固体物理第一章习题.ppt

1 第一章 习题 2 2在立方晶胞中，画出 (101)， (021)， (122)和 (210)晶面 提示 密勒指数 (hkl)为离坐标原点最近的晶面与坐标轴 截距的倒数。 思路和步骤 （ 1）画一晶胞，选取坐标原点和坐标轴。 （ 2）在三个坐标轴上作截点。 （ 3）由三截点确定晶面。 3 解答 4 4设某一晶面族的面间距为 d，三个基矢 a1， a2， a3末端分别落在离原点的距离为 h1d， h2d， h3d的晶 面上。试用反证法证明： h1， h2， h3互质。 a b c a1 a2 a3 O n 分析 基矢 a1， a2， a3末端分别 落在离原点的距离为 h1d， h2d， h3d的晶面上，等价 于与坐标原点最近的晶面 在坐标轴上截距为 a1/ h1， a2/h2， a3/ h3 5 证明 设该晶面族的单位法矢量为 n 取离原点最近的晶面上一个格点，该格点的位 置矢量为 1 1 2 2 3 3r l a l a l a l1, l2, l3是整数 1 1 2 2 3 3r n d l a n l a n l a n 1 1 2 2 3 3,a n h d a n h d a n h d 由已知条件可得 1 1 2 2 3 3r n d l h d l h d l h d 则 1 1 2 2 3 3 1l h l h l h 则 6 假定 h1, h2, h3不是互质数，公约数 p1 1 1 2 2 3 3, , .h p k h p k h p k 1 1 2 2 3 3 1l h l h l h 1 1 2 2 3 3 1p k l p k l p k l 1 1 2 2 3 3 1k l k l k l p 于是得到： 由上式可得： 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的 矛盾的产生是 p为不等于 1的整数的假定。 也就是说 p只能等于 1，即 h1, h2, h3一定是互质数。 7 8六角晶胞的基矢 33 , 2 2 2 2 aaa a i j b a i j c c k 分析 a b c 2 bca 2 cab 2 abc 求其倒格基矢 8 晶胞体积为 倒格矢为 23 3 3 .2 2 2 2 2aaa b c a i j a i j c k a c 22 3 2 2 32.2 2 33bc aa a i j c k i jaac 22 3 2 2 32 2 33ca ab c k a i j i jaac 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 ab aa c a i j a i j kcac 解答 9 9. 证明以下结构晶面族的面间距： (1)立方晶系： (4)简单单斜： 12 2 2 2 h k ld a h k l 1 22 2 2 2 2 2 1 2 c o s s inh k l h l h l kd a c a c b 思路 1 设该晶面族的单位法矢量为 n ,a n h d b n k d c n l d c o s ( ) , c o s ( ) , c o s ( )a a n h d a b n k d a c n l d 2 2 2c o s ( ) c o s ( ) c o s ( ) 1a n b n c n 10 思路 2 利用倒格矢的模与面间距的关系 2 h k l h k l d k 11 (1) 设沿立方晶系晶轴 a, b, c的单位矢量分别为 , , ,a a i b a j c a k 解答 倒格子基矢为 2 2 2,a i b j c k a a a 与晶面族（ hkl）正交的倒格矢 hk lk h a k b l c 12 由晶面间距 dhkl与倒格矢 khkl的关系式 2 h k l h k l d k 2 2 2hk l ad h k l 13 (4)单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别 满足 abc和 = = 90， 90 s i nb c a a b c 2 2 bc a ca b 2 ab c 22 , s in s in bcaa a b c a b a c 得其倒格子基矢长度 14 2bb b 2 s incc c 2 2 2 2 2 22211 2 * * 2 * * 2 * *4 hk l h a k b l c hk a b k l b b hl a cd 由晶面间距 dhkl与倒格矢 khkl的关系式得 2 h k l h k l d k 15 倒格基矢的点积 2 2 22 2 24 4 4 c o s* s i nc a a b b c a b b c a c b b ac 因为 ca矢量平行于 b，所以 2 2 2 2 4 * * 0 4 * * 0 a b b c c a b c c a a b 将以上诸式代入： 2 2 2 2 2 22211 2 * * 2 * * 2 * *4 h k l h a k b l c h k a b k l b b h l a cd 16 得到： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 c o s 1 2 c o s s i n s i n s i n s i nh k l h k l h h l h l k d a b c a c a c a c b 即： 1 22 2 2 2 2 2 2 1 2 c o s s i nh k l h l h l kd a c a c b 17 15. 