任意角、度量、三角比

任意角、任意角的度量、任意角的三角比知识导引1. 角的定义：角可以看作是平面内由一条射线绕着它的端点从初始位置旋转到终 止位置所形成的图形射线的初始位置叫做角的始边,射线的终止位置叫做角 的终边,射线的端点叫做角的顶点2. 正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转 形成的角为负角；当一条射线没有旋转时,我们也认为形成了一个角,这个角称为零角（zero angle）,其度量值为00 .3. 象限角、轴间角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边在X轴的正半轴上，这 时角的终边在第几象限，这个角就是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限如：1200与-2400都是第二象限角并且终边也相同4. 角a终边相同的角的集合：卩I卩二k-3600+a,k eZ 5. 角度制、弧度制：把周角分成360等分，每一份叫做1度的角,这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制；由于 10的圆心角所对的弧长为2兀r兀小兀xl兀x二 r，因此x0的圆心角所对的弧长为1= r，由此得到二忌,360180180r 180ll说明-仅与角的大小x有关，即对于不同半径的圆来说，比值-恒不变.因此rr我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角大小，特别 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，用符号rad表 示，读作弧度，用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.6. 1弧度的弧长l等半径的长度丫，相当于圆周长2兀r的丄，所以1弧度相当2兀1360 0 18001于3600的 ，即：1弧度=沁57018/.反之,10是圆周角的，2兀2兀 兀3601周角 1 2兀r 兀也就是2兀弧度的 ，即1 0 =.=（弧度）-0.01745（弧360360 360 r180度）.7. 特殊角的角度数与弧度数的对应关系.（提问学生）& 任意角的三角比：设P （x,y）是角a终边上任意一点（不重合于角的顶点），则P到坐标原点0的距离为r = op| =：x2 + y2 .定义yxyxrrsm a = ,cos a = ,tan a = ,cot a = ,sec a = ,sec a =.显然当r r x y x y角a的终边落在y轴上时有x = 0，所以tan a和sec a不存在；当角a的终边落在x轴上时有y = 0,所以cot a和csca不存在；角a的终边无论落在什么位置，因为点P不是角的顶点，所以r二op 0，所以sina和cosa总是存在的.显然任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取的点P 的位置无关9. 各象限角的三角函数值符号规律：正弦上为正，下为负，横为零余弦右为正，左为负，纵为零 正切一三为正，二四为负，横为零，纵不存在10. 单位圆上点P的坐标总可以表示成(cosa ,sina ).11. 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线12. 特殊角的三角比(提问学生)二、 经典例题例1.判别下例各角分别属于哪一个象限,并分别写出与这些角终边重合的角的集合(1) -200 0 (2)20000(3) -13500aa例2.如果a是第二象限的角，那么分别是第几象限的角？例3. (1)设扇形的圆心角为a (0 a 2兀)，半径为r,弧长为l,面积为s,求证 10 l = ra2030s = Ir2(2) 若一扇形的周长为20cm，求扇形的圆心角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积例4.(优)(1)终边在射线y二x(x 0)上的角的集合与终边在直线y二x上的角的集合 是否相同？它们之间是什么关系？(2)在直角坐标系中若角a与卩的终边互为反向延长线，则a与0之间是什么关系?若角a与卩的终边分别关于x轴、y轴、直线y = x对称，则a与卩之间又有什么 关系?例5.已知角a的终边上一点P (-91,121) ,(t0).求a角的六个三角比的值.- 0 . 0例6.已知0是第三象限角(1)若sec 0,试确定的终边位置；厶厶(2)若cos20三0,试确定20的终边位置.例 7.确定下列三角比的符号：(1) sin (-234)(2) cos1648(3) tan(- *) (4) sin(cos0 ),( 0 丘11)三、巩固练习1. 写出终边分别在X轴、y轴正负半轴的角的集合;(2) 写出终边分别在x轴、y轴的角的集合；(3) 写出终边在坐标轴的角的集合2.设0 0 2兀，如果sin9 0且cos 29 0，则9的取值范围是()3兀3兀兀3兀5兀7兀(A)兀 9(B)9 2兀(C) 一9 (D)9 cos x成立的x的取值范围是(./5兀、A)U兀r14 2丿1 4丿C)兀5兀 45T 丿B)5兀 3兀、5兀U14丿1 4 2丿14, TD)4. (优)求满足条件的角a构成的集合11)(2) cos a 0 a，则a的取值范围 7.(优)如果a是第二象限的角，判断sin(cos a)cos(sin a )的符号8.sin(-空)+ cos竺伽4冗-cos空的值为673sin 780。+ tan 405。tan(-330。) _cot(690。) - cos 390。cos(-300。)9.满足|sina丨二-sina的角a的取值范围是;满足sina cosa 0的角a的取值范围是10.(优)扇形AOB的中心角为29，半径为r，在扇形AOB中作内切圆O及与圆O外11切，与OA,OB相切的圆O，问sin9为何值时，圆O的面积最大？最大值是多少？22