八年级下册----二次根式压轴题解析

二次根式压轴题（八下学完才能用）一选择题（共1小题）1（2003杭州）对于以下四个命题：若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；（）2=a；若点P（a，b）在第三象限，则点Q（a，b）在第一象限；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A只有错误，其他正确B错误，正确C错误，正确D只有错误，其他正确二填空题（共11小题）2（2012山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=abb2，则2*（）的值是3（2010鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD=6+6，则AB=4（2010拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有对5（2010澄海区校级模拟）化简=6（2009兴化市模拟）若实数a满足|a8|+=a，则a=7（2009琼海模拟）化简二次根式的正确结果是8（2008贵港）观察下列等式：，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=9（2004宁波）已知：a0，化简=10（1998杭州）已知，则=11（1998内江）已知ab=2，则的值是12（1997内江）已知1x2，则的值是三解答题（共4小题）13（2012巴中）先化简，再求值：（），其中x=14（2009邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=；（一）=（二）=（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简参照（三）式得=（）；参照（四）式得=（）（2）化简：15（2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当a0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a0时，如a=6则|a|=|6|=（6），故此时a的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系16（2005台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=（其中p=）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试二次根式压轴题（八下学完才能用）参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2003杭州）对于以下四个命题：若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；（）2=a；若点P（a，b）在第三象限，则点Q（a，b）在第一象限；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A只有错误，其他正确B错误，正确C错误，正确D只有错误，其他正确考点：二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；勾股定理专题：压轴题分析：应明确边长为4的边是直角边还是斜边；隐含条件a0，根据二次根式的定义解答；根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出a、b的符号即可；用“倍长中线法”可证明两个三角形全等解答：解：错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；正确，隐含条件a0，根据二次根式的意义，等式成立；正确，若点P（a，b）在第三象限，则a0，b0；则a0，b0，点Q（a，b）在第一象限；正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等故选：A点评：本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法二填空题（共11小题）2（2012山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=abb2，则2*（）的值是45考点：二次根式的混合运算专题：压轴题；新定义分析：先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可解答：解：由题意得：2*（）=2（1）=45故答案为：45点评：本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义3（2010鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD=6+6，则AB=12考点：二次根式的应用；等腰三角形的性质；垂径定理；解直角三角形专题：压轴题分析：作辅助圆A，由已知证明ABC为等腰直角三角形，ACD为等边三角形，作CFBD，将BCD分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解解答：解：法一：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CFBD，垂足为F，AB=AC=AD，C、D两点都在A上，E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，AE=EC=BE，AEBC，BAC=90，BDC=BAC=45，又BAC=3DBC，DBC=30，CAD=2DBC=60，ACD为等边三角形，设AB=AC=CD=x，在RtABC中，BC=x，在RtBCF中，FBC=30，BF=BC=x，同理，DF=x，由DF+BF=BD，得x+x=6+6解得x=12，即AB=12法二：作CFBD，垂足为F，AB=AC，E是CB的中点，AE=ECAE=BE=EC，AEBC，BAE=ABE=45，ACE=EAC=45，BAC=90，又BAC=3DBC，DBC=30，ABD=ADB=15，BAD=150，CAD=60，ACD为等边三角形，设AB=AC=CD=x，在RtABC中，BC=x，在RtBCF中，FBC=30，BF=BC=x，同理，DF=x，由DF+BF=BD，得x+x=6+6解得x=12，即AB=12点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及圆的相关知识，解直角三角形，列方程求解4（2010拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对考点：二次根式的性质与化简专题：计算题；压轴题分析：把2放在根号下，得出+，是整数，a、b的值进行讨论，使和为整数或和为整数，从而得出答案解答：解：（1）=+，当a、b的值为15，60，135，240，540时，当a=15，b=15时，即=4；当a=60，b=60时，即=2；当a=15，b=60时，即=3；当a=60，b=15时，即=3；当a=240，b=240时，即=1；当a=135，b=540时，即=1；当a=540，b=135时，即=1；故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有 7对，故答案为7点评：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值5（2010澄海区校级模拟）化简=2考点：二次根式的性质与化简专题：计算题；压轴题分析：先将14x+4x2化成（12x）2，再根据（）2有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果解答：解：（）2有意义，2x30，x1.5，2x131=2，=2x+3=2x12x+3=2，故答案为2点评：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握6（2009兴化市模拟）若实数a满足|a8|+=a，则a=74考点：二次根式有意义的条件专题：压轴题分析：由可得a10，再对式子进行化简，从而求出a的值解答：解：根据题意得：a100，解得a10，原等式可化为：a8+=a，即=8，a10=64，解得：a=74点评：二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口7（2009琼海模拟）化简二次根式的正确结果是考点：二次根式的性质与化简专题：压轴题分析：根据二次根式的性质及定义解答解答：解：由二次根式的性质得a3b0aba0，b0原式=a点评：解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式2、性质：=|a|8（2008贵港）观察下列等式：，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=2006考点：分母有理化专题：压轴题；规律型分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+=，然后利用平方差公式计算解答：解：，原式=（+）（）=（）（）=20082=2006故本题答案为：2006点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律9（2004宁波）已知：a0，化简=2考点：二次根式的性质与化简专题：压轴题分析：根据二次根式的性质化简解答：解：原式=又二次根式内的数为非负数a=0a=1或1a0a=1原式=02=2点评：解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值10（1998杭州）已知，则=13考点：二次根式的加减法专题：压轴题；换元法分析：用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可解答：解：设m=，n=，那么mn=2，m2+n2=+=34由得，m=2+n，将代入得：n2+2n15=0，解得：n=5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（m0，n0）所以=n+2m=13点评：本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解11（1998内江）已知ab=2，则的值是考点：二次根式的化简求值专题：压轴题分析：由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a0，b0；a0，b0解答：解：当a0，b0时，原式=；当a0，b0时，原式=2点评：此题的难点在于需考虑两种情况12（1997内江）已知1x2，则的值是2考点：二次根式的化简求值专题：压轴题分析：由于（）2=x12+=x+3，又，由此可以得到（）2=4，又由于1x2，由此可以得到的值0，最后即可得到的值解答：解：（）2=x12+=x+3，又，（）2=4，又1x2，0，=2故填：2点评：此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题三解答题（共4小题）13（2012巴中）先化简，再求值：（），其中x=考点：二次根式的化简求值；分式的化简求值专题：压轴题；分类讨论分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可解答：解：原式=，当x=时，x+10，可知=x+1，故原式=；点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出=x+1，此题难度不大14（2009邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=；（一）=（二）=（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简参照（三）式得=（）；参照（四）式得=（）（2）化简：考点：分母有理化专题：压轴题；阅读型分析：（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况解答：解：（1）=，=；（2）原式=+=+=点评：学会分母有理化的两种方法15（2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当a0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a0时，如a=6则|a|=|6|=（6），故此时a的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系考点：二次根式的性质与化简专题：压轴题；阅读型分析：应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简解答：解：（1）由题意可得=；（2）由（1）可得：=|a|点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a0时，=a；当a0时，=a；当a=0时，=016（2005台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=（其中p=）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试考点：二次根式的应用专题：压轴题分析：（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算解答：解：（1）S=，=；P=（5+7+8）=10，又S=；（2）=（）=，=（c+ab）（ca+b）（a+b+c）（a+bc），=（2p2a）（2p2b）2p（2p2c），=p（pa）（pb）（pc），=（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）点评：考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力