圆锥曲线综合复习

课题：圆锥曲线综合复习江苏省外国语学校【教学目标】1、掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的 标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题，了解运用曲线的方程研究曲线的几何性 质的思想方法.2、了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质.3、了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质【教学重点难点】圆锥曲线中各量的计算，尤其以求离心率e的题目是重点与难点.【教学过程】、热身训练_1、若椭圆曽+m=1的离心率等于，则m=.解析：由条件当m4时有1_牛= m = 16,故m的取值为1或16.答案：1或162、已知FF2是椭圆C： -+b2=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且P丄P2,若厶PF1F2的面积为9,则b=解析：设IPF1l = r1， IPF2I = r2，r12 _ 丫？ = 4a2 _ 4c2 = 4b2,r + r2 = 2a,2r r = (r + r )2 _、r 2 + r 2 = 4c2,1 212.SAPFF =2rr = 9 = b2, Ab = 3.1 2 2 1 2答案：3x2 y23、已知l是双曲线話=1的一条渐近线，F为双曲线的右焦点，则F点到直线l的距离为解析：易知双曲线的渐近线方程为4x3y = 0,右焦点F的坐标为(5,0),由对称性取其中一 条渐近线4x + 3y = 0,因此由点到直线的距离公式得d= = 4.42 + 32答案：44、双曲线kx2 y2= 1的一条渐近线与直线2x+y+ 1 = 0垂直，则此双曲线的离心率是解析：由题意知k0,因为双曲线的渐近线y = lkx中有一条与直线2x + y + 1 = 0垂直.所 以I；k(-2)= -1,即k = 4因此双曲线中a = 2, c =,.5，所以离心率e =-=谆.答案.址5口25、已知抛物线y=*2，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为.解析：抛物线的焦点是(0,1),且对称轴为x = 0,故所求直线方程为y = 1.答案：y=16、已知A、B是抛物线x2=4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2),则IABI等于X = 0,1即 A(0,0), B(4,4),lX2 = 4，|x1 +x2 = 4,X 2x 2I 12解析：设A*, 丁)，B(x2，才)，由已知得存 写=4I 4 + 4 =4故 IABI = 4迈.答案：4：2二、知识要点1椭圆(1)平面内一点P与两定点FF2的距离的和等于常数(大于IFF2I)的点的轨迹. 若常数等于IFF2I,则轨迹是若常数小于IFF2I,则轨迹是注意：一定要注意椭圆定义中限制条件“大于IF1F2I”是否满足.(2)平面内点M与定点F的距离和它到定直线l的距离d的比是常数e(Ovevl)的点的轨迹. 定点F为椭圆的,定直线l为椭圆的.(3)标准方程、几何性质标准方程图象顶点对称轴轴焦点焦距离心率准线方程2. 双曲线(1) 标准方程及简单几何性质标准方程图象顶点轴焦点焦距离心率准线方程渐近线方程(2)思考：若IPFll-|PF2l = 2aIFlF2l,则点P的轨迹是以片、F2为焦点的双曲线，对吗?(3)双曲线中的几何量及其它问题 实轴，虚轴，焦距，且满足 焦点到相应准线的距离 焦点在x轴上的双曲线的焦半径：IPFJ=(x00)ipf2u(x00)或 PF1I=(x00)，ipf2u(x0b0）的离心率为2，且经过点a2b22P（1，2）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.x2 y213解：（1）V椭圆2b2= 1（ab0）的离心率为2，且经过点P（1, 2），厂Qa2 _ b21s a 2， 丄 _9_1a2 + 4b23a2 _ 4b2 = 0,即1=、a2 + 4b21，a2 = 4,b2 = 3.x2椭圆C的方程为才+y23=1.(2)：a2 = 4, b2 = 3, :.c = pa2 - b2 = 1.椭圆C的左焦点坐标为(-1,0).以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2 + y2 = 4,圆心坐标是(0,0),半径为2. 以PF为直径的圆的方程为x2 + (y - 4)2 = 16，圆心坐标是(0，4)，半径为5.335两圆心之间的距离为、(0 - 0)2 + (4 - 0)2 = 4 = 2 - 4，故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.题型二、双曲线知识例2：已知双曲线的中心在原点，焦点片、F2在坐标轴上，离心率为迈，且过点M(4,讨五). (1)求双曲线方程；若点N(3, m)在双曲线上，求证：尬冲1?2=0；求AFNF2的面积.解：(1)Je = ，故可等轴设双曲线的方程为x2-y2 = WM2),过点 M(4,- ；/10), .16- 10 = 2,久=6.双曲线方程为x2 - y2 = 6.证明：由可知：在双曲线中，a = b = p6, c = 2丫3.F1( - 3, 0), F2(2 3, 0)./.NF1 = (-2.J;3-3,-m),NF2 = (3-3,-m)./.NF fN万2 = (- 2、冃-3)(2口 - 3) + m2 =- 3 + m2. N 点在双曲线上，.*.9 - m2 = 6, .*.m2 = 3.Nf1nf2 = 0.(3) / F1NF2 的底IFF2I = 4忑，高 h = Iml =;3, .SFNF =6.1 2题型三、抛物线知识例3：已知A，B两点在抛物线C： x2=4y上，点M(0,4)满足MA=BM.