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第三十八讲 抛物线 回归课本 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F和一条定直线 l(Fl)的距离 相等的点的 轨 迹 叫做抛物 线 2抛物线的标准方程和几何性质 (如下表所 示 ) 标 准 方 程 y2 2px(p0) y22px(p0) 图 形 范围 x 0 ， y R x 0 ， y R 准线方 程 x p 2 x p 2 焦点 F p 2 ， 0 F p 2 ， 0 性 质 对称轴 关于 x 轴 对称 顶点 O ( 0,0) 离心 率 e 1 焦半 径 | MF | x 0 p 2 | MF | p 2 x 0 标准 方程 x 2 2py(p0) x2 2py(p0) 图形 范围 y 0 ， x R y 0 ， x R 准线方程 y p 2 y p 2 性 质 焦点 F 0 ， p 2 F 0 ， p 2 对称轴 关于 y 轴 对称 顶点 O ( 0,0) 离心率 e 1 性质 焦半径 | MF | p 2 y 0 | MF | p 2 y 0 考点陪练 1. 过抛物线 y 1 4 x 2 准线上任一点作抛物线的两条切线，若切 点分别为 M 、 N ，则直线 MN 过定点 ( ) A ( 0 , 1 ) B ( 1 , 0 ) C (0 ， 1 ) D ( 1 , 0 ) 答案： A 解析： 特值法，我们不妨取抛物线准线与 y 轴交点 (0 ， 1) 来研究一下，设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ，根据抛物线的导数为 y x 2 ，可 得切线的斜率 k x 0 2 ，所以切线方程为 y 1 x 0 2 x ，由于切点在切 线和抛物线上，所以可得方程组 y 0 x 0 2 2 1 y 0 x 0 2 4 ，可得 x 0 2 ， y 0 1 ，对比选项，直线 MN 过定点 ( 0 , 1 ) ，故选 A. 2 已知点 P 是抛物线 y 2 2 x 上的一个动点，则点 P 到点 ( 0 , 2 ) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) A. 17 2 B 3 C . 5 D. 9 2 解析： 如图，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x 1 2 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离 | PF |. 答案： A 因此点 P 到点 ( 0 , 2 ) 的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为 P 到点 ( 0 , 2 ) 的距离与点 P 到点 F 的距离之和，其最小值为点 M ( 0 , 2 ) 到点 F 1 2 ， 0 的距离，则距离之和的最小值为 4 1 4 17 2 . 答案： D 3 过抛物线 y 2 4 x 的焦点的直线交抛物线于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，则 OA OB 的值是 ( ) A 12 B 12 C 3 D 3 解析： 设 AB 方程为 x my 1 ， A 、 B 坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 将 AB 方程代入 y 2 4 x 得： y 2 4 my 4 0 ， y 1 y 2 4. 又 OA OB x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 2 4 y 2 2 4 y 1 y 2 16 16 4 3. 4 过 (0,1)作直线 ， 使它与抛物线 y2 4x仅有 1 个公共点 ， 这样的直线有 ( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 解析： 过点 (0,1)可作抛物线 y2 4x的 2条切线 ， 还可作 1条与对称轴 (x轴 )平行的直线 ， 这 3条直 线与抛物线都仅有 1个公共点 答案： C 答案： D 5 从抛物线 y 2 4 x 上一点 P 引其准线的垂线，垂足为 M ， 设抛物线的焦点为 F ，且 | PF | 5 ，则 M P F 的面积为 ( ) A 5 6 B. 25 4 3 C 2 0 D 10 解析： 由抛物线的定义知 | PF | | PM | 5 ，则 P 到 y 轴距离为 4. 即 P ( 4 , 4 ) ，所以 M P F 的面积为 1 2 5 4 1 0 .故选 D. 