《数值分析》第二章答案

习题21. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间(1) x + cos x 二 0 ；(2) 3 x 一 cos x 二 0 ;(3) sin x - e -x = 0 ;(4) x2 e-x = 0。解：(1) x + cos x = 0(A)f (x) = x + cos x ， f (x) = 1 sin x 0 ，x e (g , g)f (0) = 0 + cos 0 = 1, f ( 1) = 1 + cos( 1) = 1 + cos 1 0， x e (g , g)时f (0) = 3 x 0 co0 = 1 0方程(B)有唯一根x* e 0,1(3) sin x e x = 0(C)sin x = e x1(x) = sin x ,2(x)= ex方程(C)有无穷个正根，无负根在2k兀,2k兀+上内有一根x(k),21且 lim x1(k )k T g且 lim x(k) (2k + 1)兀=0kTg在2k兀+ ,2k兀+兀内有一根x(k)，(示图如下)22k = 0,1,2,3(2)若在0 , 2上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？解：x2 一 x 一 1 = 01) f (x) = x2 一 x 一 1 = 0 f (1) = -1, f (1.5) = -0.25 0 , f (2) = 1* 1 +运x* g 1.5,2 ,x* = 1.61803421.5(一)1.75(+)2(+)1.5(一)1.625(+)1.75(+)1.5(一)1.5625(+)1.625(+)1.5625 (一 )1.5 9 3 7(5一 )1.625(+)(1.625 一 1.5625= 0.03125 10 5 k - 1 5 ln 10 ln 2 = 16.60 2k 2 .只要2等分18次3.为求x3 - 5x - 3 = 0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。解：f (x) = x3 一 5x 一 3 = x(x2 一 5) 一 3f(x) = 3x2 一 5 = 3(x2)3当 x| !-时，广(x)J5时广(x) 0A1 33；5：5 510 ：5/ ( ) = (5) 一 3 = 一 一 3 0， f (0) = -3 (x3 - 3)，91(x) =1-(x3 - 3)(I)5k12申1= 15x=3 x 25xk +11 (x3 - 3),5.迭代格式(I)发散xk +1 = V5xk + 3，(II)9 2(x) = V5 x + 3， (, 2申(x) = (5x + 3) 233(5 X + 3)2513 3W =当 x e 2,3时9 2 (x) 3 V(5 x 2 + 3)2当 x e 2,3 时* 2( x) e 2(2), 9 2(3) = 3;5 x 2 + 3,3；5 x 3 + 3 = 3;13,318 u 2,3迭代格式(II)对任意x e 2,3均收敛03，xi13x 15 + x:3x一-+ 5构造迭代格式k +1+xk5 x + 33) x2 = 5x,3b 3(x)二 + 5，3x3 (x) = - (3 + 5)212( - 3) x.3:+ 5r x当 x e 2,3时13b 3 (x)1 x 2 込2当 x e 2,3时 b3(x) e b3(3), b3(2)二*6, y65 u 2,3迭代格式(III)对任意x0e 2,3均收敛4) max b2 x 32(x)l =b 2(2)l =1二 0.3014533169max2x3minP2 匸,32 尸23min 4 x. 6.5,9 *6二 0.0680取格式(III)xk +1x0 = 25，x吉时f (x) 0 3：1 1-3(3 - d - 0.22-0.23f (0) = - 0.2f (2) = 8 2 0.2 = 5.8f (J) = -7 x - - 0.2 02248* 1*1x* G - 1,-，x 2 G ,0,*x*G 1,2132231) x = x3 一 0.2迭代格式x = x3 - 0.2，k +1 k申(x) = x3 一 0.2 ,申(x) = 3x2 0当 x G 一 ,0时，b(x)| ，241b (x) G b (), b (0)211一 一 0.2,0.2 一 ,082任取x G - 1,0迭代格式收敛于x*0 