定积分几何应用

1第四节第四节 定积分的几何应用定积分的几何应用二、平面图形的面积二、平面图形的面积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 四、某些特殊的几何体的体积四、某些特殊的几何体的体积一、微元法基本思想一、微元法基本思想 P336五、旋转曲面的表面积五、旋转曲面的表面积2一、微元法基本思想一、微元法基本思想 1.回顾曲边梯形的面积问题回顾曲边梯形的面积问题 具体步骤具体步骤 “四步曲四步曲”把原曲边梯形分成把原曲边梯形分成 n个窄曲边梯形个窄曲边梯形,（1）分割）分割（2）取点）取点,)(1iiiiiixxxfS （4）取极限）取极限 niiixfS10)(lim baxxfd)(记作记作ab xyo)(xfy 第第i个窄曲边梯形面积记为个窄曲边梯形面积记为 Si ;（3）求和）求和 niiiniixfSS11)(dxxfdSx)(,0 xxxxxii ,13解决实际问题时按照下面步骤解决实际问题时按照下面步骤,xxx 自变量分割自变量分割xxfS )(科学规律科学规律 dxxfdS)(转为微分转为微分 badxxfS)(直接积分直接积分 简化为简化为xxfSxxfSxbad)(d)(dd 如曲边梯形的面积问题如曲边梯形的面积问题xxfSd)(d 为为面面积积元元素素称称 Sd然后把然后把dS在在a,b上作定积分，上作定积分，babaxxfSSd)(d则得则得这就是所说的这就是所说的微元法或元素法微元法或元素法ab xyo)(xfy xxxd Sd或者或者 xxfSd)(42.应用微元法的一般步骤：应用微元法的一般步骤：(1)根据具体问题，选取一个变量根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，为积分变量，并确定它的变化区间并确定它的变化区间a,b；(2)在在 a,b上，任取一小区间上，任取一小区间x,x+dx；xxfSd)(d 求求出出 babaxxfSSd)(d)3(所所求求量量应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；旋转体的表面积；功；水压力；引力等旋转体的表面积；功；水压力；引力等.5xyo)(xfy ab二、平面图形的面积二、平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形 xyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baxxfSd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baxxfxfSd)()(12xxxxd xdxxfxfSd)()(d12 xxfSd)(d 6例例1.计算两条抛物线计算两条抛物线y=x2，y2=x所围图形的面积。所围图形的面积。解：解：由由取取x为积分变量为积分变量,变化范围为变化范围为0,1 2d()dSxxx 得面积元素得面积元素 120()dSxxx 于于是是(1,1)Oy=x2 y2=xyx13/23 102133xx x+dxx1yy+dyxy 22xy 得交点得交点)1,1(,)0,0(31 P314 例例也可取也可取y为积分变量为积分变量,yyySd)(d2 120()dSyyy 于于是是,1032/33132yy 31 7选选x作积分变量，则作积分变量，则x的取值范围是的取值范围是0,例例2.求求y=sinx,y=sin2x(0 x )所围图形的面积。所围图形的面积。解：解：由由得交点得交点(0,0)，,(,0)23,3(y3 Ox y=sin2xy=sinx 301d)sin2(sin3,0 xxxS上上，在在 32d)2sin(sin,3xxxS上上，在在21SSS 则则25 xysin xy2sin 8例例3.解解.不妨设不妨设x0.duuxytx12122 1ln122 xxxxxy)(lnyxxyxy )(lnyx 于是于是,tyxe tyx e122 yx由于由于两式相除两式相除,得得 .sh2eech2eetytxtttt，解得解得双曲正弦、双曲正弦、双曲余弦的由双曲余弦的由来来2.三角函数统称为三角函数统称为 圆函数的原因圆函数的原因P314 例例910曲线由参数方程曲线由参数方程()()xtyt 给出时给出时,按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积则曲边梯形面积 baxySd)(1axt 对对应应)(1bxt 对对应应oyxababoyx2.参数表示的情形参数表示的情形 21d)()(ttttt 11abxoyx例例4.求椭圆求椭圆12222 byax解解:利用对称性利用对称性,xySdd 所围图形的面积所围图形的面积.有有 axyS0d4利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程)20(sincos ttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得 024 Stbsinttad)sin(202dsin4 ttbaba4 21 2 ba 当当 a=b 时得圆面积公式时得圆面积公式xxd P314 例例12例例5.求由摆线求由摆线)cos1(,)sin(tayttax )20(t的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积。轴所围平面图形的面积。)cos1(dtaA 解解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 )2(tu 令令uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a 20Sxy2 ao常用几何曲线的图形见常用几何曲线的图形见 P333-336.P316 例例7.4.4 d(1cos)(sin)Aydxat d a tt 133.极坐标的情形极坐标的情形，设设曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程)(,)(C,0)(求由曲线求由曲线)(及及 ,射线射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积.)(x d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)(21d2 S所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为 d212 S 14 xo)(22 )(11 d212122S极坐标表示的情形极坐标表示的情形 15解解:由对称性知，总面积由对称性知，总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14SS d214402 2a 4 2cos22a 1S d2cos2402 a0 例例6.