类型一 抛物线定义的应用 解题准备： 利用抛物线定义中到定点的距离与定直线的距离 相等这一重要性质可以求抛物线的方程或进行有关计算 【典例 1 】 ( 1 ) 在抛物线 y 2 4 x 上找一点 M ，使 | MA | | MF | 最小，其中 A ( 3 , 2 ) ， F ( 1 , 0 ) ，求 M 点的坐标及此时的最小值； ( 2 ) 已知抛物线 y 2 2 x 和定点 A 3 ， 10 3 ，抛物线上有动点 P ， P 到点 A 的距离为 d 1 ， P 到抛物线准线的距离为 d 2 ，求 d 1 d 2 的 最小值及此时 P 点的坐标 分析 要求最小值问题，可考虑抛物线的定义， 通过定义转化为 “ 两点之间线段最短 ” 及 “ 三 角形两边之和大于第三边 ” 这一结论 ( 1 ) 如图，点 A 在抛物线 y 2 4 x 的内部，由抛物线的定义可知， | MA | | MF | | MA | | MH |，其中 | MH |为 M 到抛物线的准线的 距 离过 A 作抛物线的准线的垂线交抛物线于 M 1 ，垂足为 B ，则 | MA | | MF | | MA | | MH | | AB | 4( 当且仅当点 M 在 M 1 的位置时 ) ，此 时 M 点的坐标为 ( 1 , 2 ) ，最小值为 4. 解析 ( 2 ) 如图，点 A 3 ， 10 3 在抛物线 y 2 2 x 的外部，由抛物线的定 义可知， d 1 d 2 | PA | | PF | | AF | 25 6 ( 其中 F 为抛物线的焦 点 ) 此时 P 点的坐标为 ( 2 , 2 ) 点评 熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键利用抛物线 定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转 化例如若点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 是抛物线 y 2 2 px ( p 0 ) 上的任一点，则该 点到抛物线的焦点 F 的距离 | PF | x 0 p 2 ( 焦半径公式 ) ，这一公式 的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方 便在求过焦点的弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离 之和，再用韦达定理求解，有时也把点到准线的距离转化为点到 焦点的距离进行求解 探究 1： AB为抛物线 y x2上的动弦，且 |AB| a(a为常数且 a1) ，求弦 AB的中点 M到 x轴的最 近距离 解析： 设点 A ， M ， B 的纵坐标分别为 y 1 ， y 2 ， y 3 ， A ， M ， B 三点在准线上的射影分别为 A ， M ， B . F 为抛物线的焦点 由抛物线的定义，得 | AF | | AA | y 1 1 4 ， | BF | | BB | y 3 1 4 . y 1 | AF | 1 4 ， y 3 | BF | 1 4 . 又 M 是线段 AB 的中点， y 2 1 2 ( y 1 y 3 ) 1 2 | AF | | BF | 1 2 1 2 | AB | 1 2 1 4 (2 a 1) 等号在 AB 过焦点 F 时成立 a 1 ，即 | AB | 通径的长这 样的弦 AB 一定存在，故等号可取到 即当定长为 a 的动弦 AB 过焦点 F 时，中点 M 与 x 轴的距离 最近，最近距离为 1 4 (2 a 1 ) 点评： 此题的解法很多 ， 以上述解法最为简捷 ， 可见熟悉圆锥曲线的定义 ， 在解题中运用定义 ， 并注意挖掘题目隐含的几何性质 ， 可使解题过 程简明快捷 ， 少走弯路 在高考中对抛物线定义和标准方程的考查涉及 到许多方面 ， 常常运用定义导出方程 、 求轨迹 、 最值等 ， 从正 、 逆两个方向考查其几何性质 ， 还常常与函数单调性 、 对称性 、 应用性问题结 合起来考查 题型以选择 、 填空题为主 ， 重在 考查基础知识 ， 少数是中等题或难题 类型二 求抛物线的方程 解题准备： 待定系数法是求抛物线标准方程的 主要方法 ， 利用抛物线的定义及图形的性质求 标准方程中待定的一次项系数 ， 往往可简化过 程 【 典例 2】 求下列各抛物线的方程： (1)顶点在坐标原点 ， 对称轴为坐标轴 ， 且经过 点 M( 2， 4)； (2)顶点在坐标原点 ， 焦点在 y轴上 ， 抛物线上一 点 Q(m， 3)到焦点的距离等于 5. 点评 这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的 讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后 求解，以致失去另一解 解析 ( 1 ) 设抛物线为 y 2 mx 或 x 2 ny ，则 ( 4) 2 m ( 2) m 8 或 ( 2) 2 n ( 4) n 1. 所求的抛物线方程为 y 2 8 x 或 x 2 y . ( 2 ) 依题意，抛物线开口向下，故设其方程为 x 2 2 py . 