超静定结构的内力分析

112 超静定次数的确定13 力法的基本概念14 力法的典型方程16 对称性的利用15 力法的计算步骤和示例17 超静定结构的位移计算11 超静定结构概述第七章第七章 超静定结构的内力分析超静定结构的内力分析第一节 力法219 温度变化时超静定结构的计算110 支座移动时超静定结构的计算111 超静定结构的特性18 最后内力图的校核311 概 述 1.静定结构与超静定结构 静定结构：超静定结构：ABCPP 全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。ABPHAVARBVAHARBRC外力超静定问题内力超静定问题4PABCP 1X 2.超静定结构在几何组成上的特征多余联系与多余未知力的选择。是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。多余联系：这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。多余未知力：多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。此超静定结构有一个多余联此超静定结构有一个多余联系，既有一个多余未知力。系，既有一个多余未知力。此超静定结构有二个多余联此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。系，既有二个多余未知力。1X2X53.超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；4.超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。具体求解时，有两种基本(经典)方法力法和位移法。（4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。612 超静定次数的确定 1.超静定次数：2.确定超静定次数的方法:解除多余联系的方式通 常有以下几种：（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。1X （2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。1X1X2X 多余联系或多余未知力的个数。采用解除多余联系的 方法。7 3.在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。1X1X3X 4.将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。1X1X 应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何 超静定结构的超静定次数。X X2 2X X2 283.例题:确定图示结构的超静定次数（n）。1X2X3X 4X5X6Xn=61X2X3X4X5X6Xn=37=21 对于具有较多框格的结构，可按 框格的数目确定，因为一个封闭框格，其 超 静定次数等于三。当结构的框格数目为 f,则 n=3f。913 力法的基本概念 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。ABEIL 1判断超静定次数：n=1qq1XAB原结构原结构 2.确定(选择)基本结构。3写出变形(位移)条件:1X11P101(a)(a)0P1111(b)(b)q基本结构基本结构根据叠加原理，式（a）可写成10图1M图PM1X1图M8qL22qL2L8qL2将代入(b)得4.建立力法基本方程0XP1111(81)5.计算系数和常数项EIdsM2111EIdsMMP1P1EI8qL46.将11、11代入力法方程式(8-1)，可求得)(8qL3X11P11EI3L3ABEILq0P1111(b)(b)此方程便为一次超静定结构的力法方程。=EI12L232L11=11x1=EI12qL243L_(31L)多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出的M1图和MP图按叠加法绘M图。q11 象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法力法。力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。1214 力法的典型方程 1.三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。ABP P首先选取基本结构（见图b）X X1 1X X2 2ABP PX X3 3基本结构的位移条件为：1=02=03=0设当111321XXX、和荷载 P 分别作用在结构上时，A点的位移沿X1方向：沿X2方向：沿X3方向：据叠加原理，上述位移条件可写成原结构基本结构1=（82）（a）（b）1121、22、23和2P；31、32、33和3P。2=21X1+22X2+23X3+2P=03=31X1+32X2+33X3+3P=011X1+12X2+13X3+1P=0、12、13和1P；132.n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+12X2+1iXi+1nXn+1P=0 （83）这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中Xi为多余未知力，i i为主系数，i j(ij)为副系数,iP 为常数项（又称自由项）。11X1+12X2+13X3+1P=0（82）21X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=0i 1X1+i 2X2+i iXi+i nXn+iP=0 n1X1+n2X2+niXi+nnXn+nP=0 143.力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：（2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力1Xi 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数 i j(ij)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力1Xj 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有i j=j i i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。154.力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为GAdsQkEAdsNEIdsM2i2i2iiiGAdsQQkEAdsNNEIdsMMjijijijiijGAdsQQkEAdsNNEIdsMMPiPiPiiP 对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。1615 力法的计算步骤和示例1.示例PABCI1I2=2I1a2a2an=2(二次超静定)原选择基本结构如图示PACB基X1X2力法典型方程为：11X1 计算系数和常数项，为此作图1M1X1a图2M1X2aa计算结果如下EIdsM2111图、P21MMM(a)EIdsM2222EIdsMM212112a21X1+22X2+2P=0+12X2+1P=02EI112a232a=6EI1a32EI112a2a=4EI1a31365EIa17图1Ma图2MaaP图PM2PaEIdsMMPP11EIdsMMPP22将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/EI1)得0P965X41X61210P161X65X4121解联立方程得,P114X1P883X2多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。