一章节空间几何体

第一章第一章 空间几何体空间几何体第一章第一章 空间几何体空间几何体1.1空间几何体的结构空间几何体的结构 1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结棱柱、棱锥、棱台的结构特征构特征学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点重点:棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其及其关系关系.难点难点:在描述几何体的结构特征的在描述几何体的结构特征的过程中过程中提高观察力和空间想象能力提高观察力和空间想象能力.新知初探新知初探思维启动思维启动1.空间几何体空间几何体(1)空间中的物体都占据着空间的一部分空间中的物体都占据着空间的一部分,若若只考虑物体的形状和大小只考虑物体的形状和大小,而不考而不考 虑其他因虑其他因素素,那么由这些物体抽象出来的那么由这些物体抽象出来的_就叫做空间几何体就叫做空间几何体.空间图形空间图形(2)多面体多面体定义定义:由若干个平面多边形围成的几何体叫做由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的棱与棱的公共点叫做多面体的_.顶点顶点想一想想一想1.多面体最少有几个面、几个顶点、几条多面体最少有几个面、几个顶点、几条棱？棱？提示提示:多面体最少有多面体最少有4个面、个面、4个顶点和个顶点和6条棱条棱.2.几种常见的多面体几种常见的多面体多面体多面体定义定义棱柱棱柱有两个面互相有两个面互相_,其余各面都是其余各面都是_,并且每相邻两个四边并且每相邻两个四边形的公共边都互相形的公共边都互相_,由这些面由这些面所围成的多面体叫做棱柱所围成的多面体叫做棱柱平行平行平行四边形平行四边形平行平行多面多面体体图形及表示图形及表示相关概念相关概念棱柱棱柱如图可记作如图可记作:棱柱棱柱AC或或ABCDABCD底面底面(底底):两个互相两个互相_的面侧面的面侧面:_侧棱侧棱:相相邻侧面的邻侧面的_顶顶点点:侧面与底面的侧面与底面的_平行平行其余各面其余各面公共边公共边公共顶点公共顶点多面体多面体定义定义棱锥棱锥有一个面是有一个面是_,其余各面都是其余各面都是有一个公共顶点的有一个公共顶点的_,由这些由这些面所围成的多面体叫做棱锥面所围成的多面体叫做棱锥棱台棱台用一个用一个_的平面去截棱锥的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台底面与截面之间的部分叫做棱台多边形多边形三角形三角形平行于底面平行于底面多面体多面体图形及表示图形及表示棱锥棱锥如图可记作如图可记作:棱锥棱锥SABCD棱台棱台如图可记作如图可记作:棱台棱台_ABCDABCD多面体多面体相关概念相关概念棱锥棱锥底面底面(底底):_面面.侧面侧面:有公共顶点的各个有公共顶点的各个_侧棱侧棱:相邻侧面的相邻侧面的_顶点顶点:各侧面的各侧面的_棱台棱台上底面上底面:原棱锥的原棱锥的_下底面下底面:原原棱锥的棱锥的_侧面侧面:其余各面侧棱其余各面侧棱:相邻侧面的公共边顶点相邻侧面的公共边顶点:侧面与上侧面与上(下下)底底面的公共顶点面的公共顶点多边形多边形三角形三角形公共边公共边公共顶点公共顶点截面截面底面底面想一想想一想2.有两个面平行有两个面平行,其余各面都是平行四边形的其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？几何体是棱柱吗？提示提示:不一定不一定.如图如图,面面ABC面面A1B1C1,但但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行不互相平行,故不是棱柱故不是棱柱.3.棱柱、棱锥、棱台的分类棱柱、棱锥、棱台的分类(1)棱柱的分类棱柱的分类按底面多边形的边数分类按底面多边形的边数分类n边形边形按侧棱与底面是否垂直分类按侧棱与底面是否垂直分类(2)棱锥的分类棱锥的分类(棱台分类棱台分类)按底面多边形的边数分类按底面多边形的边数分类三棱锥、四棱锥、五棱锥等三棱锥、四棱锥、五棱锥等.按底面多边形是否为正多边形分类按底面多边形是否为正多边形分类正棱锥和一般棱锥正棱锥和一般棱锥.做一做做一做 下列棱锥有下列棱锥有6个面的是个面的是()A.三棱锥三棱锥B.四棱锥四棱锥C.五棱锥五棱锥 D.六棱锥六棱锥答案答案:C典题例证典题例证技法归纳技法归纳题型一多面体的概念题型一多面体的概念 (1)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.棱柱的各个侧面都是平行四边形棱柱的各个侧面都是平行四边形;一个一个n(n3)棱柱共有棱柱共有2n个顶点个顶点;棱柱的两个底面是全等的多边形棱柱的两个底面是全等的多边形;如果棱柱有一个侧面是矩形如果棱柱有一个侧面是矩形,则其余各侧则其余各侧面也都是矩形面也都是矩形.