频率与机会新题型解题新思路

频率与机会新题型解题新思路安徽 李庆社 题型一：机会大小的比较典例 1 下列说法：（1）在标有1 至 100 号的 100 个球中每次随机地摸一个，摸到 1 的机会是 1%；（2）小明在做摸球的实验中，第一次摸到的是一个奇数号，小明说下次肯定还是摸奇数 号；（3）在掷一个四面分别标有1、2、3、4 的四面体的骰子游戏中，小红共掷1000 次，发 现掷出2的次数是248次，小红说掷这个骰子出现数字2的机会是25%；（4）在掷硬币时，小红第一次掷出正面朝上，小刚说产，缎釦第二次一定是反正朝上，因为现出正面朝上的频率是50%.其中正确的个数是（）111（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个【研析】（1）与（3）正确，故选B.【方法探究】问题（1）中，在标有1 至100号的 100个球中每次随机地摸一个，每个球 被摸出的机会相等；掷一个四面分别标有1、2、3、4的四面体的骰子，每个面向上的机会是 相等的；掷一枚硬币，出现正面向上或反面向上的机会是均等的，机会各占50%.【体验】1：学生小华从一个装有6个小球（分别记为 1 号球（红）、2 号球（红）、3 号 球（红）、4 号球（白）、5 号球（白）、6 号球（黄）， 6个球的形状和大小完全一样）的盒子 中任意摸出一球.（1）你认为小华摸出的球可能是什么颜色？（2）摸到每种颜色的球的可能性是一样的吗？摸到哪种颜色的球的机会最小？ 题型二：用模拟实验的方法求事件的机会典例 2 学校有一个“三好学生干部”到海边游览的名额，李亦恒与陈子悦两位同学都 是合适的人选，派谁去哟？老师感到为难，请你想一个既能解决问题，又能让不去者无意见 的办法.【研析】两位同学都是合适的人选，这说明其他的条件两人相同，谁去谁不去，不应由 人为因素决定，而应让“机会”来决定.因此应设计一个机会均等的游戏来作取舍.可以用猜奇偶的办法决定谁去谁不去.老师在纸上随机地写一个正整数，封存后，再让 这两位同学中的任一人猜：这个数是奇数还是偶数.说对则这个同学去，说错则另一个同学 去.【交流研讨】机会是现实生活中事件出现的可能性，我们既可以利用它解决生活中的一 些实际问题，也可以利用“机会”出现的规律揭穿某些骗子的骗术，从而提高我们认识问题 的科学性.【体验】2：如图所示的转盘是一个正六边形的盘，其中心与一边的两 个顶点三点组成的一个等边三角形被涂上桔黄色，正六边形的中心有一可随 意转动的指针，现随机地转动指针，请回答：（ 1）李华说，指针不是指向桔黄色区域，就是指向白色区域，所以它指 向白色区域的机会是50%，你同意他的说法吗？为什么？（2）小红和小华两个只有一张电影票，他们要通过摇这个转盘来作决定， 你认为他们两人去看电影的机会均等吗？为什么？题型三：学科内综合题典例3 下面是一位同学在“抛硬币”游戏中获得的数据，他将这些数据填入统计表，如表：抛掷次数10152025出现正面的频 数4789出现正面的频 率40%46.7%40%36%由此他得出结论：出现正面的频率是 40%，你认为该同学的判断正确吗？【研析】本题中的实验次数较少，所得的频率具有偶然性，不能用这个数据去估计正面 朝上的频率.应该多做一些实验，并把实验得到的数据绘制成折线统计图，待事件出现的频率 逐渐稳定到某一个数值，我们可以用平稳时的频率去估计这一事件在每次抛掷时发生的可能 性的大小.【观察思考】当实验的次数不够大时，所得结果出现的误差较大.实验的次数多少可以具 体问题具体对待，应以频率逐渐稳定，即出现稳定值时的频数为宜.【体验】3：王丽同学反复抛掷同一枚图钉100次，发现其中有 36 次图钉的钉尖朝上，64 次图钉的钉尖触地，王丽认为由于实验的次数足够多，所以抛掷这枚图钉时，钉尖触地的 机会是 36%，你认为王丽的判断正确吗？简单说明你的理由.题型四：阅读理解题典例 4 阅读下面的内容，并回答问题： 下面是两位同学对抛掷骰子问题的不同看法： 甲同学说：抛一枚质量分布均匀的骰子，出现“数字之积为奇数”与“数字之积为偶数” 的可能性无法预测，全凭运气，没有什么规律可寻乙同学说：抛一枚质量分布均匀的骰子，出现“数字之积为奇数”与“数字之积为偶数” 的机会均等，因此，若抛 1000 次的话，一定会有 500 次“出现数字之积为奇数”，有 500 次“出现数字之积为偶数”回答问题：(1) 甲的说法;(填“对”或“不对”)理由是9(2) 乙的说法；(填“对”或“不对”)理由是【研析】(1)不对，虽然在每次抛掷中出现“数字之积为奇数”或“数字之积为偶数” 无法预测，但是随着抛掷次数的增多，“出现数字之积为奇数”的频率逐渐稳定于四分之一， “出现数字之积为偶数”的频率逐渐稳定于四分之三，是有规律可循的(2)不对，虽然在抛掷一枚质量分布均匀的骰子时，“出现数字之积为奇数”和“出现 数字之积为偶数”的频率逐渐稳定，但“出现数字之积为奇数”的频率稳定于四分之一，“出 现数字之积为偶数”的频率稳定于四分之三，而不是机会均等，同时，频率不等同于机会， 即使是多次抛掷以后，频率也可能只是与机会值十分接近，但并不一定相等【误区警示】在多次重复实验中，常以频率逐渐稳定的值近似地作为机会的大小.