求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积.2cos22a P330 1(12)16解解:利用对称性利用对称性,d)cos1(attadcos82042 02a d2cos442 t令令 28a 43 212 223a d)cos1(2122 a 02Aa2例例7.求心形线求心形线所围图形的面积所围图形的面积)0()cos1(aa 17例例8.求三叶玫瑰线求三叶玫瑰线 围成图形的面积围成图形的面积.sin3,0,ra 解解:由对称性由对称性,只求半叶玫瑰的面积只求半叶玫瑰的面积P318 例例7.4.6 62206sin 3 d2aS 2220sinda 24a 18 222d)cos1(21a例例9.计算心形线计算心形线与圆与圆所围公共部分的面积。所围公共部分的面积。解解:利用对称性利用对称性,)0()cos1(aa 2 221aA 所求面积所求面积22245aa a 2221aa d)2cos21cos223(2 )243(2122 aaaa2oxy19下次课内容预告：定积分的几何应用下次课内容预告：定积分的几何应用(续续)1.曲线的弧长曲线的弧长 2.特殊立体的体积特殊立体的体积 3.旋转体的侧面积旋转体的侧面积作业作业 P329 1(1)(2)(7)(11)(13)P329 1(1)(2)(7)(11)(13)本次课内容小结本次课内容小结1.微元法微元法 2.平面几何图形的面积平面几何图形的面积 xxfSxxfSxbad)(d)(dd 或者或者 xxfSd)(baxxfSd)(baxySd 21d)()(ttttt (),()xtyt d212 S20三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义:若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线,0M 1 iMiMnM AByox当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时,折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长,即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.iiMM1 ni 10lim l则称则称 问题问题:1.什么样的曲线是可求长的什么样的曲线是可求长的?2.当曲线可求长时当曲线可求长时,如何确定其弧长如何确定其弧长?21光滑曲线光滑曲线的切线是的切线是连续变动的连续变动的 定义定义 定理定理 若由参数方程若由参数方程,),(),(21TTttyytxx 确定的曲线是光滑曲线确定的曲线是光滑曲线,则它是可求长的则它是可求长的,其弧长为其弧长为ttytxlTTd)()(2122 证明证明 参考参考 P319-320,略略.将将ttytxld)()(d22 称为弧长的微分称为弧长的微分 22sdyxabo1.曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):xxxdxy d12 因此所求弧长因此所求弧长xylbad12 xxfbad)(12 22)(d)(ddyxl 232.曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:)()()(ttyytxx弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长ttytxld)()(22 ttytxd)()(22 22)(d)(ddyxl 243.曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:)()(rr,sin)(,cos)(ryrx 令令因此所求弧长因此所求弧长 d)()(22 rrl d)()(22yx d)()(22rr 则得则得 ld弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):):注意注意:求弧长时积分上下限必须求弧长时积分上下限必须上大下小上大下小。P320 例例7.4.7 自学自学25例例10.计算摆线计算摆线 )cos1()sin(tayttax)0(a一拱一拱)20(t的弧长的弧长.解解:tltytxd)()(d2dd2dd )cos1(22ta ta22sin tdttad)cos1(2 ttad2sin2 ttald2sin220 2cos22ta02a8 xyoa2P321 例例7.4.8 26 sin)(),cos1(arar 解：解：dsin)cos1(22al dcos22a aa8d2cos2例例11.求心形线求心形线)cos1(ar的长度的长度.P330 3(6)270)()()(222 tztytx推广推广)(),(),(tztytx ,21TT设设在在上连续上连续,且且则由参数方程则由参数方程,),(),(),(21TTttzztyytxx 所确定的曲线的弧长为所确定的曲线的弧长为ttztytxld)()()(22 28例例12.求圆锥螺线求圆锥螺线 ,sin,cosbtztatytatx第一圈的长度第一圈的长度.解解.2222220cossin sincos dlatttatttbt22 2220da tabt2222220ln|2at tsstts2221sab 令令2222224 4ln2ssass29圆锥螺线圆锥螺线 ,sin,cosbtztatytatx第一圈的长度第一圈的长度2222224 4ln2ssass30四、某些特殊几何体的体积四、某些特殊几何体的体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x),)(baxA在在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx 的体积元素为的体积元素为xxAVd)(d 因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续上连续,1.平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积31例例13.一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并并与底面交成与底面交成 角角,222Ryx 解解:如图所示取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为 tan)(21)(22xRxA )(RxR RxxRV022dtan)(212 3231tan2xxR 0R tan323R 利用对称性利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyxP323 例例7.4.10 自学自学,注意与本题的区别注意与本题的区别!322.