(2)(2)下列三个命题中下列三个命题中,正确的有正确的有()用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之棱锥底面和截面之间的部分是棱台间的部分是棱台;两个底面平行且相似两个底面平行且相似,其余各面都是梯形其余各面都是梯形的多面体是棱台的多面体是棱台;有两个面互相平行有两个面互相平行,其余四个面都是等腰其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台梯形的六面体是棱台.A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个 D.3D.3个个(1)(1)【解解】正确正确.由棱柱的定义可知由棱柱的定义可知,棱柱棱柱的各侧棱互相平行的各侧棱互相平行,同一侧面内两条底边也同一侧面内两条底边也互互相平行相平行,所以各侧面都是平行四边形所以各侧面都是平行四边形.正确正确.一个一个n n棱柱的底面是一个棱柱的底面是一个n n边形边形,因因此每个底面都有此每个底面都有n n个顶点个顶点,两个底面的顶点数两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数之和即为棱柱的顶点数,即即2n2n个个.正确正确.因为在同一个侧面内的两条底边平因为在同一个侧面内的两条底边平行行且相等且相等,所以棱柱的两个底面的对应边平行所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等且相等,故棱柱的两个底面全等故棱柱的两个底面全等.不正确不正确.如果棱柱有一个侧面是矩形如果棱柱有一个侧面是矩形,只只能保证侧棱垂直于该侧面的底边能保证侧棱垂直于该侧面的底边,其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直,因因此其余侧面不一定是矩形此其余侧面不一定是矩形.【答案答案】A【方法小结方法小结】解决这类与棱柱有关命题真假判定的问题解决这类与棱柱有关命题真假判定的问题,关关键在于准确把握它们的结构特征键在于准确把握它们的结构特征,也就是要以也就是要以棱台概念的本质内涵为依据棱台概念的本质内涵为依据,以具体实物和图以具体实物和图形为模型来进行判定形为模型来进行判定.变式训练变式训练1.下列命题正确的是下列命题正确的是()A.棱柱的底面一定是平行四边形棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形棱锥的底面一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解析解析:选选D.棱柱、棱锥的底面可以是任意多边棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形形,所以排除所以排除A、B,沿着棱锥底面的一条对角沿着棱锥底面的一条对角线将棱锥分成两个部分可以得到两个部分都线将棱锥分成两个部分可以得到两个部分都为棱锥为棱锥,排除排除C.对于对于D,只要这个平面与底面只要这个平面与底面平行就能够得到两个棱柱平行就能够得到两个棱柱.题型二多面体的识别题型二多面体的识别 根据下列关于几何体的描述根据下列关于几何体的描述,说出几何体的名称说出几何体的名称:(1)由八个面围成由八个面围成,其中两个面是互相平其中两个面是互相平行且全等的正六边形行且全等的正六边形,其他各面都是矩其他各面都是矩形形;(2)由五个面围成由五个面围成,其中一个面是正方形其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形三角形;(3)由五个面围成由五个面围成,其中上、下两个面是相似其中上、下两个面是相似三角形三角形,其余各面都是梯形其余各面都是梯形,并且这些梯形的并且这些梯形的腰延长后能相交于一点腰延长后能相交于一点.【解解】(1)该几何体有两个面是互相平行且该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形全等的正六边形,其他各面都是矩形其他各面都是矩形,可使相可使相邻两个面的公共边都相互平行邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体故该几何体是正六棱柱是正六棱柱;(2)该几何体的一个面是正方形该几何体的一个面是正方形,其他各面都其他各面都是全等的三角形是全等的三角形,并且这些三角形有一个公并且这些三角形有一个公共顶点共顶点,因此该几何体是正四棱锥因此该几何体是正四棱锥;(3)该几何体上、下两个面是相似三角形该几何体上、下两个面是相似三角形,其其余各面都是梯形余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后并且这些梯形的腰延长后能相交于一点能相交于一点,因此该几何体是三棱台因此该几何体是三棱台.【思维总结思维总结】题干中给出了一些几何体的结构特征题干中给出了一些几何体的结构特征,根据所根据所描述的这些几何体的结构特征描述的这些几何体的结构特征,结合多面体的结合多面体的定义定义,进行空间想象进行空间想象,得出结论得出结论.变式训练变式训练2.如图如图,四棱柱四棱柱ABCDA1B1C1D1被平面被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体？