七年级数学-专题二-方程(组)、不等式(组)的应用华东师大版

初一数学专题二 方程（组）、不等式（组）的应用华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容专题二 方程（组）、不等式（组）的应用二、内容概要一次方程与方程组、一元一次不等式（组）是历年中考命题的重点和热点. 主要以填空题、选择题、解答题、阅读创新题和应用题的题型出现，也会适当增加一些难度不大的应用性数学问题.代入法和加减法是解方程组的两种常规方法，在中考中也屡见不鲜，但主要是考查思想方法的应用，一般不直接考查如何解方程或方程组. 另外，运用方程组解决一些生活中的实际问题是中考热点.不等式的基本性质的准确应用及一次不等式（组）的解法. 用不等式（组）解决实际问题，如调配问题、最大利润问题、分析具体问题中蕴涵的不等关系、运用不等式（组）解决问题等，已成为中考热点.三、知识点分析1. 建立方程组模型解决实际问题新课程越来越注重学生通过对问题情境的考查研究，自主建立数学模型，并进而解决问题，那么如何能很好的建立方程组的模型解决实际问题呢？本讲通过近年来的典型中考题将其分为如下几个模型来做个解读：表格情境建模；对话情境建模；几何情境建模；问题决策型建模.2. 方程与不等式的交融在近几年的中考试题中，常涉及到把方程与不等式嫁接在一起来解决的实际问题. 也就是说，这些应用题所显示的条件，除了含有方程中的等量关系外，还含有不等式中的不等量关系，这样的题目就需要列出混合式组来解答. 3. 卡通图中的中考题随着新课标的实施，中考试题呈现出丰富多彩的形式，其中以卡通人物为素材的试题，迎合了青少年的心理特点，符合中学生的认知规律.这类试题融知识性和趣味性于一体，通过亲切的语言，诱人的问题，调节了考生的紧张心理.卡通型试题的显著特点是把条件隐含在人物的对话中，较好地考查了学生的阅读理解能力和分析、解决问题的能力.【典型例题】例1. 2009年“五一”节，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况. 下图是调查后三位同学进行交流的情景.请你根据上述对话，解答下列问题：该超市的每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为多少元；该超市今天销售了多少瓶“农夫山泉”矿泉水.分析：本题以卡通图的形式向学生提供了矿泉水的销售情况，题型新颖别致，给人耳目一新的感觉. 通过图中三个同学对话的信息及温馨提示容易得到利润、售价、进价及利润率之间的数量关系，从而列出方程.解：设该超市的每瓶矿泉水的标价为元，根据题意得，解得.答：该超市的每瓶矿泉水的标价为1.5元.由知每瓶售价为：元，销售量（瓶）.答：该超市今天销售了300瓶“农夫山泉”矿泉水.例2. 印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失某学校积极组织捐款支援灾区，初三（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由解析：从表格与题中提供的信息可发现有下面的精练的普通语言：捐款1元人数+捐款2元人数+捐款5元人数+捐款10元人数=55捐款1元的总钱数+捐款2元的总钱数+捐款5元的总钱数+捐款10元的总钱数=274由问题设捐款2元的人数为人，捐款5元的为人，则可建立如下的方程组模型：解之得例3. 小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包你能根据他们的对话内容（如图），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？解析: 从对话情境可知精练的普通语言：随身听的单价=4书包的单价8随身听+书包的单价=452元由问题设随身听的单价为元，书包单价为元，则可建立如下的方程组模型：解之得： 例4. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积. 解析: 要求这种药品包装盒的体积，应该先求长、宽、高.从几何图形（试模仿制作立方体图）可以发现精练的普通语言：高+宽+高+宽=14 高+长+高=13设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，则可建立如下的方程组模型：解之得：，故宽为，高为，长为，故体积为例5. 某厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价格：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元这家商场同时从该厂购进其中两种不同型号电视机共50台，正好用去9万元，请你设计出几种不同的进货方案，并说明理由商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解析: 分成三种情况讨论：买甲乙两种、买乙丙两种、买甲丙两种设购进甲种台，乙种台，则列方程组为解之得其它情况与此类似，乙种87.5台,丙为37.5台（不合题意舍去）甲种35台，丙种15台方案一：获利元；方案二：获利元，所以方案二获利最多.例6. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数解析：设有个小朋友,个苹果.根据“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”易知，；由“每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果”可知，.把代入，并转化成不等式组，得解这个不等式组，得. 为正整数 =5或6. 当=5时，人；当=6时，人. 答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；小朋友有6人时，这一箱苹果有42个.例7. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？解析: 设这个学校选派值勤学生人,共到个交通路口值勤.根据条件“每一个路口安排4人，那么还剩下78人”可知；再由“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”易知.故由题意，得将代入, 得，解得，19.5 ， 根据实际意义应为整数，所以=20,此时=158答：学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤例8. 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？解析: 设一盒饼干的标价为x元，一袋牛奶的标价为y元.根据“小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！”这句话知且；再由“今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱.” 这句话可知，.由得 ，把代入，得解得，再由得8x10 . 一盒饼干的标价是整数元，x=9.将代入，得.答：一盒饼干的标价为9元，一袋牛奶的标价为1.1元例9. 