P2211MXMXMM例如 外Pa8815最后内力图的绘制用叠加法15/88PaM图13/88PaPABC3/88Paa13965EIPa1316EIPaMAC=a.114P+a(883P)2Pa182.力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。（2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。（3）写出力法典型方程。（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按叠加法作内力图。19例 11 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。ABLabP解：n=3选取简支梁为基本结构PX1X2X3基本结构典型方程为11X1+12X2+13X3+1P=021X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=011X2图2M1X111X3图1M图3MMP图PM3=0,故13=31=23=32=3P=0则典型方程第三式为33X3=0330(因X3的解唯一)故作基本结构各M和MP图由于X3=0LPabL3bL22LbPaM图22LPab11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0由图乘法求得EI3L11EI3L22EI6L2112EIL6)bL(Pab)L3bL)(LLPab21(EI1P1EIL6)aL(PabP2代入典型方程(消去公因子)得0L)bL(PabXX22210L)aL(PabX2X221解得231LPabX 222LbPaX 代入典型方程解得221LPabX 222LbPaX 作弯矩图。P2211MMXMXM按式20 例 12 用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同。解：n=1(一次超静定)。01234PP2a2aa选择基本结构如图示。01234PPX1基本结构写出力法典型方程11X1+1P=0按下列公式计算系数和自由项EALN2111EALNNP1P1为此，求出基本结构的1N和NP值 01234 X1=11N2222-1/2对称01234PPNPP22+P/2对称0列表计算(见书141页)后得EA11=(3+2)aEA1P=Pa2101234 X1=11N2222-1/2对称01234PPNPP22+P/2对称001234PPN对称代入典型方程，解得)(223PX11P11拉各杆内力按式P11NXNN叠加求得。例如N03 =2216 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。结构的对称性：例如：EI1EI1EI2aa对称对称EI1EI1对称对称 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。231.选取对称的基本结构EI1EI1EI2对称轴 基本结构X1X2X3 多余未知力X1、X2是 正对称，X3是反对称的。基本结构的各单位弯矩图(见图)。图1M1X1 图2M1X2图3M1X3图1M图2M、是正对称，图3M是反对称。则13=31=23=32=0于是，力法典型方程简化为11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0下面就对称结构作进一步讨论。24（1）对称结构作用对称荷载aaPPPPMP图图MP图是正对称的，故3P=0。11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0则 X3=0。这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。aaPPPPMP图图（2）对称结构作用反对称荷载MP图是反对称的，故1P=2P=0则得 X1=X2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。25例 14 分析图示刚架。10kN10kN6m6m6m解：这是一个对称结构，为四次超静定。选取对称的基本结构 如图示，X1只有反对称多余未知力X1基为计算系数和自由项分别作1M和MP图(见图)。1X1EI=常数331M图(m)10kN MP图(kNm)6060120由图乘法可得EI11=(1/2332)4 +（363）2 =144 EI1P=(3630+1/23 380)2=1800代入力法方程 11X1+1P=0X1=kN5.1211P1弯矩图由P11MXMM作出。解得26这样，求解两个多余未知力的问题就转变为求解新的两对多余未知力的问题。当选基本结构为时，2.未知力分组及荷载分组（1）未知力分组AB PX1X2 P为使副系数等于零，可采取未知力分组的方法。PY1Y1Y2Y2有X1=Y1+Y2，X2=Y1Y2作1M、M2图。1Y11Y11M图1Y21Y2M2图正对称反对称故12=21=0典型方程化简为11Y1+1P=022Y2+2P=0 27（2）荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。若取对称的基本结构计算，在正对称荷载作用下将只有对称的多余未知力。若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将只有反对称的多余未知力。PP2P2P2P2X1X1X2X22P2P2P2P283.取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称刚架进行讨论。（1）奇数跨对称刚架pp对称p二次超静定对称荷载反对称荷载pp反对称p。一次超静定29（2）偶数跨对称刚架对称荷载pp对称p三次超静定反对称荷载ppIpI/2三次超静定ppI/2 I/2ppI/2 I/2CQCQC3017 超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也是适用的，下面以85的例题予以说明。求CB杆中点K的竖向位移KYKP=1PABCI1I2=2I1a2a2a原 虚拟状态如图为了作图M8/44a3/44a图KM 需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。K图中所示的M图就是实际状态。基本结构的内力和位移与原结构完全相同，则可以在基本结构上作图M。KP=1a/4图KM图乘得6/44a1314083EIPaPa88321)a4a21(11EIKy()31结 论综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。3218 最后内力图的校核 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加以校核。校核应从两个方面进行。1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足平衡条件。（1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足M=0的平衡条件。例如取结点E为隔离体EMMEDEDMMEBEBMMEFEF应有 ME=MED+MEB+MEF=0MM图图33（2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 X=0和 Y=0的平衡条件。2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移相符。例如图1MP PA AB BC CI I1 1I I2 2=2I=2I1 1a a2a2a原检查A支座的水平位移 1是否为零。