线代A复习892ppt课件

线性代数复习线性代数复习 行列式行列式典型的行列式典型的行列式行列式的性质、计算，行列式的性质、计算，矩阵及其运算矩阵及其运算.,解解矩矩阵阵方方程程逆逆矩矩阵阵矩矩阵阵的的运运算算 向量与向量空间向量与向量空间.念念及及判判别别，秩秩向向量量的的线线性性相相关关性性的的概概 线性方程组线性方程组.及及求求通通解解线线性性方方程程组组解解的的存存在在性性 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化.称称矩矩阵阵的的相相似似对对角角化化实实对对质质及及正正交交矩矩阵阵的的判判定定；与与正正交交变变换换的的定定义义、性性矩矩阵阵似似对对角角化化的的条条件件；正正交交的的概概念念、性性质质，矩矩阵阵相相矩矩阵阵念念、性性质质、计计算算；相相似似特特征征值值、特特征征向向量量的的概概 二次型二次型.)(;的的判判定定矩矩阵阵正正定定二二次次型型型型为为标标准准形形念念；用用正正交交变变换换化化二二次次的的概概形形、合合同同、正正定定二二次次型型二二次次型型、二二次次型型的的标标准准 线性空间与线性变换线性空间与线性变换;,;标向量在不同基下的坐向量的坐标过渡矩阵数与基求线性空间的维概念及判定线性空间与线性变换的aaaaaana 11111)1(aana1)1(1rrn【例例1】计算计算【解解】nD12rr .111aaaaaaaaaDn .1na 01000121cc ncc 1.341352,443132322 ,BAXBAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵【解解】.)()(1BEAXBXEA ，343431312252321)(BEA 1226209152052321122rr 133rr 【例例2】.313223 X 1226209152052321 311009152041201 311006402023001，31100320102300121rr 23rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r 解矩阵方程解矩阵方程【解解】，设设CAXB ,02 A而而,21 B11 BCAX，02|02|BA，11BA,0122211 A,2101211 B【例例2】CAXB 1 A1 AE1 B1 BEX12 10 208241.210221 .101111022120 X .12,4,4,8,6,2,1,1 ,9,2,2,1,6,6,1,1 ,3,4,1,254321 TTTTT 【解解】126963422644121181112A 12696342264811124121121rr【例例3】.空间的维数和基空间的维数和基求下列向量生成的向量求下列向量生成的向量，的维数为的维数为3)(54321 L.,421为为它它的的一一个个基基 126963422648111241211 033301261010003330412112310rr ，00000126101000111041211，000001240000111041211122rr 134rr 143rr 24rr )3(2 r.,?,101253215336 3 12 3 4321432143214321求求通通解解在在方方程程组组有有解解时时方方程程组组有有解解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组kkxxxxxxxxxxxxxxxx 【例例4】kA1012513215133613112311【解解】112960086402422012311k12rr 14rr 133rr 50300402001211012311k 10000201001211012311k243rr 232rr 22 r343rr 23 r.134,3)()(,1独独立立参参数数的的无无穷穷多多解解个个方方程程组组有有依依赖赖于于时时当当 ARARk32rr 314rr 00000201001211000401 00000201001211012311A21rr 00000201003201080001于是有于是有 4434212328xxxxxx故原方程组的通解为故原方程组的通解为).(023810204321Rkkxxxx 【解解】,012 A;442)1(32212221xxxxxxf 用正交变换将下列二次型用正交变换将下列二次型化为标准形，化为标准形，2 02 2 2 0【例例5】并写出相应的正交变换并写出相应的正交变换.20212022 AE0.2,1,4321 0002102014202320224,41AE时时 20212022 AE,1221 p 0002110101120202021,11AE时时 20212022 AE,2122 p 00021101012202320242,23AE时时 20212022 AE,2213 p.24232221yyyf ,下，下，即即在正交变换在正交变换 Qyx,22121212231030201 pppQ3211313232yyyx 3213323231yyyx 3212323132yyyx 102030201 AE ,0312 .1,3321 102030201A【解解】3123222143)2xxxxxf 332231xxxxxx 0000001012020002023,321AE时时 .101,01021 pp102030201 AE 000010101202040202,13AE时时 1013p,0333231 xxxxxx102030201 AE.,321Qppp阵阵它们单位化即可得正交它们单位化即可得正交故只需将故只需将两两正交两两正交所以所以,21恰好正交恰好正交与与pp于是得正交阵于是得正交阵030201pppQ 则在正交变换则在正交变换.33232221yyyf 2121000121210下，下，即即 3231232121212121,yyxyxyyxQyx212,|,.1 AA为四阶方阵为四阶方阵设设|1A则则|2|A|*A328)(.3ARbxAnm 有有唯唯一一解解若若n 填空填空|.4AOxAnn 有有非非零零解解若若0,2,1.2 的的特特征征值值为为已已知知二二阶阶方方阵阵 A|3EA则则321321,.5 则则为正交向量组为正交向量组.6相等相等等价向量组等价向量组.14 线性无关线性无关秩秩有有唯唯一一解解，则则若若bAx .7OAx .只有零解只有零解|,.83223ABBA则则设设9.m ,21线性无关线性无关),(21mR m0所所围围图图形形面面积积为为则则曲曲线线它它的的特特征征值值为为设设12,16,9,)(.012221221122 yaxyaxaAAaATij.12 与对角阵相似与对角阵相似阶方阵阶方阵An.11.特征向量特征向量的的个个有有nA线性无关线性无关 321相相似似于于已已知知 44644325.21xA x则则.5|,100210104,101021001.3111BABA则则.81,3211.41 A已已知知 1A 121351.合同合同EAAxxT与与则则正正定定若若二二次次型型,.51.,.61321的线性组合的线性组合其余向量其余向量有一个向量有一个向量线性相关线性相关 至少至少是是1.设是3阶矩阵,且,其中,则行列式 21222112111212111122)()(,2|,.17AaAaAaAaAA则则且且已知已知.21 12)(,4.18EAOEAA则则已知已知.22EA 且且是是三三阶阶矩矩阵阵,.19BA为三维列向量，为三维列向量，32,3|,15|BA,323232 BA|BA则则1 12)(,.02EAOAAn则则满足满足阶方阵阶方阵).(EA 2.1 aa且且 BA,323232 BA232|2|32 BA|2|2|3232|2|23232 15|6|32|3232 A25|32 ,3|,15|BA.165 设设A A为三阶方阵，其特征值为为三阶方阵，其特征值为2 2，3 3，1 1，其对应的特征向量分别为，其对应的特征向量分别为对应的特征向量对应的特征向量其特征值为其特征值为为二阶方阵为二阶方阵设设,2,1,.23A ,12 P记分块矩阵为记分块矩阵为，则，则 APP1则则=,21 为为 12.无关无关6,2)(),2(2,.22321221 ARbAbA 已知已知的通解为的通解为则则bAx .)2(121 k ,133221 110011101,321 0,110011101 3),(321 R ),(133221 R,110011101为为满满秩秩阵阵|,|133221 110011101|,|321 623 ),(,101021111.25321xxxfAf则则的矩阵的矩阵二次型二次型.2223121232221xxxxxxx