旋转旋转立体的体积立体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴旋转轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台33成的立体体积，成的立体体积，)(bxaxfy 考虑连续曲线段考虑连续曲线段,bax 旋转体的体积为旋转体的体积为xxfxyVbabaxd)(d22 xyoabxyoab)(xfy x当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段)()(dycyx 绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有2)(y yd dcyVxoy)(yx cdy dcyx d2 绕绕x轴旋转一周围轴旋转一周围取取 x 作积分变量作积分变量,在在a,b上任取小区间上任取小区间 x,x+dx2)(dxfVx xd薄片的体积元素为薄片的体积元素为34解：解：例例14.椭圆椭圆 所围图形分别绕所围图形分别绕 x 轴、轴、y 轴旋转而生成立体的体积。轴旋转而生成立体的体积。12222 byax绕绕x轴旋转时，轴旋转时，ayxbox axV02xy d2(利用对称性利用对称性)椭圆参数方程椭圆参数方程 tbytaxsincosttabdsin232 02 22 ab 32 234ab 1 特别当特别当b=a 时时,就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积.343a 35ayxb(利用对称性利用对称性)oy绕绕 y 轴旋转时，轴旋转时，byV02yx d2 ba234 ttbadcos232 02 椭圆参数方程椭圆参数方程 tbytaxsincosba22 32 1,),(),(21TTttyytxx (1)曲线的参数方程为曲线的参数方程为 21TTxVxy d2 ttxtyTTd)()(221 36a aoyx解：解：,323232xay 32)(3232xay ,aax xxaad)(2303232 310532a 旋转体的体积旋转体的体积(利用对称性利用对称性)aV02xy d2 例例15.求星形线求星形线 绕绕 x 轴旋转轴旋转 构成旋转体的体积。构成旋转体的体积。)0(323232 aayx37解解:2022d)cos1()cos1(ttataa 2)(xy绕绕x轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积ay利用对称性利用对称性ttad)cos1(2033 ttad2sin16063 )2(tu 令令uuadsin322063 332 a 65 43 212 325a axV 20 xy d2 例例16.计算摆线计算摆线 )cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与的一拱与 y0所围成的图形绕所围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.P324 例例7.4.12 思考思考:若是绕若是绕 y 轴旋转轴旋转,结果如何结果如何?38绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积a 2a oABCa2可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成轴旋转构成旋转体的体积之差。旋转体的体积之差。)cos1()sin(tayttax)0(a)(1yxx)(2yxx yyxVayd)(2202 yyxad)(2201 注意上下限注意上下限!22)sin(tta ttadsin 2 22)sin(tta ttadsin 0 2023dsin)sin(tttta336a 39例例17.证明证明由平面图形由平面图形0 a x b，0 y f(x)绕绕y轴轴旋转所成的旋转体的体积为旋转所成的旋转体的体积为xxxfVd)(2d 体积元素体积元素xxfxVbayd)(2 oyx)(xfy x x+dxxxfAd)(d 证明证明:xxfxVbayd)(2 xxfxVbayd|)(|2 (不要求不要求0 y f(x)时时)柱壳法柱壳法 P330 6(1)P330 6(1)xyxVayd220 2 )sin(tta)cos1(ta 22 td0 240例例18.圆圆 绕绕x=-b(0ab)旋转一周所生成旋转一周所生成 立体的体积。立体的体积。222ayx 解：解：建立坐标系建立坐标系 21VVV aaybyaVd)(2221 aaybyaVd)(2222 ba222 -b O a xy aayyabVd422 41(1,1)Oy=x2 y2=xyxx x+dx例例19.求由求由y=x2及及x=y2所围图形绕所围图形绕y轴旋转一周所轴旋转一周所 生成立体的体积。生成立体的体积。解：解：如图如图 10d)(2xxxfVy 102d)(2xxxx)4152(2 绕绕 y 轴旋转时，轴旋转时，103 42xyoab五、旋转体的侧面积五、旋转体的侧面积设平面光滑曲线设平面光滑曲线,)(1baCxfy 求求上上的的圆圆台台的的侧侧面面积积位位于于d,xxx sySd2d 积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22 ,0)(xf且且它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素取侧面积元素:)(2xf xxfd)(12 xyoab)(xfy abx43xyo)(xfy abxsySd2d 侧面积元素侧面积元素 xyd2 sdxdxyd2 因为因为的线性主部的线性主部.若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程)()()(ttyytxx给出给出,则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积不是薄片侧面积S 的的)(2ty ttytxd)()(22 S注意注意:侧面积为侧面积为44例例19.求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性利用对称性 2022 Sta3sin 22 ttasincos32 td 2042dcossin12 ttta ta52sin5112 022512a ttacossin32绕绕 x 轴旋转轴旋转 taytax33sin,cos )(2ty ttytxd)()(22 S45将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式222202(1 cos)(1 cos)sindSattt t2202 2(1 cos)1 cos datt t223016sind22tta6432a例例20.求旋轮线一拱绕求旋轮线一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积轴旋转一周所得旋转曲面的面积.解解:)cos1()sin(tayttax)(2ty ttytxd)()(22 S4647下次课内容预告：定积分的物理应用下次课内容预告：定积分的物理应用 1.液体的静压力液体的静压力 2.引力引力 3.做功与功率做功与功率作业作业 P330 2(2)(4)(8)P330 2(2)(4)(8)5(2)(3)7(2)(4-ii)(6)5(2)(3)7(2)(4-ii)(6)