但此数 据为一估计值，在我们对一事件作出决策时要从多个方面考察.【体验】4：王丽和张颖是同桌，她们想通过实验的方法来估计一种图钉被抛起后钉尖触地的机会有多大？为了节省时间，她们找到两种不同规格的图钉，各抛了 100 次，并记录下 结果，她们认为一共做了 200 次实验，这样得到的估计值已非常接近于机会的真实值了，于 是她们把这两组数据一起进行了统计.你认为她们这种做法有问题吗？题型五：实验操作题典例 5 （1）抛掷一枚硬币，分别统计出正面朝上和反面朝上的频数。（2）两人合作，进行两组实验，每组40 次，共 80 次实验，记录每一次实验结果.（1）从装有8 个红球，2 个白球的盒子中，摸出一球，分别统计出摸出红球和白球的频数。 【研析】实验结果统计如下：实验次数40404040出现正面 的频数15271130出现反面 的频数25132910出现正面 的频率37.50%67.50%27.50%75.00%出现反面 的频率62.50%32.50%72.50%25.00%实验次数40404040摸出红球 的频数38223620摸出白球 的频数218420摸出红球 的频率95.00%55.00%90.00%50.00%摸出白球 的频率5.00%45.00%10.00%50.00%全班汇总表实验次 数4080120160出现正 面的频 数15425383出现反 面的频 数25386777出现正 面的频 率37.50%52.50%44.17%51.88%出现反 面的频 率62.50%47.50%55.83%48.13%全班汇总表实验次数4080120160摸出红球 的频数386096116摸出白球 的频数2202444摸出红球 的频率95.00%75.00%80.00%72.50%摸出白球 的频率5.00%25.00%20.00%27.50%160次实验出现正面（摸出红球）的频率折 线统计图100.00% 率频 50.00%0.00%050100150200实验次数系列1表示抛掷一枚硬币实验中出现正面的频率折线 系列2表示摸球实验中摸出红球的频率折线【方法探究】运用统计表列出“出现正面”和“摸出红球”的频数，绘制频率折线统计 图.两个实验的统计同时进行，频率折线画在一个统计图中，便于比较，发现规律.利用折线 统计图探索规律，体现了数形结合的数学思想方法，培养观察、分析能力通过实验的方法， 来发现其出现的规律，随着实验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件出现的频率逐渐稳 定到某一个值，我们可以用平稳的频率去估计事件发生机会的大小.【体验】5：如图所示的转盘，王生同学认为转盘上只有两种颜色，指针不是停在白色上就是停在黑色上，所以指针落在黑蓝色上的频率是 50%， 落在白红色上的频率也是 50%，你认为王生同学的判断正确吗？题型六：开放探究题 典例 6 探究下列问题（1）有一个可以自动转动的转盘，转盘上均匀排列着19九个数，游戏规则是: 转动转盘，将转出的数填入两个方格的任意一个; 继续转动转盘，再将转出的数填入剩下的方格中，得到一个两位数; 比较得到的两位数，谁大谁就赢.甲与乙转动转盘，第一次转出 7，甲把“7”填入个位，乙把“7”填入十位，把第二次转出的数字填入剩下的方格中后，甲的两位数为m，乙的两位数为n谁赢的机会大？为什么？2）假如小猫在地上自由走动，随意停留在某块方砖上; 它最终停留在黑色方砖上的机会是多少？ 有同学认为的结果与下面的事件发生的机会相同：“密封袋中装有11个黑球5个白 球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出 1 个球是白球的机会是多少？”你同意吗？请简 述理由.【研析】（1）乙赢的机会大，因为比7大的数只有2种，而比7小的数有6种，所以“7” 放在“十”位胜的机会多.（2）机会均等.