对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为 (hkl) 求对应的原胞坐标系中的面指数 (h1h2h3)。 若已知 (h1h2h3)，求对应的密勒指数 (hkl)。 分析 这类问题可以用倒格矢来处理，因为是同一组晶 面在两种不同坐标系的表示，其对应的倒格矢应 相互平行。 步骤：（ 1）两种不同倒格基矢的变换关系 （ 2）将与晶面垂直的倒格矢由一种坐标表示变 为另一种坐标表示 （ 3）由两种坐标表示的倒格矢平行求相互关系 18 由 固体物理教程 （ 1.3）式和（ 1.4）式得面心 立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢 b1， b2， b3与晶 胞坐标系中的倒格基矢 a*， b*， c*的关系为 1 2 ( ) ( )i j k a acbb 2 2 ( ) ( )i j k a acbb 3 2 ( ) ( )i j k a acbb * 23 21 () 2iaa bb * 31 21 () 2jab b b * 12 21 () 2kac bb 也即 19 因此，若已知晶面族的密勒指数 (hkl)，则原胞坐标 系中的面指数 1 2 3 1* * * ( ) ( ) ( ) 2h k lK h a k b lc k l b l h b h k b 1 2 3 1 1 2 2 3 3 11 () 22h h hpK p h b h b h b 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) k l l h h k ph h h 与晶面族 (hkl)垂直的倒格矢 1 2 3hhhK 与晶面族 (h1h2h3)正交。 其中 p是 (k+l)(l+h)(h+k)的公约数。 20 Khkl与晶面族 (hkl)正交。 因此，若已知晶面族的面指数 (h1h2h3)，则密勒指 数 1 2 3 1 2 31 2 3h h h h h hK b b b ( * * * )h k lp K p h a k b lc 2 3 2 3 1 2 311 ) ) ( )(hhh h a h h h h h cb 同样 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) h k l h h h h h h h h h p 其中 p是 (-h1+h2+h3)(h1-h2+h3)(h1+h2-h3)的公约数。 21 20. 讨论六角密堆积结构， X光衍射消光的条件。 (hkl)晶面族引起的衍射光总强度 2 t 1j jjjj 2 t 1j jjjj * h k lh k lh k l )lwkvhu(n2s i nf )lwkvhu(n2c o sfFFI 分析 t j )lwkvhu(ni jh k l jjjefF 1 2 22 求解 六角密堆积结构的一个晶胞 包含两个原子，它们的位置 矢量分别是 12 2 1 10, 3 3 2r r a b c 2 2 ( ) 1 jjji n h u k v l w h k l j j F f e 2 1 13 3 22 ( )i n h k lh k lF f f e 因为是密积结构，所以原子散射因子 f1=f2=f。 将上述结果代入几何结构因子 23 2 1 1 2 1 13 3 2 3 3 22 ( ) 2 ( ) i n h k l i n h k lh k l h k lI F F f f e f f e 2 2 2 42 33 2 42 33 2 c os ( ) 2 1 c os ( ) f f f n h k l f n h k l (hkl)晶面族引起的衍射光的总强度 只有当 奇数 时才出现衍射消光 4233()n h k l 24 （ a） n为奇数时： 若 l是偶数， nl也是偶数 为保证 n(4/3h+2/3k+l)=奇数 成立， 须 n(4/3h+2/3k)=奇数 由此， 2n(2h+k)=3奇数 =奇数。 由于 h, k为整数，上式左端是偶数，右端为奇数，显 然不成立。 矛盾的产生是 l为偶数的条件导致的，所以 l不能为偶 数，只能为奇数。因而 n(4/3h+2/3k)=偶数，即 (2h+k)=3 整数 /n=整数 。 25 （ b）当 n为偶数时，由 n(4/3h+2/3k+l)=奇数 得 n(4h+2k+3l)=3奇数 =奇数 上式的左端是偶数，右端为奇数，显然也不 成立。矛盾的产生是 n为偶数的条件导致的， 所以 n不能为偶数。 由上述讨论可知，衍射消光条件为： n=奇数， l=奇数， (2h+k)=3整数 /n=整数 26 21. 