(1)求证：OA丄OB； (2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.(i)求证：点N在一条定直线上； (ii)设4X0,(kx1 + 4)(kx2 + 4)x1 + x2 = 4k, xx2 =- 16,(1)证明:OAOB = x1x2 + y1y2 = x1x2 + =(1 + k2)x1x2 + 4k(x1 + x2) + 16 =(1 + k2)( - 16) + 4k(4k) + 16 = 0 OA 丄 OB.(2)( i )证明：过点A的切线： 丄1 丄y = 2x1(x - x1) + y1 = 2x1x - 4x12,过点B的切线：y = 2x2x - 4x22,x + x联立得点N(fy,-4)，所以点N在定直线y=-4上.(n)VMA=ABM,_ / + 1 =A+|-2,4W 久 W9,可得 k2 = (1.(x1，y1-4)=A(-x2,4-y2), 联立 兀=-加2， x1 + x2 = 4k, x1x2 =- 16,-8直线MN: y = 2kx + 4在x轴上的截距为k.8.直线MN在x轴上截距的取值范围是- 3,四、走进高考1. (2010辽宁文)x 2 y 2设F , F分别为椭圆C : - + = 1(a b 0)的左、右焦点，过F的直线l与椭圆12a2 b22C相交于A , B两点，直线l的倾斜角为60。，F到直线l的距离为2 43.1(I) 求椭圆C的焦距；(II) 如果= 2Fb，求椭圆C的方程.2 2C ：竺+兰=19.(辽宁卷文20)设F1 , F2分别为椭圆 a2 b2(a b 0)的左右焦点，过匚的直线1与椭圆C相交于A , B两点，直线1的倾斜角为60，F1到直线1的距离为2也。(I) 求椭圆C的焦距；(II) 如果AF2 = 2 F2B，求椭圆C的方程。解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c = 3,故c = 2-所以椭圆C的焦距为4.(II)设 A(x1，y1)，B (x2, y2)，由题意知 y1 0,直线 i 的方程为 y 八3( x -2).y = V3( x 2), x2 y 2 得(3a2 + b2) y2 + 43b2y - 3b4 = 0.+ 丄=1联立I a 2 b 2-3 b 2(2 + 2 a)- 3 b 2(2 2 a)y解得1，y =3 a2 + b223 a2 + b2因为 AF 2 =2 f2 b，所以y, =2 y 2-3b2(2 + 2a)-、；3b2(2 - 2a)=2 -即 3 a2 + b23 a2 + b2得 a = 3.而 a2 - b2=4,所以 b = O)m 2的焦点F在直线l ： x - my -= 0上。2(I) 若m=2，求抛物线C的方程(II) 设直线l与抛物线C交于A、B,AA A F ,2 BB F的重心分别为G,H1求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。解析：本题主要考查抛物线几何性质，直线与 抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时 考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。P(I)解：因为焦点F( 2 ,0)在直线l上，得P = m 2又m=2，故P = 4所以抛物线C的方程为y 2 = 2m2x 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)m2x = my +,0,且有 y1 + y2 = 2m3, y1y2=m4,设Ml, M2分别为线段AA1, BB1的中点,由于2可知G(33),H( 33M C = G F ,2 M H = HF ,1 2x + xm (y + y ) + m2m 4m2+ 丁2 1 2所以6636/ m 4 m22 m2、+ ,所以GH的中点M( 363丿.R 2 丄 I GH设R是以线段GH为直径的圆的半径，则41I2 一 (m2 + 4)( m2 + 1) m29(-m2-,0)设抛物线的标准线与x轴交点N2 ,I MN |2 则m2 )2 m3一 + ()26丿 3=9 m4(m4+8 m2+4) = 9 m4(m2+l)( m2+4)+3m2 9 m2 血+1)( m2+4)=R2.故N在以线段GH为直径的圆外.X 23. (2010广东理)一条双曲线- y2 1的左、右顶点分别为A ,A，点P(x , y ) Q(x , -y ) 2121111是双曲线上不同的两个动点。(1) 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；(2) 若过点H(0, h) (h1)的两条直线l和l与轨迹E都只有一个交点，且l丄l1 2 1 2 ，求h的值。解：由.七島为収曲线的左、右顶点知,百-忑),吗(血,0)呂尸:y - (兀+血),九0： y = ”Q)：两式相乘得+ 72X】寸 2乎一(/-2)而点.鬥在飓曲线上 所以竺-貝=1, = 1X亠 22珂_22故尸1 x2=-(x2 2)+ y2 = 12 ，即2(2)设l1： y = kx + h，则由l1丄12知,将li :x2+ y2 = 1y = kx + h代入2得x22 + (kx + h)2=1，即(1 * 2k2)x2 + 4khx + 2h2 - 2 = 0,由 11 与 E 只有一个交点知，人=16 k2h2 - 4(1 + 2k2)(2 h2 - 2) = 0，即1 + 2k2 = h2。1 11 + 2 - = h2 = k2同理，由12与E只有一个交点知，k2，消去h2得k2，即k2 = 1，从而h2 = 1 + 2 k2 = 3，即 h 八 3 。五、课堂小结六、作业