大学线性代数课件1.3

上页下页结束返回首页1.3 行列式的性质行列式的转置行列式的性质行列式转置上页下页结束返回首页行列式的性质行列式的性质 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D。即如果行列式的转置：行列式的转置：a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D=，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT=则。若D=|aij|，D T=|bij|，则bij=aji(i,j=1,2,n)。性质1上页下页结束返回首页 性质性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=DT。证明：证明：记D=|aij|，D T=|bij|，D T的一般项为 行列式的性质行列式的性质 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D。行列式的转置：行列式的转置：nnnjjjjjjNbbb 212121)()1(njjjjjjNnnaaa =21)(2121)1(这也是D 的一般项，所以 D=DT。njjjnNjjjNnnaaa =21)12()(2121)1(，性质2上页下页结束返回首页 性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。证明：证明：记D=|aij|，交换D的第s行与第t(st)行得到的行列式为D1=|bij|，则bsj=atj、btj=asj(j=1,2,n)。ntsntsnjtjsjjjjjjNbbbb 111)()1(D1的一般项为 ntsntsnjsjtjjjjjjNaaaa =111)()1(nstntsnjtjsjjjjjjNaaaa =111)()1(它与D的一般项相差一个负号，所以D 1=D。nstnstnjtjsjjjjjjNaaaa =111)()1(，推论上页下页结束返回首页 推论推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。这是因为，将行列式 D 中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为D，但由性质2，D=D，所以D=0。性质3上页下页结束返回首页 推论推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。性质性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。即a11ka31an1 a12ka32an2 a1nka3nann ninnjijjjjjNakaa )()1(1211)(这是因为，ninnjijjjjjNaaak =1211)()1(。=k。a11a31an1 a12a32an2 a1na3nann 推论1，2上页下页结束返回首页 推论推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零。推论推论1 如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号的外面。推论推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。性质性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。性质4上页下页结束返回首页 性质性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和：a11ai1bi1an1a12ai2bi2an2a1nainbinanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =。a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann 这是因为，niinnjijijjjjjNabaa)()1(1211)()1(112111)(nininnjijjnjijjjjjNabaaaa =ninnjijjjjjNaaa1211)()1(ninnjijjjjjNaba1211)()1(。性质5上页下页结束返回首页 性质性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变。a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1kaj1an1a12ai2kaj2an2a1nainkajnann=。a11aj1an1a12aj2an2a1najnann k。a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 右边=即 这是因为例1上页下页结束返回首页 解：解：设 例例1证明:奇数阶反对称行列式的值为零。0a12a13a1n a120a23a2n a13a230a3n a1na2na3n0 ，D=则0a12a13a1n a120a23a2n a13a230a3n a1na2na3n0 =(1)nDTD=(1)n当n为奇数时，有D=D，=(1)n D，所以D=0。(将D的每一行提出一个1)(DT=D)例2上页下页结束返回首页例例2：计算下列行列式：3214214314324321.23111131111311113.1分析：分析：这两个行列式的共同特点是：行列式的各行（列）之和相等。解决这类问题的一般方法是：把行列式的各列均加到第一列，再提取第一列的公因式，然后利用行列式的性质5化为三角行列式计算。解答上页下页结束返回首页解：解：3111131111311113.1+311613161136111631111311113111116=1 1 1 10 2 0 00 0 2 00 0 0 22226=-6.48=为了书写方便，我们作如下规定：(1)记号 表示第8行(列)提出公因子k；(2)记号 表示4行(列)与9行(列)互换；(3)记号 表示把第1行(列)乘以(3)加到第2行(列)上等号上(下)面的记号表示行(列)变换。k）（32题上页下页结束返回首页下一步解：解：3214214314324321.232110214101431043210321121411431432110=-101 2 3 40 1 1 30 2 2 20 1 1 12111011103110432120+上页下页结束返回首页解：解：3214214314324321.2321121411431432110=+32110214101431043210400012003110432120160)4()2(1120=+例3上页下页结束返回首页 例例3 n 阶行列式xaaaaaxaaaaaxaaaaaxa aaaaxx(n1)a x(n1)a x(n1)a x(n1)a x(n1)a axaaaaaxaaaaaxa aaaaxx(n1)a a a a a 0 xa 0 0 00 0 xa 0 00 0 0 xa 0 0 0 0 0 xa=x(n1)a(xa)n1。