第二章 矩阵及其运算

章节第2章课题矩阵及其运算计划课时数10授课班级04级计算机系专升本10-13班教 学 目 的理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉 矩阵可逆的充要条件；掌握两种定义、伴随矩阵求逆方法；熟悉 矩阵的分块运算。教 学 重 占 八、矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵；逆矩阵的概念；求逆方法； 分块求逆方法。教 学 难 占 八、矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法教 学 方 法 和 手 段讲授习题课答疑备注教学内容批注第二章矩阵及其运算矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算， 使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有 力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩 阵的理论构成了线性代数的基本内容。本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩 阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。1矩阵1、矩阵的概念(2 x + 3 y = 1(2 x + 3 x = 14x 一 5 y = 04x 一 5x = 0(23)(231)14 -5 丿14 -50 丿定义 由mxn个数a.(i 1,2,m; j 1,2,.n)排成m行n列的 j数表：(aaa)11121naaa21222n(aaa丿m1m 2mn/称为 个mxn矩阵，简记为A- C),其中a.表示位于数 ij mxnj表中第i行第j列的数，称为矩阵A的(i, j)元(或者元素)。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如A,B,C,X等。元素 是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本 书中若无特殊说明， 般是指实矩阵。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。如果矩阵A-C )和B-C )是同型矩阵，且它们的j mxnj mxn对应元素相等，即教学内容批注a = b (i = 1,2,m; j = 1,2,n)(/ (/则称矩阵A与B相等，并记作A = B。2、特殊矩阵(1) 方阵若m = n,则称A = Cz )为n阶矩阵，也叫n阶方阵。在j nxnn阶方阵中，从左上角到右下角的连线称为主对角线，简称对 角线。兀素a , a，,a位于主对角线上。1122nn(2) 行矩阵(行向量)只有一行的矩阵a =(a ,a ,a )叫做行矩阵，又叫做12n 1xn行向量。(3) 列矩阵(列向量)(b )1b只有一列的矩阵0 = .2叫做列矩阵，又叫做列向量。这 1b jn种矩阵以后经常用小写希腊字母如a,卩等表示。(4) 零矩阵元素都为零的矩阵称为零矩阵，mxn零矩阵记作O 或m x nO。注意，不同型的零矩阵是不相同的。(5) 上三角型矩阵(上三角阵)在n阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零(即r = 0,其中i k)，即ik(rrr)11 121n0rrR =222n、000rjnn /教学内容批注称R为上三角形矩阵，简称为上三角阵。同理可定义下三角阵为：(1110 0 11 0R =212：)(这里1 = 0,其中i j 时，a = 0ij nijB = (b ),当 i j 时，b = 0ij nij教学内容批注记 AB 二 C =(),贝 Uij nc 二工a b(l=1,2,n; j = 1,2,n)LJk=1当i J时，有c =工 a b =近a b +工a bijik kJik kjik kjk =1k=1k=i因为当k = 1,2,i-1时，a = 0，当k = i, i +1,n时，由于 ikk i j ,故 b = 0 ,kJ从而当i j时，有c = 0，即C是上三J角矩阵。用类似的方法，可以证明下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵，对角矩阵与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵。例题设A =(aaa )，求A及AE1 23(b b 1 2b J3 y23由此例可见，对于任意mx n矩阵A，有E A = AE = Amn但要注意：当In丰m时，E A = AE无意义。nm2、运算律(AB)C =:A(BC)(2)九(AB)=(XA)B =A(九B)，(其中 X e R)(3) A(B + C) = AB + AC(B + C) A = BA + CA教学内彳容批注如果方阵A与B的乘积满足交换律，即AB 二 BA则称A与B是可交换的。例题求与矩阵A二1 1、可交换的所有矩阵。例题 证明n阶数量矩阵与所有n阶方阵都可交换。