则准线 方程为 y p 2 ，又设焦点为 F ， 则 | QF | p 2 y Q ，即 p 2 ( 3) 5 p 4. 故抛物线方程为 x 2 8 y . 探究 2 ： 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水 面宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露在水面上的部 分高 3 4 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船不能通 航？ 解析： 如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方 程为 x2 2py(p0)，由题意，将 B(4， 5)代 入方程得 p 1.6， x2 3.2y，船面两侧和抛 物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA ， 则 A (2 ， y A ) ，由 2 2 3 . 2 y A ，得 y A 5 4 ，又知船面露出水 面上部分为 3 4 米， h | y A | 3 4 2 米 即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时， 小船开始不能通航 类型三 抛物线几何性质的应用 解题准备： 抛物线的每一条过焦点的弦被焦点 分成两段焦半径 ， 由焦半径公式可推出抛物线 的焦点弦长公式：设过抛物线 y2 2px(p0)的 焦点 F的弦为 AB， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 弦长 |AB| |AF1| |AF2| x1 x2 p.特别地 ， 当弦 AB与抛物线的对称轴垂直时 ， 这条弦称为 通径 ， 其长度为 2p. 【典例 3 】 已知 AB 是抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点弦， F 为 抛物线焦点， A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ，求证： ( 1 ) y 1 y 2 p 2 ， x 1 x 2 p 2 4 ； ( 2 ) | AB | x 1 x 2 p 2 p s in 2 ( 为直线 AB 与 x 轴的夹角 ) ； ( 3 ) S A O B p 2 2 s i n ； ( 4 ) 1 | AF | 1 | BF | 为定值； ( 5 ) 以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切 分析 考查抛物线过焦点的弦的性质 将抛物线的焦点弦的方程设出 ， 代入抛物线方 程 ， 利用韦达定理等解决问题 证明 ( 1 ) y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F p 2 ， 0 ， 设直线方程为 y k x p 2 ( k 0) 由 y k x p 2 y 2 2 px 消去 x 得 ky 2 2 py kp 2 0 y 1 y 2 p 2 ， x 1 x 2 y 1 y 2 2 4 p 2 p 2 4 . 当 k 不存在时，直线方程为 x p 2 ， 这时 y 1 p ， y 2 p ，则 y 1 y 2 p 2 ， x 1 x 2 p 2 4 . 因此，总有 y 1 y 2 p 2 ， x 1 x 2 p 2 4 成立 ( 2 ) 由抛物线定义： | AF |等于点 A 到准线 x p 2 的距离 | AF | x 1 p 2 ，同理： | BF | x 2 p 2 . | AB | | AF | | BF | x 1 x 2 p . 又 y k x p 2 x 1 k y p 2 . x 1 x 2 1 k ( y 1 y 2 ) p 由方程 知： y 1 y 2 2 p k . x 1 x 2 2 p k 2 p 将 代入 得 | AB | 2 p k 2 2 p 2 p 1 1 k 2 2 p 1 1 tan 2 2 p s in 2 . 当 AB 斜率不 存在时，此时 2 ，把 x p 2 代入 y 2 2 px 得 A p 2 ， p ， B p 2 ， p ， AB 2 p 2 p s in 2 2 ， 综上 | AB | 2 p s in 2 . ( 3 ) 如下图， S A O B S A O F S B O F 1 2 | OF | | AF | s i n ( ) 1 2 | OF | | BF | s i n 1 2 | OF | s i n (| AF | | BF |) 1 2 | OF | | AB | s i n 1 2 p 2 2 p s in 2 s i n p 2 2 s i n . ( 4 ) 1 | AF | 1 | BF | 1 x 1 p 2 1 x 2 p 2 x 1 x 2 p x 1 x 2 p 2 x 1 x 2 p 2 4 ， 又 x 1 x 2 p 2 4 ， x 1 x 2 | AB | p ，代入上式得 1 | AF | 1 | BF | 2 p 常数 ( 5 ) 设 AB 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) 分别过 A 、 M 、 B 作准线的垂线， 垂足为 C 、 N 、 D ， 则 | MN | 1 2 (| AC | | BD |) 1 2 (| AF | | BF |) 1 2 | AB |. 