【领悟整合】学生体会动手实践、自主探索和合作交流的获取数学知识的重要方法; 进一步领会“在相同实验条件下，随着实验次数的增大，随机事件发生的频率逐渐趋于稳 定”的规律;体会数学来源于生活又反作用于生活.【体验】6：下面第一排表示各立方体盒子里黑白棋的情况，请用第二排的语言来描述摸 到白棋的机会，并用线连起来.2）3）4）5）（1） 题型七 典例7 会比较大？奇思妙想题我们已经玩过圆形转盘，那么转动下面哪一个转盘，指针停留在黑色区域的机【研析】我们用剪刀把这三个转盘都修剪成圆，图略.就能发现它们的指针停留在黑色区 域的机会是相同的.【品思感悟】由于受圆形转盘实验的启发，将非圆形转盘转化为圆形转盘，化“陌生” 为“熟悉”、化难为易，这种思考体现从特殊中发现一般，闪耀着理性思考的光辉，这是数 学学习值得倡导的一种创新思维.【体验】7：200 名青工，250 名大学生，300 名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一 个青年谈话，这个青年是大学生的机会是多大？题型八：中考思维探究典例 8 某中学七年级有 6 个班，要从中选出 2 个班代表学校参加某项活动，七（1） 班必须参加，另外再从七（2）至七（6）班选出1 个班七（4）班有学生建议用如下的方法 从装有编号为1、2、3的三个白球A袋中摸出1个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球B 袋中摸出 1 个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几， 就选几班，你人为这种方法公平吗？请说明理由【研析】方法不公平.1(1， 1) (2)(1，2) (3)(1， 3) (4)2(2， 1) (3)(2， 2) (4)(2， 3) (5)3(3， 1) (4)(3， 2) (5)(3， 3) (6)12所以，七（2）班被选中的机会为1，七（3）班被选中的机会为-，七（4）班被选中的993 121机会为3 1，七（5）班被选中的机会为2，七（6）班被选中的机会为1,9 399所以，这种方法不公平.【中考导向】机会是新课标出现的一类新题型，它的命题形式既有客观题也有主观题 ， 分值一般在 5 分-8 分，主要考察学生对机会的了解与掌握.本题不公平的两种说理都较为透 彻，从树状图看，两次摸球共有 9种等可能的结果，而每个班出现的结果是不等的，七（2） 两次摸球有一种可能的结果，七（3）两次摸球有两种可能的结果，七（ 4）两次摸球有三种 可能的结果，七（5）两次摸球有两种可能的结果，七（ 6）两次摸球有一种可能的结果，故 他们的机会是不等的.由此可见，通过实验的方法估计机会的大小，必须要求实验在相同的条 件下进行【体验】8： 在 100 张奖卷中，有 4 张中奖，小红从中任抽 1 张，他中奖的机会是）(A) 11(B)1(C)1(D)42025100体验答案1、（1）摸出的球可能颜色有：白、红、黄；（2）摸到每种颜色的球的可能性是不一样， 摸到黄颜色的球的机会最小.2、（ 1）指针指向白色区域的机会是 5/6；（ 2）不同意，指针指向桔黄色区域和指向白 色区域的机会不均等.3、王丽同学的判断不正确.在相同的条件下，大量反复进行同一种实验，当事件发生的 频率稳定时，可以用这个频率的稳定值近似地估计事件发生的大小，由于 100 次实验所得到 的频率是一个固定值，不能反映频率变化的趋势，因此这个频率不能作为估计事件发生机会 大小的依据.产生这种错误的原因是没有正确理解“频率的稳定值”与“频率的一个值”的关 系，前者是指由群体归纳出的一个值，后者仅指一个个体.4、她们的做法显然有问题，王丽和张颖是用两种不同规格的图钉做的实验，不同种类图 钉的钉尖触地机会是不一样的，而她们把这两组不相干的数据一起进行了统计，得到的结论 是不真实的，所以通过实验的方法，用频率去估计机会的大小，必须要求实验是在相同的条 件下进行的；不在相同条件下得到的数据，不能混合在一起进行数据的统计，否则就会出错.5、这显然是一个想当然的结论，我们可以通过实验来否定这一说法，事实上指针落在蓝 色上机会是 25%，而落在红色上机会是 75%，所以没有经历实验的过程，想当然地作出判断， 所得结果缺乏说服力，甚至就是错误的.6、（ 1）E，（ 2）BCDE,（3）-BCDE,（4）A,（5）A.7、1/3 ；提示：250/750=1/38、解： 100 张奖卷即有 100 种等可能的结果，事件发生的可能的结果有 4种，故中奖 的机会为 1/25.