线积分与面积分

第四章線積分與面積分4.1 線積分在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之間的面積，其做法為將圖形下的區域沿著X軸切割成許多的長方條（元素），然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemannsum並取其極限值後，即定義所謂的定積分。換言之，我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X（或Y）來求面積。而接下來所要介紹的線積分（lineintegral）是針對雙變數函數沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上，雙變數函數代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區域的面積。所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。從數學上的幾何觀點定義線積分假設C為XY平面上之曲線，並以參數表示為:x=g(t),y=h(t),atb且雙變數函數f為x、y之函數，表空間中一曲面。現若將曲線C切割成許多段的小弧，且各弧長為AS.,則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為：il.mf(xi,yi)ASiJf(x,y)dSC此式稱為f沿曲線C之線積分。Y由上圖可知,當Ax很小時,iAS.近似一直線，故由畢氏定理可知i4-#AS=匚Ax2+Ay2iii又由均值定理可得：Axi=xi-Xi-1=x(c)0-tk_i)=g(c)Atk,ce%_1人Ayi=yi-yi-i=yW)tk-tk一i)=h(c)Atk，c*tk_i，tk所以IaS=.g(c)2+h(c)2Atikf(x,y)dSJ當A0,dS=：g，(t)2+h，(t)2dt,故線積分的參數公式可寫為:f(g(t),h(t)g(t)2+h(t)2dt特例1若C為X軸上的一直線區間，則ASi=Axi，則線積分還原為一般定積分:Jf(x,y)dS=CJf(x)dx特例2若C為XY平面上平行X軸或Y軸上的線段，則線積分分別有下列兩種情形:CAS.=Ax.nJf(x,y)dS=Jf(x,y)dxf(x,y)dy如上圖所示,一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為:f(x,y)dS=Jf(x,y)dx+Jf(x,y)dy,C1C2C=C1UC2若有兩個不同之連續函數M(x,y)及N(x,y)分別對同一路徑做線積分時，其結果可合併為：(x,y)dx+JNC(x,y)dyJMC(x,y)dx+N(x,y)dy以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式，假設C為空間中之曲線，並以參數表示為：x=g(t),y=h(t),z=k(t),atb則線積分公式為：Jf(x,y,z)dS=Jf(g(t),h(t),k(t)g(t)2+h气t)2+k(t)2dtC線積分的計算方法：1. 當曲線C以參數方式表示為：x=g(t),y=h(t),atb時，則將積分式中的x與y均以g(t)及h(t)代換，並令dx=g:(t)dt,dy=h，(t)dt,且以a及b為上下限。2. 當曲線C以y=g(x),axb方式表示時，則不必以參數代換，而直接以y=g(x)及dy=g(x)dx代入，並以a及b為上下限。從物理上功的觀念定義線積分假設向量空間中一質點受向量力場之作用,此力場為：F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k若質點位於一曲線C上,且其參數式為：x=g(t),y=h(t),z=k(t),atb,則F沿曲線C移動該質點一微小位移時所做的功為：AW=F(x,y,z)AR=(M(x,y,z),N(x,y,z),P(x,y,z)(Ax,Ay,Az)=M(x,y,z)Ax+N(x,y,z)Ay+P(x,y,z)Az所以沿曲線C對質點做的總功為limAWJMdx+Ndy+PdzC假設R=(x,y,z)為曲線C上任一點之位置向量，且T為曲線上之單位切線向量,則：dR(dxdydz、dsIdsdsds丿=FF=M虫+N亜+P生dsdsdsnFTds=Mdx+Ndy+PdznJFTds=JMdx+Ndy+Pdz=JFdRCCC所以，功就是指力場F沿曲線路徑C之切線方向上之分量(即投影量)的線積分。反言之，線積分可以解釋為力場F沿曲線路徑C對質點所做的功。在以上述公式求線積分時，應注意R=(x,y,z)與曲線C之間的參數關係:1. 當R表為t的參數式時，可使用JFdR=JF詈dt。2. 當R表為s的參數式時，可使用JFdR=JFTds。CC1. Domains;SimplyConnectedDomains一個區域(region)如只包含內部點(interiorpoints)而不包含邊界點(boundarypoints)，則此區域稱為open。2. 如果一個曲線位於一open的區域內，則根據1.的定義，此曲線絕不可與此區域的邊界相交或接觸。3. 若在一個open的區域內，只要給定兩個點就能找到一平滑曲線將該兩點連接起來，則此區域稱為connected。4. 一個既open又connected的區域稱為一個domain。5. 若在一domain中的每一個封閉曲線均能在不使曲線的任何一部份跑到domain以外的情形下，連續收縮成一個點，則此domain稱為simply-connected。換言之，simply-connecteddomain就是只沒有洞的domain。4.2 保守場假設F為domainD中的向量場，如果在D中能找到一個純量場炉使得F=grad(p，則向量場F稱為保守場(conservativefield)。