铁在 20C时，得到最小的三个衍射角分别为 812， 1138， 1418；当在 1000C 时，最小的 三个衍射角 755， 99， 1259。 已知在上述温 度范围，铁金属为立方结构。 （ 1）试分析在 20C和 1000C下，铁各属于何种 立方结构？ （ 2）在 20C下，铁的密度为 7860kg/m3，求其 晶格常数。 27 2 2 2hk l ad h k l 2 2 2 si n 2( ) ( ) ( ) anh nk nl 2 2 2si n ( ) ( ) ( )nh nk nl 解 （ 1）对于立方晶体，晶面族 (hkl)的面间距 布拉格反射公式 相应化为 可见 nd h k l s in2 28 对体心立方元素晶体： 衍射面指数和 n(h+k+l)为 奇数时，衍射消光； 衍射面指数和 n(h+k+l)为偶数时，衍射极大。 对应最小的三个衍射角的衍射面指数依次为 (110)， (200)， (211)。这三个衍射角指数平方和的平方根 之比为 2 2 2 2 2 21 1 0 : 2 0 0 : 2 1 1 1 : 1 . 4 1 4 2 1 : 1 . 7 3 2 0 5 铁在 20C时，最小的三个衍射角的正弦值之比 sin812:sin1138:sin1418=0.142628:0.201591: 0.246999=1:1.41340:1.73177 29 铁在 20C时，最小的三个衍射角的正弦值之比， 与体心立方元素晶体最小的三个衍射角的衍射面 指数平方和的平方根之比极其接近（存在偏差一 般是实验误差所致）。 可以判断，铁在 20C时为体心心立方结构。 30 对面心立方元素晶体 ， 衍射面指数 nh, nk, nl全 为奇数或全为偶数时，衍射极大。 对应的最小三个衍射角的衍射面指数依次为 (111)、 (200)、 (220) 这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比 2 2 2 2 2 21 1 1 : 2 0 0 : 2 2 0 1 : 1 . 5 4 7 0 : 1 . 6 3 2 9 9 由此可以判断，铁在 1000C时为面心立方结构。 铁在 1000C时，最小的三个衍射角的正弦值比 sin755:sin99:sin1259=1:1.15455:1.63118 31 3 2m a 3 2ma 3 23 5 5 . 8 4 7 1 0 6 . 0 2 2 1 0m k g （ 2）铁在 20C时为体心立方结构，一个晶胞内 有两个原子，设原子质量为 m，晶格常数为 a。 一个铁原子的质量 则质量密度 晶格常数则为 铁在在 20C时晶格常数： a=2.855 32 23. 设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为 a。 在转动单晶衍射中，已知与转轴垂直的晶面的 密勒指数为 (hkl)，求证 2 2 2sin m mp a h k l 其中 p是一整数， m是第 m个衍射圆锥母线与 (hkl) 晶面的夹角。参见图示 反射球。 33 分析 旋转单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格 子也转动。倒格点可看成分布与转轴垂直的、等 间距的一个个倒格晶面上，由于倒格晶面旋转， 落在反射球球面上倒格点的迹线形成一个个圆。 反射球心到任一迹线上任一点的连线即是 X衍射极 大的方向，构成了一个个圆锥面。 关键是求此倒格面间距 倒格子与正格子互为对方倒格子 34 证明 设本题晶体与转轴垂直的倒格面指数为 (l1l2l3) 则倒格子的面间距 1 2 3 1 1 2 2 3 3 22 l l l d l a l a l a R 1 2 3 1 1 2 2 3 3l l lR l a l a l a 与倒格面 (l1l2l3)垂直，即与转轴平行。 si n 2m md 由图得 其中， 是 X光的波矢，即反射球的半径。 2 35 hk lR ha k b l c 1 2 3a a a a 1 2 3b a a a 1 2 3c a a a 已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为 (hkl) 由于是 立方晶系 ，晶列 也与转轴平行。利用面心立方结构晶胞基矢与 原胞基矢的关系 可得 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )hk l l l l R h a k b lc h k l a h k l a h k l a pR p是 (-h+k+l), (h-k+l), (h+k-l)公约数 1 2 3 1 1 2 2 3 3l l lR l a l a l a 1 2 3h k l l l lR p R 36 1 2 3 2 2 2h k l l l lR h a k b lc a h k l p R 2 2 2sin m mp a h k l 由立方晶体 可得 sin 2m md 1 2 3 2 l l l d R