D87方向导数与梯度

第八章第八章第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、场的概念三、场的概念 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 l一、方向导数一、方向导数定义定义:(,)zf x y0limz则称其值00(,)xyfl22()(),xy,cosx,cosy为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.00000(,)(,)limf xx yyf xy在点 00(,)P xy处沿方向 l(方向角为),存在下列00(,)P xx yy记作记作 0lim0lim 极限:xyO00(,)P xy若函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系当 l 与 x 轴同向时00000(,)(,)limxf xx yf xyx 存在存在.00000(,)(,)limf xx yyf xy0000(,)(,)f xx yf xylffx0limx 同理,ffly偏导数存在时,x若偏导数若偏导数 存在存在,fx即l 与 y 轴同向时,即为沿坐标轴正方向的方向导数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 但如果方向导数存在，偏导数却未必存在如函数22zxy在点(0,0)220()()lim1,xy 沿任意方向l(0,0)zl但该点偏导数不存在！函数在一点沿任意方向方向导数存在，不一定可微！故在点(0,0)不可微 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理:沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数都存在,0limzcoscosffflxy证明证明:(,)f x y()ffzxyoxy coscosffxy且)(o在点 P 可微,得coscosffxy则函数在该点fl,其中为l 的方向角.l00(,)P xx yyxyO00(,)P xy由函数(,)(cos,cos)ffxy若函数 在点(,)f x y00(,)P xy可微,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 对于三元函数(,),f x y z(,)P x y z0(,)(,)limff xx yy zzf x y zl(,)cos(,)cos(,)cosxyzf x y zf x y zf x y z222()()(),xyz cos,cos,cos)xyz 处沿方向l在点为 )的方向导数为（方向角,(,),(,),(,)cos,cos,cosxyzfx y zfx y zfx y z 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 求函数 在点 P(1,1,1)沿向量zyxu2的方向导数.,142cosPlu)1,1,1(146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx(2,1,3l）解解:向量 l 的方向余弦为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4,1(174cos1)3,2(3将已知曲线用参数方程表示为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 设是曲面n在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得)1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向一致时与当Gl:GGlfmax(,),(,),(,)cos,cos,cosxyzfx y zfx y zfx y z),cos(lGGf 增长最增长最快的方向快的方向 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 定义定义),(Pfadrg即grad()f P同样可定义二元函数),(yxf),(yxP称为函数 f(P)在点 P 处的梯度)(,)(,)(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度 G向量zfyfxfG,fl),cos(lGG注注:elfflgradgrad函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:(为方向l 上的单位向量)elgrad,(,),(,)xyf x yfx yfx y()目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 梯度的几何意义梯度的几何意义Oyx1cf 2cf)(321ccc设P(,):zf x yLxOyzc在在面面上上的的投投影影cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradgrad3cf,),(yxfz 对函数函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,),(zyxfu 的等值面(等量面).czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfg gr ra ad d称为时为零时,曲线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 设函数解解:0)1(0)1()1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2)求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面 2),(zyxf)0,1,2(2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为Pfngrad()nf P1(2,ln)zzPxzyyygrad()f P)0,1,2(1)点P处切平面的法向量为5 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证明证明:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证:rxrf)(grad()().erf rfr处向径 r 的模,r(),xfrr(),yfrr1()(,)frx y zrrrrf1)()erfr()zfrr 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、场的概念三、场的概念函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(Pfgrad(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(势场)注注:任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证明证明:这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugradgrad4erqur 24erqr E2()4erqEr场强利用例5的结果 grad()()erf rfr 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 方向导数方向导数v三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflfv 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 梯度梯度v 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为,ffffxyzg gr ra ad dv 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为(,),(,)xyffx yfx ygradgrad3 关系关系方向导数存在偏导数存在v v可微梯度在方向 l 上的投影.方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值v 梯度的特点沿坐标轴正向elfflgradgrad 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 练习练习 1 函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mug gr ra ad d)2,2,1(,zuyuxuuMg gr ra ad d解解:222222222(1,2,2)222,xyzxyzxyzxyz)2,2,1(92)2,2,1(92(1992 考研考研)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d2 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32其单位向量为)cos,cos,(cosAxu)1ln(x1x,21d dyAyu)11ln(2y0y,0(1996考研考研),)1,2,2(AB2121Azucoscoscoszuyuxulu21ABABl