x$( xj xje( x+ x1 |e( xj111 6.83 x x 10-3 + 2.747 x x 10-2 = x 10-2 x (0.683+2.747)=0.01715222x* x e 18.76201 - 0.01715,18.76201 + 0.01715 = 18.74486,18.77916丄 厶(4) x1=1.473 ,x2 =0.064 ,xj x2 = 23.0156251e(x1) x 103,1e(x2)| x 103x2%2x e( x1) + -L(2)卜 0.064 2e(x1)-主 e(x) x21x2x 1 x 10-3 + 1.473 x 1 x 10-30.0642 2=0.187622x*/ e 23.015625 - 0.187622, 23.015625+0.187622/x2=22.828003 , 23.2032473.对一元2次方程x - 40x +1 = 0，如果誇99沁19.975具有5位有效数字,求其具有 5 位有效数字的根。解：x2 - 40 x +1 = 0x2 - 40x + 400 = 399x* = 20 + 1399 ,x2=20 -网=20+=、.399, x = 19.975e( x) -X10 - 32x1=20 + x =20+19.975=39.9751|e( x1) = |e( xj 2 X10 - 3x1具有5位有效数字。x2120 + x20 +19.975糅=O.。250156347e(x2)e(x)(20 + x)2，|e( x2)因而e( x)(20 + x )239.9752=0-313 x 10 - 6 2 x 10 - 6x2具有5位有效数字。x2 v 0-025016也可根据 x1 x2=1 得到 x2e(x2)v-仝12x124.若 x1 v 0.937具有 3|e( x2)卜丄=1= 0.0250156347x139.9751x 10 - 6 239.9752e( xi)|位有效数字， 问 x1 的相对误差限是多？设f (x) =、： 1 - x，求f (xi)的绝对误差限和相对误差限。解： x1 =0.937e(x1) 2 x 10321er (GFe( X)X11 x 10 - 3 2= 0.534 x 10-30.937-1f (X) f1- X 八x) =11心 f(x)e(x)=-2 十e(x),e（f（珀）1沁一 -2V1 - X1e(2 %吕57 x x 10-3 = 0-996 610- 3er (f)=f2 -占e( x)，r f 2 1-xer (f (x1)1 1沁 -2 1 x1e( g 2x 口x 2x 10 - 3= 0.00397 = 3.97 x 10-35.取.201 q 1.42 ,200 q 1.41 试 按 A =备201 、200 和A = 0.0U 2.01 +电.2.00）两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得A的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位有效数字？解：1)记 x* =空201，x1 = 1.42，x； = V200，x2 = 1.41丄丄乙厶er (A1)=0.01 一1e( A1) 10-2不能肯定所得结果具有一位有效数字。2 ) A*=0.01.+(200),A = 0.01/(1.42 +1.41) = 0.01/2.83 = 0.00353356 e( A2)= e(2+ x ) = -0.01 xe(x1 + x2)1 +x2)(X + x2)212111|e(A )| 0.01 xx ( x 10-2 + x 10-2)1(1.42 +1.41)222=0.12486 x 10-4 A- - A - A* - A2=0.00353356 0.01| -1 x 10-4 = 0.006 1 x 10-21 2 2 A1无有效位数。6.计算球的体积所产生的相对误差为 1%。若根据所得体积的值推算球的半径，问相对误差为多少？4解: V = _兀 R3 ,dV = 4n R2dR3dV 4兀R 2 dR 门 dR=3V4 KR 3Re (R)沁1 e (V)r3r由 |er (V)=10 2 矢口|er (R)| 3 x 10-27.有一圆柱，高为25.00 cm，半径为20.00 + 0.05 cm。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。解：1) V(R) =R2hRRer (V) - V(R)-严(R)=泌亦 er (R = 2er (R)er (V)| 沁 2|er (R)| 2 x0.05_ 1200_ 0.005当円 1时;当円 1时;当|x 1时。2) S (R) _ 2兀 RhRRe (S)沁 S(R) - _e (R) _ 2兀he (R) _ e (R)S r2兀Rh rer (S)卜 |er (R)| 005 _ 0.0025答 计算体积的相对误差限为0.005，计算侧面积的相对误差限为0.00259.试改变下列表达式，使计算结果比较精确：(1)厂 1 - cos x 1 j1 + cos x 丿(2) Y x +1 -尹,11 - x-rzy- 一 , 1 + 2 x 1 + x1-cos x一, sin x解 : (1)厂 1 - COS x ) 2J1 + cosx丿2sin2 丄2I2cos2 2 Ix(2)x +1 、 x 1*x +1 + .jx(3)1 x1 + x(1 + x) (1 x)(1 + 2 x)(1 + 2 x)(1 + x)(1 + x) (1 + x 2x2) (1 + 2 x)(1 + x)2 x 2(1 + 2 x )(1 + x)(4)1 - cos x2血2 2Sin x 2sin x cos x2 2tg 210.若1个计算机的字长n 3，基数0 10，阶码2 p 2，问这台计算机能精确表示几个实数。