以 AB 为直径的圆与准线相切 探究 3：如图， AB是过抛物线 y2 2px(p0)焦点 F的弦， M是 AB的中点， l是抛物线的准线， MN l， N为垂足求证： ( 1 ) AN BN ； ( 2 ) FN AB ； ( 3 ) 若 MN 交抛物线于 Q ，则 Q 平分 MN ； ( 4 ) 1 | FA | 1 | FB | 2 p . 分析： 各小题可利用抛物线的定义并结合平面 几何知识来证明，当然也可以考虑代数方法 证明 ： ( 1 ) 作 AC l ，垂足为 C ，作 BD l ，垂足为 D ，在直角 梯形 A B DC 中， | AF | | AC |， | BF | | BD |， | MN | 1 2 (| AC | | BD |) 1 2 ( | AF | | BF |) 1 2 | AB |， 由平面几何知识可知 A N B 是直角三角形，即 AN BN . (2)连结 NF， |AM| |NM|， MAN MNA， AC MN， CAN MNA， MAN CAN. 在 ACN和 AFN中 ， |AN| |AN|， |AC| |AF|， 且 CAN FAN， ACN AFN， NFA NCA 90 ， 即 FN AB. (3)在 Rt MNF中 ， 连结 QF， 由抛物线的定义 及 (2)的结论得 |QN| |QF| QNF QFN， 且 QFN 90 QFM， QMF 90 QNF， QFM QMF， |QF| |QM|， |QN| |QM|， 即 Q平分 MN. ( 4 ) 解法一：当 AB 不垂直于 x 轴时，可设 AB 的方程为 y k x p 2 ，将之与 y 2 2 px 联立，消去 x ，得 ky 2 2 py kp 2 0( k 0) 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 y 2 p 2 ， y 1 2 2 px 1 ， y 2 2 2 px 2 ， x 1 x 2 y 1 2 y 2 2 4 p 2 p 2 4 ， x 1 x 2 1 2 p ( y 1 2 y 2 2 ) 1 2 p ( y 1 y 2 ) 2 2 y 1 y 2 1 2 p 2 p k 2 2 p 2 2 p k 2 p ， 1 | FA | 1 | FB | 1 x 1 p 2 1 x 2 p 2 x 1 x 2 p x 1 x 2 p 2 x 1 x 2 p 2 4 2 p k 2 2 p p 2 4 p 2 2 p k 2 p p 2 4 1 k 2 1 2 p 1 k 2 1 p 2 2 p . 当 AB 垂直于 x 轴时， | FA | | FB | p ，结论显然成立 综上可知， 1 | AF | 1 | BF | 2 p . 解法二：设 l 与 x 轴交于点 E ， MN EF ， M N F N F E . Rt N F M Rt F E N ， | EF | | FN | | FN | | MN | ， 2 | EF | 2| MN | | FN | 2 | AC | | BD | | FN | 2 | AF | | BF | | AF | | BF | 1 | AF | 1 | BF | ， 1 | AF | 1 | BF | 2 p . 点评： 借助于抛物线的定义及平面几何证明比 用纯代数方法证明要简单，所以对于一些解析 几何问题，可以灵活运用平面几何性质并辅助 代数运算进行，这就使我们的解析几何问题有 了 “ 双翼 ” ，解题思路更灵活，以上结论在解 题中有着重要应用，可简洁地求解有关的选择、 填空题，应牢记 快速解题 技法 求证：过抛物线 y2 2px(p0)的焦点的 所有弦中 ， 垂直于对称轴的弦最短 快解： 设过焦点 F p 2 ， 0 的直线的方程为 x p 2 t c o s y t s i n ( 其中 t 为参数 ) 代入 y 2 2 px ，得 t 2 s i n 2 2 pt c o s p 2 0 则 | AB | 2 ( t 1 t 2 ) 2 ( t 1 t 2 ) 2 4 t 1 t 2 2 p c o s s i n 2 2 4 p 2 s i n 2 4 p 2 c o s 2 s i n 2 s i n 4 4 p 2 s i n 4 当 s i n 1 即 2 时， | AB | m i n 2 p ，此时直线方程为 x p 2 .
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