(1)(1)例4上页下页结束返回首页 例例4设 a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，6a113a213a312a12a22a3210a135a235a33求。6a113a213a312a12a22a3210a135a235a33 解：解：3a113a213a31a12a22a325a135a235a332a11a21a31a12a22a32a13a23a332(3)5=30。=2(3)51(2)5(3)例5上页下页结束返回首页 例例5 0 1 1 2 2 1 1 01 2 1 0 1 1 0 2 0 1 1 2 2 1 1 01 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2 2 0 0 2 4 0 1 1 2 1 1 0 2 0 3 1 4 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 21(2)13 0 0 0 2 0 0 2 4 0 1 1 2 1 1 0 2=1(1)(2)(2)=4。(1)例6上页下页结束返回首页例例6：计算下列行列式：0111101111011110解：解：0111101111011110 01111011111011011010011011101101例72100120011101101 12002100111011012300021001110110133)1(11=上页下页结束返回首页1题解例例7：计算下列行列式：141034352724135344.22101121310311203110211.13101131001311013.41111111111111111.3aaaayyxx上页下页结束返回首页解：解：2101121310311203110211.1213121311023110126012013361 103211102610203136125030111026102031361下一步上页下页结束返回首页2题解5030111026102031361 31118003700261020313612114003100221022313614230003100221022313613623=上页下页结束返回首页141034352724135344.2 141034352724133131374214150241219077803131 2141024127077103121下一步上页下页结束返回首页214102412707710312179700253700771031215970070200771031212970035100771031212下一步上页下页结束返回首页21410241270771031217970025370077103121597007020077103121725400035100771031212508=3题解上页下页结束返回首页yyxx1111111111111111.3yyyxxx110110101101yxyxxy1110111010111011yxxy00011100001011下一步上页下页结束返回首页)()(xy100011100010101122yx 100011000010101122yx22yx=yyxx1111111111111111.3yxxy=000111000010114题解上页下页结束返回首页3101131001311013.4aaaa3101131001313333aaaaaaa)3(a3101131001311111)3(aaaa下一步上页下页结束返回首页4210131012201111)3(=aaaa4210131001101111)3(aaaaa)1(a4210131001101111)1)(3(aaaa4100140001101111)1)(3(aaaa1400410001101111)1)(3(aaaa（)4 a)5)(3(000410001101111)1)(3(aaaaa)5)(1()3(2=aaa例5上页下页结束返回首页例例8：计算下列行列式：2322213213111xxxxxxV=解：解：2322213213111xxxxxxV=212321222113121001xxxxxxxxxx1312211131211001)(xxxxxxxxxx)()(1312xxxx下一步上页下页结束返回首页例例8：计算下列行列式：2322213213111xxxxxxV=解：解：2322213213111xxxxxxV=212321222113121001xxxxxxxxxx2312211131201001)(xxxxxxxxxx结果上页下页结束返回首页例例8：计算下列行列式：2322213213111xxxxxxV=解：解：2322213213111xxxxxxV=212321222113121001xxxxxxxxxx)()(231312xxxxxx=2312211131201001)(xxxxxxxxxx推广上页下页结束返回首页一般地，有如下n阶（VanderMonde)行列式：111121122122211211111=nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV)()()()()()(12212242311312=nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx=nijjixx1)(做练习上页下页结束返回首页例例9:解下列方程：0111121111111111)2(09132513232213211)1(22=xnxxxx解：解：（1）很显然，当2x2=1时，行列式的第一列与第二列相同，则此行列式的值为零；当9x2=5时行列式的第三列与第四列相同，则此行列式的值为零。所以，方程的根为x=1,1,2,22题解上页下页结束返回首页例例9:解下列方程：0111121111111111)2(09132513232213211)1(22=xnxxxx解：解：（2）与（1）相同的道理，知该方程的根为：1,2,1,0321=nxxxxn大家做大家做些练习些练习，好吗？好吗？练习上页下页结束返回首页练习：计算下列行列式：练习：计算下列行列式：1321342361136614)2(2321125212113111)1(答案：答案：第1题的结果是3030第2题的结果是2727作业上页下页结束返回首页结束作 业结束习题一(P39-42页):12,13,15,16,17,18,19,20题上页下页结束返回首页课件研制与制作：沈家云课件研制与制作：沈家云Email:S2003年1月