解：n 3, 0 0, L 2, U 2所能精确表示的实数个数为1 + 2( 0 1) 0 n1(U L +1) 1 + 2 X 9 X102 x (2 + 2 +1) 9001 11.给定规格化的浮点数系F:0 2 , n = 3,L 1,U =求F中规 格化的浮点数的个数，并把所有的浮点数在数轴上表示出来。解： 0 2, n 4, L 1, U 1所有规格化浮点数个数为1+2(0 1)0n1(U L+1)1+2X1X23X(1+1+1)49机器零 0p=1土 0.1000 x 21, 土 0.1001 x 21, 土 0.1010 x 21, 土 0.1011 x 21土 0.1100 x 21,土 0.1101 x 21, 土 0.1110 x 21, 土 0.1111 x 21p=0土 0.1000 x 20,土 0.1001 x 20, 土 0.1010 x 20, 土 0.1011 x 20土 0.1100 x 20,土 0.1101 x 20, 土 0.1110 x 20, 土 0.1111 x 20p= 1 土 0.1000 x 2-1,土 0.1001 x 2 j, 土 0.1010 x 2 j, 土 0.1011 x 2-1土 0.1100 x 2 j,土 0.1101 x 2-1, 土 0.1110 x 2-1, 土 0.1111 x 2-112.设有1计算机：n = 3 , - L = U = 2,0 = 10,试求下列各数的机器近似值（计算机舍入装置）：(1) 41.92;(2) 328.7(3) 0.0483(4) 0.918;(5)0.007 845;(6)98 740;(7) 1.82x103;(8) 4.71x10-6;(9)6.644 5x1021;(10) 3.879x10-10;(11) 3.196x10-100;(12) 13.654x1099解：n = 3, L = -2,U = 2, 0 = 10(1) 41.92(11) 3.196x10-100(2) 328.7(12) 13.654x1099(3) 0.0483f (41.92) = 0.419 x 102(4) 0.918fl(328.7) 溢出(5) 0.007845f (0.0483) = 0.483 x 10-1(6) 98740f (0.918) = 0.918 x 100(7)1.82x103f (0.007845) = 0.785 x 10-2(8) 4.71x10-6fl(98740) 溢出(9) 6.6445x1021fl(1.82x103)溢出fl (4.71 x 10-6)溢出(10) 3.879 x 10-10fl(6.6445 x 1021)溢出fl(3.196x 10-ioo)溢出f(3.879x 10-io)溢出fl(13.654x1099) 溢出16.考虑数列1,1 ， 19，271。设p0= 1,则用递推公式81， 0可以生成上述序列。1=3 pn-1(n =2, 3,)试考察计算 p 的算法的稳定性。解：pn = 3 pn1，n = 1,2,3,。若po有误差，则实际按如下递推pn = 3 Pn11pn pn = 3 p1_ pn13n1!(pp )3n1nnn1=e 1 =3 n-1en1=_ e3n-1,误差逐步缩小，数值稳定记 e = p - p , 则有 nnn1匕3n 0eneo17.考虑数列1，1，9，_7，1，。设p0=1，p1=1，则用递推公( n =2， 3， )10p = 丁 p 广 p 23n1n 2可以生成上述序列。试问计算的上述公式是稳定的吗？解：pn =孕pn1 pn2，n = 2,3,。若p0和p有误差，贝实际按如下 10 p = p - p , n 二 2,3,。n 3 n-1n - 2记 e = p - p ，则有nnn10 23e = e .一 e , n = 2,3，n 3 n-1 n - 2e -丄e1 = 3e1 -e = 3(e1 -LeJ = 3n-1(e -1 e )(A)n 3 n-1n-1n-2n-1 3 n-2J1 3 07e - 3e1 = -e1 - e , = -(e1 - 3eJ = L(e - 3eJ(B)n n-1 3 n-1n - 2 3 n-1n - 2 31 1079(A)-(B) 得e =1 3n+W -1 e。)-冷(勺-3e)_只需e -!e主0 ,则iim e =8因而递推过程不稳定13 0nn T818. 已知 p(x) = 125x5 + 230x3 - 11x2 + 3x - 47，用秦九韶法求 p(5)。解： 1250230-113- 4756253125167758382041911512562533551676483823419068p (5) = 41906819. 已知 f (x) = 3 + x + (x - 4)2 - 6(x - 4)3 + 4(x - 4)5，用秦九韶法求 f (3.9)及 f (4.2)。 解: f (x) = 4(x - 4)5 - 6(x - 4)3 + (x - 4)2 + (x - 4) + 7令 z 二 x 4 则 x二 3.9 时，z = x 4= -0.1，由000406117-0.1-0.40.040.596-0.1596-0.084044-0.4-5.961.5960.84046.91596得 f (3.9) = 6.91596 ；x = 4.2时，0z =x004=0.2，由4061170.20.80.16-1.168-0.03360.1932840.8-5.84-0.1680.96647.19328得 f (4.2) = 7.19328。131 1贝|e(X 2 x 10一2 ， |e(x2) x 102a * =*2：01 -. 200 q 1.42 -1.41 = 0.01州=1.42 1.41 = 0.01e(A? = e(X x2) q e(xj e(xj1 1e(A) Q |e(x1) e(xj |e(xj + |e(x2) = - x 10-2 + - x 10-2 = 10-2