2 2取 x = -0.25 得 x = -0.215625 , x = -0.210025 , x = -0.209264 0123x = 0.209164x* - 0.2 0 942迭代格式xk+1=xk + 0.2 1 一 9 (x) = 3x + 0.2, 9 (x) =(x + 0.2) 3 =3 3(x + 0.2)23当 X G 1,2时 9 (X) (1), 9 (2)1 13 3；(1 + 0.2)23任意X 1,2迭代格式收敛于 0*x*3=1-5 计算得X1 = 1-19348 x2=1.11695 ，x3=1.09612 ，x4=1.09031=1.08867 ，1.08821x 3 二1-093) X 20.2 0.2X = 1 +X迭代格式 X 0.2-1 + 一(III)Xk:0.21 + I X9 (X) = 一 1(1 + 0.221)2(-0.2)xX一20.1X 2 ,1 +X当 X - 1, - 1 时9 (x) e 9 ( 1),9 () = - 1 0.2,- *1 - 02、3 3=-0.8944 ,-0.8084 u -1,丄g (x) = x21 + 02,xg r(x) = 2x ：1 + 叱 +xx2丄(1 + 0.2)- 2( - 0.2) x - 22x=：1 + 2)-叮2 x (1x0.2+ ) - 0.1x0.2 -丄0.2 -=(1 +) 2(2x + 0.4 - 0.1) = (2x + 0.3)(1 +) 2xx当 x e -1,-时，g (x) 0J3g (-丄)=-v1 - 0.23 = 押33当 x e -1,-时9 (x) 010.3=0.3711g ( )x 1 0.2 x： 3迭代格式(III)对任意x 0 e -1,-丄均收敛于x *，取 x 0 =- 08,计算得 x1=-0.866025 , x2 =-0.876961 , x3-0.878601x4 = -0.878843 , x1* =-0.8795.已知x =9 (x)在区间a, b 内有且只有一个根，而当a x b时,(1)试问如何将x = 9 (x)化为适用于迭代的形式?将x = tan x化为适用于迭代的形式，并求x二4.5(弧度)附近的根。解：(1)由空二丄dx dxdydx将x r (x)改写为x1( x)，则此空二d 9 (x)dx当 x G a, b 时，dx 1 1，这时迭代格式为kxk +1 =厂1( xk )，k = 0,1,2,是局部收敛的。申，(x)二1+x 2兀3兀22兀3兀22时且9 ( x ) G当 x Gb (x)|1迭代格式y = arctan xy =兀 + arctan x对任意x0e -，匹均收敛22取 x = 4.5 得x = 4.49372 ， x = 4.49342 ， x = 4.493410 0123具有 5 位有效数的根为 x * 4.49346.设(1)方程f (x) = 0有根x* ; (2)对一切x e R , f(x)存在且0 V m f(x) M。证明对于任意的九e (0,2.；M )，迭代格式x = x 一九 f (x )(k = 0,1,2,)k +1 kk是局部收敛的。解：0 m f (x) Mx = x 一 九 f (x ) k +1 kk7Q (x) = x 一九f (x)A (x) = 1 -九f (x)Q(x*) = 1 -九f(x*)当 九 e (0,2)时 1 九 M Q(x*) 1 九 m， Q(x*) 1( 9 (x*) f(x*),22 f，(x*)3 广忆 k )(x * x )346k f (xk )kx * xk丄f(x*)f(x*)1 f(x*)(x* x )32 f (x*) f (x*)6 f (x*)ka11.应用Newton法分别导出求方程f (x)二xn a二0和f (x) = 1 一二0的xn根n a的迭代格式，并求lim (n a x )；( nJ a x )2。 