稱為F的勢能函數(potentialfunction)，或簡稱為F的勢能(potential)。的選擇並不唯一，因為0雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為F；。以下為與保守場有關之定理。定理一一個在domainD中連續的向量場F為保守場oJfdR“(Q)_(P)，其中P、QC分別為曲線C的起點與終點。換言之，在保守場中，線積分值只與路徑的起點終點有關，而與路徑無關。(證明課堂補充)定理二其中C為一封閉曲一個在domainD中連續的向量場F為保守場o1FdR=0,C線。定理三一個在simply-connecteddomainD中連續可微分的向量場F為保守場oVxF=0，即旋度為零。4.4有向曲面及曲面面積曲面的方向一個曲面要有兩面才能定其方向，而其正方向是由曲面之法向量的方向來決定。若一個曲面的邊界被一曲線包圍，則曲面的正面係指觀察者在沿著邊界曲線走時，曲面應永遠在其左側。對於片段平滑的曲面，每一面都必須決定方向，且各正向曲面在交界處的曲線方向正好相反。對於封閉之曲面，以遠離曲面之單位法向量的方向為正向。平面的參數方程式假設R0=厲讥叫)表一平面上已知點之位置向量，而R=(x,y,z)為該平面上之任一點之位置向量，且A,B為該平面上兩個已知不互相平行的向量，則K-%必與A,BT共平面，故R-%可表為AT,BT的線性組合，亦即R-=uA+vBnR=(x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)=R(u,v)其中u、v為純量，而此式即為以u、v為參數之平面方程式。由此可知，一個平面的參數方程式需要兩個參數來決定，而一個曲線的參數方程式僅需一個參數。其實使用參數方程式的意義就是將原來在XYZ座標系統下所描述之曲面上任一點(x,y,z)的位置改以建立在該曲面上之座標系統(u,v)來描述。所以，曲面的位置向量R=R(u,v)只要隨著參數u、v的變化即可產生一曲面。如上圖所示，當參數v固定時，曲面的位置向量R=R(u,v)會沿著u方向建立一曲線，則由偏微分及曲線的切線向量定義可知：学表曲面上沿u方向之曲線的切線向量du同理，當參數u固定時，曲面的位置向量R=R(u,v)會沿著V方向建立一曲線,則由偏微分及曲線的切線向量定義可知：dR表曲面上沿v方向之曲線的切線向量dv因dU及dV為過(u,v)之切線向量故外積鈴xdv代表曲面的法向量。在第三章我們曾經以非參的方式數表示曲面為f(x,y,z)=C，而與此曲面垂直的法向量為梯度向量gradf所以我們現在有兩種方式來求曲面的法向量。曲面的面積假設我們從上圖的曲面上取一小片的平行四邊形元素，並以參數座標系統來看，則參考下圖可得下列關係：PQ=R(u+Au,v)-R(u,v)PS=R(u,v+Av)-R(u,v)由微分的均值定理可得R(u+Au,)-R(u,v)=AucuQRR(u,v+Av)-R(u,v)=Avcv所以由外積的定理可知該平行四邊形元素的面積為：AS=|PQxPS|xAuAvcuCv故曲面的總面積可利用極限及積分定義獲得如下：S=limASAu,Avt0CRQRxQuCvdudv若再進一步令dS=西dux西CuCvdv,dS則dS為P點上的法向量，可改寫為：n為與dS同方向之單位法向量，所以曲面的面積公式S=JJdS=JJndS當曲面的方程式以非參數之方式z=f(x,y)表示時，為了能利用上述的公式,我們可以令x=u,y=v,z=f(u,v)便可將曲面的位置向量R=(x,y,f(x,y)轉換為R=(u,v,f(u,v)=R(u,v),所以有SRSRduSxSRSRSvSy所以曲面面積公式為：dS=Sduxfdv=(SfSf乔dxdynS=ffIdsI：1+Rxy、Sx丿丿2-dxdy其中R代表曲面在XY上投影的區域範圍，此範圍即用以定義該雙積分的積分xy上下限。我們再進一步討論曲面的法向量K與Z軸之單位向量k的關係；考慮兩個向量的內積：dSk=|dS|coSfncoSf=Sf1SxSy,Sf(0,0,1)1Sx丿1+Sx丿Sf)2Sx丿coSf=seCf其中Y為dS單位向量k的夾角，所以可得S=ff1+dS=Rxy(Sf)2(Sf)2-dxdy=ffxdycos/Rxy由以上的公式我們可以了解曲面上一片小元素的面積|dS|與此元素在XY平面上投影的面積相差cosy倍，換言之，肚|在XY平面的投影面積等於其面積乘上cosy，此即為面積餘弦定理(AreaCosinePrinciple)。利用此定理可簡化上述的積分計算。4.5面積分假設S為一平滑的曲面，且fx,y,z)為一定義於該曲面上的連續函數，則f對曲面S的面積分定義為：口f|dS|般而言，fx,y,z)常起源於一向量場F與曲面上的單位法向量任的內積，即f=Fn，所以面積分的公式可改寫如下：fff|ds|=JJFn|dS|JfFFdS(SRSR)xdudvkSuSv丿若曲面以非參數之方式z=f(x,y)表示時，可利用面積餘弦定理改寫面積分公式:fff曲|=ffFn坯COSf4.6體積分如同面積分的定義，假設f(x,y,z)為一定義於包含邊界在內之區域V上的連續函數，則f對該區域V的體積分定義為：ffff(x,y,z)dV在直角座標系下，常將體積元素假設為邊長分別為dx,dy,dz的平行六面體，故體積分可表為：fffVf(x,y,z)dxdydz而當f(x,y,z)=1時，體積分即簡化為：dVV此即代表區域V的體積。補充內容動力學之功與位能及保守場的關係。1 參考文獻Davis,H.F.andSnider,A.D.,IntroductiontoVectorAnalysis,4thed.,1982.2 KaplanWilfred,AdvancedMathematicsforEngineers,1981.3 Varberg,D.,Purcell,E.J.,andRigdon,S.E.,Calculus,8thed.,2000.4 Swokowski,E.W.,CalculuswithAnalyticGeometry,2nded.,1979.