《复变函数第讲》PPT课件

1复变函数复变函数第第12讲讲本文件可从网址http:/ 留数31.留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西-古萨基本定理.0d)(CzzfCzzfd)(但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.4因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外,其余各项积分都等于零,所以.2d)(1-iczzfC100),(Res)1.2.5(d)(21),(Res-czzfzzfizzfCp其中c-1就称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即5定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则)3.2.5(.),(Res2d)(1nkkCzzfizzfDz1z2z3znC1C2C3CnC6证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有nkkCnCCCCCzzfizzfzzfzzfzzfzzfizzfzzfzzfzzfn121.),(Res2d)(),(Res),(Res),(Resd)(21.d)(d)(d)(d)(21即7求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式.如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.82.留数的计算规则规则1 如果z0为f(z)的一级极点,则)4.2.5()()(lim),(Res000zfzzzzfzz-)5.2.5()()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz-规则2 如果z0为f(z)的m级极点,则9事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,-)()!1()()(dd01011zzacmzfzzzmmm令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,因此即得(5.2.5),当m=1时就是(5.2.4)101112令zz0,即得(5.2.6)1314由规则1,得211121112eeeRes(),1lim(1)lim112eeeRes(),1lim(1)lim.112eeed2()2 ch1122zzzzzzzzzCzzf zzzzzzf zzzzzziiz-因此15我们也可以用规则III来求留数:.2e2e 1),(Res;2e2e 1),(Res111|-zzzzzzzfzzzf这比用规则1要简单些.16170)41414141(2d1,414)()(III,423-izzzzzzzQzPC故由规则1819.2)01(21),(Res0),(Res2d)1(e.0)1(limeddlim)1(e)1(ddlim)!12(1 1),(Res3211221iizfzfizzzzzezzzzzzzfCzzzzzzz-所以20有时死套公式也不一定很方便.例如欲求函数6()sin()()P zzzf zQ zz-在z=0处的留数.为了要用公式,先应定出极点z=0的级数.由于0000(0)(sin)|0,(0)(1 cos)|0,(0)sin|0,(0)cos|10.zzzzPzzPzPzPz-因此z=0是z-sin z的三级零点,也就是f(z)的三级极点.21应用公式 得2362602230sin1sinRe,0lim(3 1)!1sinlim.2!zzzzdzzszzdzzdzzdzz-由此可见,计算过程将十分繁杂.22而这时用洛朗展开式求c-1就比较方便,因为35663sin1113!5!11.3!5!zzzzzzzzzz-所以16sin1Res,05!zzcz-23观察公式 的推导过程,不难发现,如果函数f(z)的极点z0的级数不是m,它的实际级数要比m低,这时表达式10101100()()()()mmmmf zczzczzczzc-的系数c-m,c-m+1,中可能有一个或几个等于零,显然公式仍然有效.一般说来,在应用公式(5.2.5)时,为了计算方便不要将m取得比实际的级数高.24253.在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分-Czzfid)(21)7.2.5(d)(21),(Res-Czzfizfp的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作积分路线的方向是负的.26由于f(z)在R|z|+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,)5.1.5(,2,1,0(d)(21)(1101-nficzcczczfCnnnnnnnnC为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线27从(5.1.5)式中的n-1的情况11()2Ccf z dzip-因此,由(5.2.7),得Resf(z),-c-1,(5.2.8)这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.28定理二 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证 除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有.0d)(21d)(21),(Res),(Res1-CCnkkzzfizzfizzfzf293031所以 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.323334由于-i与1在C内部,所以从上式,留数定理与规则IV得到101010()(1)(3)2Res(),Res(),12Res(),3Res(),120.2(3)(3)Cdzzizzif zif zif zf ziiiipppp-35作业 第184页开始第8题 1),2),3)小题第9题 1),2)小题第11题第12题 1),2)小题