证设任一n阶方矩为(C、aa a11 121naa aA =21 222 n、aan1n 2 a /nn /(k00、0k 0又设K = 00 k丿为n阶数量矩阵，则/kakaka )11121nkakakaKA二21222 n=kAka n1kan 2ka丿nn /同样可得AK = kA，从而KA二AK，即两矩阵可交换。特别地，当k = 1时，即K二E，有EA二 AE由于矩阵的乘法满足结合律，故n个方阵A的连乘积，可以不必讨论哪些A先乘哪些A后乘，而有确定的含义，将方阵的幂定义为Ai=A, A o = E。AA = A 2AA - A：二 A 3教学内容批注A A A = AnVN个显然只有方阵的幕才有意义。由以上定义，对于任意自然数K, L,方阵的幂有如下性质：Ak - Al = Ak+iCAK ) = AKL必须强调的是，由于矩阵乘法不满足交换律，故一般地(AB)k 丰 AkBk但若两个矩阵可交换，即AB二BA，则易得(AB )k = (AB)(AB)(AB) = A( BA)( BA)(BA) B =V VKK-1=(A - A A)( B - BB) = AkBk、v、vKK(11、(1 0 / 例题设A =, B =，计算A2, B2，(AB)2及W 1丿I-1 1丿A 2 B 2。(1 2 - 2、例题 设 A =212 ，求 A2， A10, A11。一 2 2 11厶厶丄丿(1、2例题 设 A =，B = (1, 2, 2, 4)，求(AB214丿教学内容批注r i 解BA =(1, 2, 2, 4)2 =25214丿(AB=A(BA)(BA)B = A - 25 - 25 - B =54AB(1224 2 4 48=542 4 484 8 8 16丿例4：证明(cos 甲 一 sin 帕 n ( cos n(p 一 sin n帕(sin Q cos Q 丿(sin ncos n 丿提示：用数学归纳法证明四、矩阵的转置1、定义定义 把m x n矩阵A = C )的行与列互换，得到的n x m矩 ij mxn阵C )称为矩阵A的转置，记作At，即At)，其中ji nxmij nxmb = a , (i = 1,2,m; j = 1,2,.n)。ijji/、丁(12)(103 ) T例如=01r 2 1 -1 丿 丿3 -1丿2、运算律求 个矩阵的转置也可以看作是矩阵的 种运算，它有以下性 质(假设以下运算可行)：教学内容批注(1) Ct=A ；(2) (A + b = At + Bt ；（3）（XA）t 二九 At ；(4) (AB=Bt At ；（证明略）例题设(2 -1 0 A = 6 -1 2), B 二113I4 2 1J求(AB)T , Bt At .若A为n阶方阵，且满足At = A，即a = a (i, j = 1,2,n)，jji则称之为对称矩阵。对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。若At = - A，则称之为反对称矩阵，反对称矩阵的特点是：它的主对角线上的元素全为零。例题试证任意n阶方阵都可以分解为一个对称方阵和一个反对称方阵之和。例题 设列矩阵X = （x ,x ,x ）t满足XtX = 1，E为n阶单12n位阵，H = E -2XXt，证明h是对称阵，且HHt = E。五、方阵的行列式1、定义定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作A或者det A。教学内容批注注意：方阵和行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个 数按一定的方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数(也就 是数表A)按一定的运算法则所确定的一个数。2、运算律(设A,B为n阶方阵，九为常数) AT = |A|(2) |XA| =九n 制(3) AB 二 AB(要讲一下(3)的证明过程。)例题设A , B均为n阶方阵，且AAt二E , BtB二E ,= -1，IBI贝 U A + B 二 0。3、伴随矩阵(1) 定义设A是n阶矩阵A二(a )的行列式|A中元素a的代数ijj nj余子式，则称矩阵(AAA)11 21n1AAA12 22n 2 tAAA1n2 nnn /为矩阵A的伴随矩阵，记作A*。(2) 基本公式AA* = A*A = AE (证明略)(3) 计算教学内容批注(1 2 1 例题 设 A =10 2求A*。-1 3 0 丿(AAA(- 634 )11 2131A*= AAA 二一21-112 2232.A A A ). 3 5 2)V132333 7V丿六、共轭矩阵1、定义当A = (a )为复矩阵式，用a表示a的共轭复数，记A = (a.)j称A为A的共轭矩阵。2、运算律(设A , B为复矩阵，九是复数)(1) A + B = A + B(2) XA = x A(3) Ab = AB3逆矩阵一、逆矩阵1、引入设给定一个线性变换y = a x + a x Hb a x11111221n ny = a x + a x Hb a xv22112222nny = a x + a x Hb a xnn11n 2nnnn教学内容批注x1X2 ,它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记 y1y2 ,X n丿 则线性变换可记作:Y = AX用A的伴随矩阵A *左乘上式两端可得:A*Y = A* AX 即 A*Y = |A|X当A丰0时，可解出X =丄 A*YIAI1记B = A*，上式可记作 X = BY，此式表示一个从Y到X IAI的线性变换，称为原线性变换的逆变换。