将M图与图1M相乘得3a2)a88Pa321(EI21Pa88332)2a(EI11211=03419 温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，同时产生内力。用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发生变化，选取基本结构（见图），t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3X X1 1X X2 2X X3 3典型方程为11X1+12X2+13X3+1t=021X1+22X2+23X3+2t=031X1+32X2+33X3+3t=0其中系数的计算同前，自由项1t、2t、3t分别为基本结构由于温度变化引起的沿X1、X2X3方向的位移。即dsMhttlNiiit35 例16 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35，绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面对称于形心轴，其高度h=L/10,材料的膨胀系数为。LL+2525+35+35解：n=1选取基本结构X X1 1基+2525+35+35典型方程为:11X1+1t=0计算并绘制1M图1 11M图1N1NL LL L0 00 0-1-1求得系数和自由项为EI3l 5)l3l 22l2(EI1EIdsM3322111dsMhttlNt111=故得21111138lEIXt=230230 L L36按11XMM M图作弯矩图 求横梁中点K的位移K，作基本结构虚拟状态的KM 图 并求出KN，然后计算位移K K1 1KN0 0KM图L/4L/4138138 EI/LEI/LdsMhtlNEIMdsMKtKKKa)21(2)lEI138l4l21(EI1)l4l21(h)2535(ll3525l450l30l469l75341/21/21/21/237110 支座位移时超静定结构的计算 超静定结构当支座移动时，位移的同时将产生内力。对于静定结构，支座移动时将使其产生位移，但并不产生内力。例如A AB BC CA AB BC C38 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。例如图示刚架，A AB BhLab可建立典型方程如下：11X1+12X2+13X3+1=021X1+22X2+23X3+2=31X1+32X2+33X3+3=aA AB BX X1 1X X2 2X X3 3基 式中系数的计算同前，自由项按式(715)计算。cRii（715)最后内力按下式计算332211MXMXMXM 在求位移时，应加上支座移动的影响：KKKEIMdsM39 例：17 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分析其内力。ABL解：n=3选取基本结构如图，X1X2X3基本结构 因X3=0,则典型方程为11X1+12X2+1=21X1+22X2+2=0绘出21MM、图，11X2图2M1X11图1M图乘得EI3l11EI3l22，EI6l2112由题意知：1t=2t=0,将上述结果代入方程后解得lEI4X1lEI2X2按式2211MXMXM作弯矩图。ABlEI4lEI2M图40111 超静定结构的特性超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何不变，故有较强的防御能力。4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。41第二节第二节 位位 移移 法法21 概述22 等截面直杆的转角位移方程23 位移法的基本未知量和基本结构24 位移法的典型方程及计算步骤25 直接由平衡条件建立位移法基本方程26 对称性的利用4221 概 述 力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法力法 位移法位移法 以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。43位移法的基本概念位移法的基本概念以图示刚架为例予以说明123EI=常数P2l2l 刚架在荷载P作用下将发生如虚线所示的变形。Z1Z1在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。则12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。1PZ12其受荷载P作用和支座1发生转角Z1这两种情况下的内力均可以由力法求。同理，13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）。13Z1 而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同样由力法求出。可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。Z144 由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。（3）如何求出这些位移。下面依次讨论这些问题。4522 等截面直杆的转角位移方程 本节解决第一个问题。用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。如图所示，两端固定的等截 面梁，ABLEIPt1t2AB A BAB AB 除受荷载及温度变化外，两支座还发生位移：转角 A、B及侧移AB。转角A、B顺时针为正，AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)。图中所示均为正值。MABAMBAB46ABLEIPt1t2AB A BAB AB 用力法解此问题，选取基本结构如图。Pt1t2X1X2X3 多余未知力为X1、X2。力法典型方程为11X1+12X2+1P+1t+1=A21X1+22X2+2P+2t+2=B为计算系数和自由项，作1M、2M、MP图。1M图12M图1MP图XAXB 由图乘法算出：EI3L11，EI3L22EI6L2112LXEIBP1，LXEIAP2AB AB由图知LABAB21 这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。1t、2t 由第七章公式计算。47将以上系数和自由项代入典型方程，可解得X1=htEIxx2(L2LEI6LEI2LEI4AB2AB2BA）X2=htEI)xx2(L2LEI6LEI2LEI4BA2AB2AB令lEIi 称为杆件的线刚度线刚度。此外，用MAB代替X1，用MBA代替X2，上式可写成MAB=4iA+2i BABli6FABMMBA=4i B+2i AABli6FABM(21）式中htEI)xx2(L2MAB2FABhtEI)xx2(L2MBA2FBA(22）FBAFABMM、是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为固固端弯矩端弯矩。48MAB=4iA+2iB _ABli6FABMMBA=4iB+2iA_ABli6FABM(21）式(21）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称为转角位移方程转角位移方程。对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程 可由式(21）导出，设B端为铰支，则因ABEIPt1t2lMBA=4i B+2i A_ABli6FABM=0)213(21FBAABABMil可见，B可表示为A、AB的函数。