k +1 1kk t a解：1)解方程f (x) = 0的Newton迭代格式xk+1 = xkf (xk)八xk)f (x)f，( x)八x)2 f (x)八x)二 f (x)八x)f (x)2f (x)2lim 申(x) = 0*x t x9 (x)= f (x) + f (x)f ( x )f(x)f(x)lim 9 (x)二*x t xf( x *) f( x *)*x * xlimkta (x* x )2k* x*nx n 一 1一1，2) f (x) = xn 一 a， f(x) = nx n_ 1， f (x) = n(n - 1)xn_2，f(x)n(n 一 1)xn一2 n 一 1f (x)nxn 一1xNewton迭代格式x二xk+1 k叫一1xkn 一 a一1x n 一 a1 a=x 一 k = (1 一 ) x +x1 - nk nx n 一 1nk n kklimk t a町a 一 xk+1a3) f (x) = 1 ， f(x)二 anx 一(n +1)， f(x)二一an (n + 1)x 一(n + 2)xnaxn+1,an1f (x)二xnf(x) anx 一(n +1)f(x) 一 an (n + 1)x一(n + 2)n + 1f(x)anx-(n +1)xNewton 迭代格式xk +1 = xkf (xk)八xk )xn+1kan一 nx k二(1+ n) xkxn+1kan对 a xf(x *)n + 1limk +1 = - J =kT8 (n：a x )22f(x*) 2 - nak12.试写出求方程1 c二0(其中c为已知正常数)的Newton迭代格式，并证明当初值x 0满足0 x0x2 2时迭代格式收敛。该迭代格式中是否含有除法运c算？解：记f (x) = c -丄，则求1等价于求方程f (x) = 0的根.xcf( x 2 a 八 x)=x3Newton 迭代格式为xk+1 = xkf (xk) 八xk )xkx严（2 一 cxk）k = 0,1,2,对任意 x0e2(0,)，cx01oxk2存在充分小的6 （6 -）,6 , 2 - 6 现在考虑区间a,b=611f (a )= f (5 ) = c =(c5 - 1) 02 一 c52o当 x e a, b 时f (x) 03o当 x e a, b 时f (x) 0f ( 5 )24o5-5 (2c 5 ) 02c5 (2 c5 ) 2 c5 5 (2 c5 ) 5 f (a) f (b) 5 c因而 当 x0e (0,2)时,cNewton 迭代格式收敛。直接证明x (2 - cx )kk1 - CXk 二 1 - CXk (2 - CXk)= (I-CXk)2l- cxk = (I- cxk -1)2 =(1 - cx0)2klim xkk t alim (1ktacxk)=0o lim (1- cx0)2kktao 1 - cx 02 e (0,)算至c18.用劈因子法解方程 x3 - 3x2 - x + 9 = 0 (取 w (x) = x2 - 4x + 6 ,0r 0.005 , r 0.005 )0 1解：f (x) = x3 - 3 x 2 - x + 9取-0(x) = x2 - 4x + 61+11 - 4 + 6；1 - 3 - 1 + 91 - 4 + 61 - 7 + 91 4 + 6-3 + 35 A u + A v = - 3A u = -0.545455-6Au + Av = 3Av = -0.272727于是得到w (x) =w (x) + A ux + A v = x 2 - 4.54546 x + 5 . 72727 1、 0、.6.09092 Au + Av = 0.29756.-5.72727 Au + 1.54546 Av = 0.14873Au = 0.0205500 ， Av = 0.172392w 2(x) = x2 - 4.5 2 4 9x1+ 5.8 9 9 6 6 22(x)(x + 1.52491 )x 二 2.26246 土 0.883718 i1,2x = -1.52491319.用适当的迭代法求下列方程组的根，精确至4 位有效数解：If 1 ) x 二 sin y12丿f 1x 二 cos x13丿1xk+1 二 sin2 儿)1yk+1 二 cos(3 xk)k0123456xk000.4794260.4794260.4738250.4738250.473955yk0110.9872580.9872580.9875530.987553k789xk0.4739550.4739520.473952yk0.9875460.9875460.987546k = 0,1,2,x* 二 0.4740y* - 0.9 8 7 5- 18 -2.48998，x2 = 2.49095，x厂 2.49086x* q 2.494.用简单迭代格式求方程x3 - x - 0.2 = 0的所有实根，精确至有3位有效数。解：f (x) = x3 一 x 一 0.2 = x(x* 2 一 1) 一 0.2f(x) = 3x2 - 1 = 3(x2 -)3