我们X = BY代入Y = AX得到：Y = ABY = (AB )Y可见，AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E ； 另一方面，把Y = AX代入X = BY得到：X = BAX = (BA) X由此可得到BA = E o于是有AB = BA = E由此引入逆矩阵的定义2、定义设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB = BA = E则称矩阵A是可逆矩阵或者非奇异矩阵，B称为A的逆矩阵。教学内容批注二、逆矩阵是唯的证明：假设B和C都是A的逆矩阵，则有：B = BE = B( AC)二(BA)C二 EC 二 C所以我们也用A-i来表示逆矩阵，即AA-1 = A-i A = E三、逆矩阵的有关定理定理1 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是|A|丰0。且如果A为可逆矩阵，则有1A-1 A*。IAI证 必要性：若A为可逆矩阵，则有A-1，使得AA-1 = A-i A = E两边求行列式，可知|aa-1 = | a|a-1 = E = 1所以|a|丰0。充分性：若A丰0，由AA* = A*A = AE(1 ) ( 1 )可得A A* = A * A = E。U A丿11A丿1于是矩阵A为可逆矩阵，且A-1二占A*。IAI教学内容批注推论设A , B为n阶矩阵，若AB = E或者BA二E ,则矩阵A , B都可逆，且A-i = B , B-i = A。证 不妨设AB = E，两边求行列式，可得AB = |A|B = E = 1则必有A h0， B丰0，由定理1知A，B都可逆，且B 二 EB 二(A-iA)B 二 A-1(AB)= A-1E 二 A-1A 二 AE 二 A(BB-1)二(AB)B-1 二 EB-1 二 B-1。口此推论说明，要判断矩阵B是否是A的逆矩阵，不必严格按照定义检验AB = BA = E，而只要检验AB = E或者BA二E是否成立即可。运算律：（A可逆）（1）A-1也可逆，此时（A-1L二A ；（2）kA可逆的充分必要条件为数k丰0.此时若k丰0，有(kA)-1 =丄 A -1 ； k/V(3) At 可逆，且(at)1 =(4-1；（4） A、B同阶可逆，则AB可逆，且（ABL = B-1A-1 ；（5）A-1 =|A|t。（证明略）性质（4）还可推广为：若A , A，,A都是n阶可逆矩阵，则A AA也可逆，12k12k且CA A A A )_1 = A-1A-1 A-1A-1。12k-1kkk-121教学内容批注注意1当A丰0时，k为正数，九，卩为整数，有：(1) A 0 = E(2) A-k = (A-i)k(3) A九A卩=A九加(4) (A入)卩=A川2当|A|丰0时，A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵 当A二0时，A为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵 四、逆矩阵的应用例题1求方阵(12 3)A =221的逆矩阵。13 4 3丿(13 -2):A-1 = - 3/2 -3 5/2 1 11 -1丿例题2求矩阵方程AXB = C的解，其中(1 2 3)/、(1 3)(2 1)A = 2 2 1 , B =, C = 2 015 3丿13 4 3丿丿13 1丿(-2 1 )X =10-4 I-10 4丿例题3设教学内容批注( 0 0 0 -2 3 0 0A 二，且 B 二(E + A)-1( E A)0 4 5 00 0 6 0丿/厂厂、E + A求(E + B)-12(1 2 (1 0)例题 4 设 P = 4 , A= 0 2 , AP = PA，求 An。11 4丿10 2丿五、矩阵多项式：1、定义设申(x) = a + ax + a xm为x的m次多项式，A为n阶矩01m阵，记：9 (A) = a E + a A HF a Am，则p (A)称为矩阵 A 的 m01m次多项式。2、性质性质1：同一矩阵A的矩阵多项式之间可以交换，也可以因式 分解(象元多项式样)。性质 2： A = PAP-1 n f (A) = Pf (A)P-1。性质3： A = diag(九,九，,九)n12nf (A) = diag(g (九),g (九)，,g (九)12n4矩阵的分块法一、分块矩阵的定义把个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分成若干小 块，每一小块都叫做矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分 块矩阵。