一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20；B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金?析解: 设购买A型计算器只，购买B型计算器只. 由于商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，所以. 根据“A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20”知，购买只A型计算器需要资金；再由“B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元”可知，购买只B型计算器需要资金.由于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，所以.故由题意，得把代入得，解得.设该商场所需资金为元，则.因为为整数，且随的增大而增大，所以当=222时，的最小值为19760元.答：该商场至少需要准备资金19760元.四、本讲数学思想方法的学习1. 用方程（组）和不等式（组）的有关知识解决生活中的一些实际问题，是近几年来各地中考的热门题型，在平时的学习和复习中，一定要加强这些方面的训练，读懂题意，巧设未知数，掌握解这些问题的基本技巧和基本思想方法.2. 一元一次不等式（组）常常与方程的有关知识结合在一起，有一定的难度，希望大家一定要加强训练，提高解题能力.【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 如图是某年6月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈的三个数的和为39，则这三个数中最大的一个为 20 .2. 小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8折”，小明测算了一下. 如果买50支，比按原价购买可以便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少元？3. 某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆. 现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？4. 农科所向农民推荐渝江号和渝江号两种新型良种稻谷.在田间管理、土质和面积相同的条件下，号稻谷单位面积的产量比号稻谷低20%，但号稻谷的米质好，价格比号高.已知号稻谷国家的收购价是1.6元/千克. （1）当号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷的收益相同？（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷，且进行了相同的田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖号稻谷比卖号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？5. 某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元.（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？6. 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据（单位：）解答下列问题：（1）用含的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多，且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？7. 母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒. 从图中信息可知一束鲜花的价格是_元.8. 青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）【试题答案】1. 解：设中间的一个数为x，则最大的一个数为x+7，最小的一个数为x7.由题意得：（x7）+x+（x+7）=39，解得x=13，x+7=20，故最大的一个数为20.说明：本题首先从特殊情形获得启发，然后推出一般的结论，这种由特殊到一般的思维方法是命题热点之一.2. 解：设每支铅笔的原价是x元，则依题意得：50x（10.8）6，解得x0.6.答：每支铅笔的原价是0.6元.3. 解：设中型汽车有x辆，则小型汽车有（50x）辆. 根据题意，得6x+4（50x）=230.解这个方程，得x=15.所以50x=35.答：中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.4. 解：（1）由题意，得（元）；（2）设卖给国家的号稻谷千克，根据题意，得.解得，（千克），（千克）.答：（1）当号稻谷的国家收购价是2元时，种植号、号稻谷的收益相同；（2）小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.5. 解析：设书包的单价为x元，英语学习机的单价为y元. 根据题意，得解得 答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元. （2）在超市A购买英语学习机与书包各一件，需花费现金：（元）；因为，所以可以选择在超市A购买. 在超市B可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：（元）；因为，所以也可以选择在超市B购买. 但是，由于，所以在超市A购买英语学习机与书包更省钱.6. 解析：（1）观察图形知道：地面由四部分组成，卧室、厨房、客厅、卫生间，其面积分别为：3（22）12、2（63）6、6x、2y，所以地面总面积为：. （2）由题意，得 解得 地面总面积为：. 所以，铺地砖的总费用为（元）. 7. 解析：由图示可以看出，一束鲜花和两个礼盒共计55元，两束鲜花和三个礼盒共计90元，所以，可设每束鲜花为x元，则每个礼盒为y元，由题意得：解之得：所以，一束鲜花的价格是15元.8. 解析：（1）设该商场能购进甲种商品件，根据题意，得乙种商品：（件）（2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件.根据题意，得因此，不等式组的解集为；根据题意，的值应是整数，或或该商场共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件.（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 （件）；第二天只购买乙种商品有以下两种情况：情况一：购买乙种商品打九折，（件）情况二：购买乙种商品打八折，（件）一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）