所截得的两部分分别是怎样的几何体？若几何体若几何体ABCDA1FED1是棱柱是棱柱,指出它的指出它的底面和侧面底面和侧面.解解:所截两部分分别是四棱柱和三棱柱所截两部分分别是四棱柱和三棱柱.几何几何体体ABCDA1FED1是四棱柱是四棱柱,它的底面是平它的底面是平面面ABFA1和平面和平面DCED1,侧面为平面侧面为平面ABCD,平面平面BCEF,平面平面ADD1A1和平面和平面A1D1EF,侧侧面均为平行四边形面均为平行四边形.题型三多面体的侧面题型三多面体的侧面(表面表面)展开图展开图 (本题满分本题满分10分分)根据下图所给根据下图所给的几何体的表面展开图的几何体的表面展开图,画出立体图形画出立体图形.【思路点拨思路点拨】使图中相同的点重合使图中相同的点重合,沿虚线沿虚线折叠成立体图形折叠成立体图形.【解解】(1)ABCD为四边形为四边形,其余面为共顶点其余面为共顶点P的三角形的三角形,符合棱锥特征符合棱锥特征.是以是以ABCD为底面为底面,P为顶点的四棱锥为顶点的四棱锥.3分分(2)共有六个正四边形共有六个正四边形,符合棱柱特征符合棱柱特征.是以是以ABCD和和A1B1C1D1为底面的棱柱为底面的棱柱.6分分其图形如图所示其图形如图所示.名师微博名师微博是六面体是六面体,只能为棱柱只能为棱柱.【名师点评名师点评】不同的剪开方法不同的剪开方法,得到的展开得到的展开图不一定相同图不一定相同.变式训练变式训练3.(2012嘉兴检测嘉兴检测)如图都是正方体的表面展如图都是正方体的表面展开图开图,还原成正方体后还原成正方体后,其中两个完全一样的其中两个完全一样的是是_.解析解析:相当于正方体的四个侧面相当于正方体的四个侧面.(2)(3)相同相同.答案答案:(2)(3)1.已知上、下底面均为正方形已知上、下底面均为正方形,各侧面为全各侧面为全等的等腰梯形的四棱台等的等腰梯形的四棱台AC1的高是的高是17 cm,两两底面的边长分别是底面的边长分别是4 cm和和16 cm,求这个棱台求这个棱台的侧棱的长和侧面等腰梯形的高的侧棱的长和侧面等腰梯形的高.解解:如图所示如图所示,设棱台的两底面的中心分别是设棱台的两底面的中心分别是O1和和O,B1C1和和BC的中点分别是的中点分别是E1和和E,连连接接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,则则OBB1O1和和OEE1O1都是直角梯形都是直角梯形.解解:如图如图,将三棱锥沿侧棱将三棱锥沿侧棱VA剪开剪开,并将其侧并将其侧面展开平铺在一个平面上面展开平铺在一个平面上,则线段则线段AA1的长即的长即为所求为所求AEF的周长的最小值的周长的最小值.取取AA1的中点的中点D,连接连接VD,则则VDAA1,AVD60.在在RtVAD中中,ADVAsin603,AA12AD6,即即AEF周长的最小值为周长的最小值为6.方法技巧方法技巧对几何体的识别与判断对几何体的识别与判断,要紧扣其定义和要紧扣其定义和特征特征.如例如例1、例、例2.2.对于几何体的表面展开图对于几何体的表面展开图,为了解题的方为了解题的方便便,常常给多面体的顶点标上字母常常给多面体的顶点标上字母,先把多面先把多面体的底面画出来体的底面画出来,然后依次画出各侧面然后依次画出各侧面,便可便可得到其表面展开图得到其表面展开图.如例如例3.3.棱柱概念的推广棱柱概念的推广(1)斜棱柱斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱柱.(2)直棱柱直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.(3)正棱柱正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫正棱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱柱.(4)平行六面体平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体叫平行六面体,即平行六面体的六个面都是平即平行六面体的六个面都是平行四边形行四边形.(5)长方体长方体:底面是矩形的直平行六面体叫长底面是矩形的直平行六面体叫长方体方体.(6)正方体正方体:棱长都相等的长方体叫正方体棱长都相等的长方体叫正方体.失误防范失误防范1.对棱柱的判断对棱柱的判断(1)有两个面互相平行有两个面互相平行;(2)其余各面是平行四边形其余各面是平行四边形;(3)这些平行四边形的面中这些平行四边形的面中,每相邻两个面的每相邻两个面的公共边都互相平行公共边都互相平行.2.对棱锥的判断对棱锥的判断3.对棱台的判断对棱台的判断(1)棱台的上、下底面平行棱台的上、下底面平行;(2)延长棱台的各侧棱交于一点延长棱台的各侧棱交于一点;(3)棱台的各侧面都是梯形棱台的各侧面都是梯形.强调各侧面三角形必须有一个公共顶点强调各侧面三角形必须有一个公共顶点.知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放