将此式代入式(21)第一式，得MAB=3iAFABABMli3(23）（转角位移方程转角位移方程）式中htEIlxMMMBFBAFABFAB233212（24）（固端弯矩固端弯矩）杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。有4923 位移法的基本未知量和基本结构 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。(1)独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。例如图示刚架123456 独立的结点角位移数目为2。50 (2)独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移(侧移)。例如(见图a）1234564、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移。P(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)将结构的刚结点(包括固定支座)都变成铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目(见图b)。51 2.位移法的基本结构 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上加上附加支座链杆附加支座链杆(阻止结点移动)。123456例如(见图a)(a)又例如(见图b)(b)234567共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。1 基本未知量三个。5224 位移法的典型方程及计算步骤 以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具体计算步骤。PL2l2l1234EI=常数常数 基本未知量为:Z1、Z2。Z1Z2基本结构如图(b)所示。(a)(b)基本结构基本结构1234=Z1Z2R1=0=0PR1附加刚臂上的反力矩R2附加链杆上的反力据叠加原理,=Z1R211234134PR2P12234则有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ253R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因。设以 r11、r12分别表示由单位位移1121ZZ、所引起的刚臂上的反力矩，以 r21、r22分别表示由单位位移1121ZZ、所引起的链杆上的反力，则上式可写成r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0(25)这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程位移法基本方程(典型方程典型方程)。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条静力平衡条件件)。对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：r11Z1+r1iZi+r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ri iZi+ri nZn+Ri P=0rn1Z1+rniZi+rnnZn+RnP=0(26）54r11Z1+r1iZi+r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ri iZi+ri nZn+Ri P=0rn1Z1+rniZi+rnnZn+RnP=0(26）在上述典型方程中，rii 称为主系数主系数，rij(ij)称为副系副系数数。RiP称为自由项自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji(ij)。由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程刚度方程，位移法也称为刚度法刚度法。551121ZZ、以及载荷作用下的弯矩图21MM、为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表91，绘出基本结构在和MP图：13421342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl 系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和R 1P；是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。r21r22R2P(a)(b)(c)可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点1为隔离体，111 r113i4ir120R1P08Pl由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i,lir612R1P=8Pl。r11=7i ,Li 6r12R1P=8PL，对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表91查出杆端剪力，121212 li 60 212li23li 2P0由方程X=0求得r21=Li 6222Li15rR2P=P/2 r21r22R2PR 1Pr12 r1156将系数和自由项代入典型方程(95)有08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221解此方程得，iPL5529Z1iPL55222Z22所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。最后弯矩图由叠加法绘制：P2211MZMZMM例如杆端弯矩M31为8PLiPL55222Li 6iPL5529i 2M231PL552183M图图1234Pl552183PPl55260Pl55227Pl55227Pl55266M图绘出后，Q、N图即可由平衡条件绘出(略）。57 最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：(1)确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)，并引入附加联系而得到基本结构。(2)令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结 构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩 或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。(3)绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作 用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡 条件求出各系数和自由项。(4)结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。(5)按叠加法绘制最后弯矩图。58 例 21 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a及转角=a/L，试绘其弯矩图。