教学内容批注例如，用一条纵线和一条横线可以将下面的矩阵/1011013001000丿分成四块(1011013(E A 1A =记2 12 Oe0012x21 000丿(1 (11其中A二，e012310丿丿也可以用一条横线将它分成两块1011013(AIA =001记113丿、000 J(10 11其中A0 1311 0 0 1丿从上述分法，我们可以看到，对于给定的一个矩阵，可以有很多种不同的分块方法,采用何种分块，完全根据实际需要而定，并充分利用给定矩阵的特点，使问题尽可能简化。如果把分块矩阵的的每-一个子块作为矩阵的一个元素，可以按照矩阵的运算法则建立分块矩阵的运算法则。二、分块矩阵的运算1、分块矩阵的加法同型矩阵，分法相同,子块相加1熨学内容批注设A, B是两个mx n矩阵，将它们用同样的方法分块，设(A AA )11 121r为A =A A21 22 A2 r=(A )j sxr.A A A . s1s 2sr丿mxn(B BB )11 121rB =B B21 22 B2 r=(B)j sxr.B B B其中(A )s 2sr mxn和()是同型矩阵(i = 1,2,s,j = 1,2,t )，ij sxrij sxr则可得分块矩阵的加法和数乘运算分别如下：r a+ BA + B A + B )11 1112 121t1rA+ BA + B A + BA + B 二21 2122 222t2 r、A+ BA + B A + B丿1s1s 2s 2stsr2、分块矩阵的数乘(kA AA、11121rkAkAkA设分块矩阵：XA =21222 r(这里k为.kAkA.kAs1s 2sr 实数)。即数与分块矩阵的数乘运算就是将该数与分块矩阵的每个子阵相乘即可。很容易验证:它们运算的结果和没分块之前原矩阵经加法和数乘运算的结果是相同的，且关于矩阵加法和数乘运算的性质同样适用于分块矩阵的加法和数乘运算。为方便起见，将这两种运算简记为A + B 二+ B)，kA = C A )ijjsxrjsxr教学内容批注3、分块矩阵的乘法设A为m x l矩阵，B为l x n矩阵，由矩阵乘法可得AB为m x n矩阵。现在对矩阵A, B作相同的分块，分块如下：(AAA)1112ItAAAA =21222t.AAA丿s1s 2stf BBB)11121rBBBB =21222r.BBB丿t112tr丿其中A , A，,A的列数分别等于B ,B，,B的行数，i1i 2it1 j2 jj则可求分块矩阵A与B的乘法运算，若记C = AB,则f CCC)11121rCCCC =21222r 1 CCC丿s1s 2sr其中C 二 A B + A B + + A Bji1 1 ji 2 2 jir rj A B( i = 1,2,s; j = 1,2,r )ik kjk =1这与普通矩阵乘法规则在形式上也是一致的。但必须注 意：左矩阵的块始终在乘积的左边，右矩阵的块始终在乘积的 右边，且可以证明，用分块矩阵求得的乘积AB与矩阵不分块 做乘法运算求得的乘积AB是相同的。教学内容批注例题按下列分块计算AB，其中(10:00(-10:10 01:0023:01=.:., B =.:.34:1078:9132-1:01 丿-63:-1512 丿4、分块矩阵的转置(AAA)11121rAAA设A=21222 r.AAA丿s1s 2sr (AtAtAt )1121s1则A的分块转置矩阵为 At=1222s2I AtAtAt 丿1r2 rsr5、分块对角阵若在矩阵A = J )的分块矩阵中，非零子块位于主对角线ij nxn上，而其余子块均为零矩阵，即(A)1AA =2.nxnAJ其中A (i = 1,2,s)分别是r阶方阵( r = n)，那么称A为iiii =1分块对角矩阵或准对角阵。记作A = diag(A ,A，A )。12s教学内容批注设A, B为相同分法的同型准对角阵，即A diag (A , A ,，A )12tB diag (B , B ,，B )12t则(1)A 土 B diag (A 土 B , A 土 B ,，A 土 B )1122tt(2)kA diag (kA , kA ,-1 2kA )t(3)AB diag(A B , A B ,1 1 2 2Am diag :Am , Am ,-1 2 , AB )t tAm )( m为非负整数)t(5)|A| 二IAI若每一子块A(i 1,2,t)可逆，则A-1 diag A-1, A-1,1 2A-Jt例题设A 031，求A -1I。2 1 丿三、两种特殊的分块方法 按行分块和按列分块 m x n矩阵A有m行，称为矩阵A的m个行向量。若第i行记作 a t (a , a，,a )，ii1 i 2in( 、 a T则矩阵A便记为A =1教学内容批注m x n矩阵A有n列，称为矩阵A的n个列向量，若第j列记作a =(a ,a ，a)Tj1 j2 jmj则A = (a ,a ,a )12n对于矩阵A = (a ) 与矩阵ij mxsB = (b) 的乘积矩阵ij sxnAB 二 C 二(c )，若把A按行分成m块，把B按列分成n块 ij mxn便有：( 、a TfT1a Tba TbAB =a T2(b ,b，b )=1 11n=(c )2:12nij mxn.a Tba Tb丿1a T Jmm1(b 1 j b2 jmny其中c = a Tb = (a , a ,-，a )= abijiji1i 2is:ikkjk=1bJ sj丿例题设ATA =0，证明A = 0四、线性方程组的相关概念1、系数矩阵A2、未知数向量x3、常数项向量b4、增广矩阵B二(A:b)或者B二；(A，b)5、解向量Ax = b6、克拉姆法则的证明