ABCEI2EILLAa 解：基本未知量 Z 1(结点C转角)；Z 1基本结构如图示；ABCZ 1基本结构基本结构建立位移法典型方程：r11Z1+R1=0为计算系数和自由项，作图1M和M图(设EI/L=i)ABCZ 1=1图1Mb8i4i3iABCM图 基本结构由于支座位移产生的固端弯矩(由表91)查得i20)a(L)i 2(6)i 2(4MFACi16)a(L)i 2(6)i 2(2MFCAi12)a4(Li 3)b(Li 3MFCB20i16i12i8i3i由图1M求得r11=8i+3i=11i由M图求得12i16iR1=16i+12i=28iR1 r11R159将上述系数和自由项代入典型方程，便有11iZ1+28i=0解得Z1=1128刚架的最后弯矩图为MZMM11ABCABCZ 1=1图1M8i4i3iABCM图20i16i12i例如：MAC=4i1128+20i=i11108i11108i1148M图R160 25 直接由平衡条件建立位移法基本方程 用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件，建立位移法的基本方程。我们也可以不通过基本结构，直接由平衡条件建立位移法基本方程。举例说明如下1234P2L2LLiii取结点1，由M1=0及截取两柱顶端以上横梁部分，由X=0(见图)得M12M13112Q24Q13M1=M13+M12=0 (a)X=Q13+Q24=0 (b)由转角位移方程及表101得8PLZLi 6iZ4M2113112iZ3M2PZLi12ZLi 6Q221132224ZLi 3Q将以上四式代入式(a)、(b)得08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221这与94节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。6126 对称性的利用 在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论：对对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。在位移法中，同样可以利用这一结论简化计算。例如：PP/2P/2Z1Z1P/2P/2Z2Z2+Z3Z1P/2P/2Z2Z362第三节第三节 力矩分配法力矩分配法31 引 言32 力矩分配法的基本原理33 用力矩分配法计算连续梁6331 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。6432 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数 劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知 远端固定时：ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1远端滑动支撑时：EIMAB=iMBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB1MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i65(2)传递系数CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数传递系数，用CAB表示。即ABBAABMMC或 MBA=CABMAB远端固定时：CAB远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑：CAB=1由表右图或表(101)可得MBA=2i662.力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP图F21MF12MF14MF41M 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=Fj1F14F13F12MMMMR1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和Fj1M，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。R1P1F12MF13MF14MR1P67r11=式中S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。1234(c)1M图1Z12i124i123i13i141M绘出结构的图（见图c)，计算系数为：解典型方程得Z1=11P1rR 然后可按叠加法 M=11PZMM 计算各杆端的最后弯j1Fj1SM弯矩。4i12+3i13+i14=S12+S13+S14=S1j68M12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12、13、14等称为分配系数分配系数，其计算公式为1j=j1j1SS(31)结点1的各近端弯矩为：F12M)M(MFj113F13)M(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj112691j=j1j1SS(31)显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即 1j=1。各远端弯矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC70得出上述规律后，便可不必绘 MP、1M 图，也不必列出典 和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。，其过程分为两步：(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。71例 31 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=445.0942131414AC=333.093AD=222.092ABACAD(2)计算固端弯矩据表(101）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+12qL2=mkN7584503+83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为FAjMmkN357540ACD杆 端ABACADBACADA分配系数固端弯矩-40+40075-250-35-35分配弯矩0最后弯矩0B60 M图图()(b)(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。+35+357233 用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。73例32 用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解：固定1 2 结点。列表计 算如下:12m6m6m12m分配系数10=50i 4i 4i 412=50i 4i 4i 421=5710i 3i 4i 423=4290i 3i 4i 3固端弯矩MFmkN300121225M2F01-300mkN300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+150+150结点1分配传递+150+150+150+150+75+75+75+75结点2分配传递-129-129-96-96-64-640结点1分配传递+32+32+32+32+16+16+16+16结点2分配传递-9-9-7-7-5-50结点1分配传递+2+2+3+3+1+1+1+1结点2分配传递-1-10最后弯矩最后弯矩M-208-208+484+484-484-484+553+553-553-5530EIEIEI+225+225-225-22574例33 用力矩分配法计算图示连续梁。8kN4kN5m8m3m5m5m8kN4kN4kNm MF0-8+8+2+4分分 配配 及及 传传 递递0ABCDEFI2I2IIii1mABCDE0-0.43 M0+4758kN4kNABCDEFI2I2IIM0+4121504M图图0