平行四边形有答案

学员编号： 年 级：初二 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型T平行四边形 C典型例题 T巩固练习 授课日期及时段 教学内容平行四边形的性质：边：两组对边分别平行 两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：平行四边形的对角线互相平分。平行四边行的判别方法？1、两组对边分别平行的四边行是平行四边形。2、对角线互相平分的四边形是平行四边形。3、一组对边平行且相等的四边性是平行四边形。考点一:平行四边形性质的基本应用1.从边、角、对角线方向把握平行四边形的性质：边：对边平行，对边相等角：对角相等，邻角互补对角线:对角线互相平分2. 面积与周长1.平行四边形的面积 S =ah 2.平行四边形周长 c=2(a+b) 3. 平行四边形中常用辅助线的添法（1）连结对角线或平移对角线。 （2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 （3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。 （4）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。4. 平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行(3)先识别个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题例1: 在ABCD中，A：B：C：D的值可以是（）A、1：2：3：4 B、1：2：1：2 C、1：1：2：2 D、1：2：2：1例2：平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（）A、8和14 B、10和14 C、18和20 D、10和34例3：下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）A、 B、C、 D、考点2、平行四边形的判定应用1.判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .2.三角形的中位线定理： 。3.两条平行线间的距离：平行线间的距离处处相等；平行线间的平行线段相等。例1：已知如图：在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，点E、F分别在BC和AD边上，AFCE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。例2：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F（1）求证：BE DF；（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由例3：如图，以ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边ABP、等边ACQ，等边BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。考点三：平行四边形性质与判定在实际问题中的应用例1：如图，四边形ABCD是一块某地示意图，EFG是流经这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由例1：如图1，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F. 求证：BAE =DCF.（图1）CABDEF证明：四边形ABCD是平行四边形，ABE =CDF，AB= CD.又AEBD，CFBD，AEB =CFD = 90，ABECDF. BAE =DCF.OABCDEF（图2）例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F.求证：BE = CF. 证明：四边形ABCD是矩形，OB = OC.又BEAC，CFBD，BEO =CFO = 90.BOE =COF.BOECOF. BE = CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.ABCD图3EF例3已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：BEC =CFB.证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD，BE = CF. BC = CB，BECCBF. BEC =CFB.例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.ADBCEF(图6)MN（1）求证：ABECDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB = CD，A =C.AE = CF，ABECDF.（2）解析： 四边形MFNE是平行四边形.ABECDF，AEB =CFD，BE = DF.又M、N分别是BE、DF的中点，ME = FN.四边形ABCD是平行四边形，AEB =FBE.CFD =FBE. EBDF，即MEFN.四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.图7ABCDEFO例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC. EAC =FCA.EF是AC的垂直平分线，OA = OC，EOA =FOC，EA = EC.EOAFOC . AE = CE.四边形AFCE是平行四边形.又EA = EC，四边形AFCE是菱形.例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果 ，则DECBFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.图8BCDAEF解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.（1）AE=CF；OE = OF；DEAC，BFAC；DEBF等.（2）证明：四边形ABCD是矩形，AB = CD，AB CD. DCE =BAF.AE=CF，ACAE = ACCF，即AF = CE.DECBFA.例7如图10，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；ABCD图10EGOF（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.解析：（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又BC = CB，AB = DC，ABCDCB. ACB =DBC.又EGAC，ACB =GEB.DBC=GEB. EG = BG.EGOC，EFOG，四边形EGOF是平行四边形.OE = OF，EF = OG.四边形EGOF的周长 = 2（OGGE）= 2（OGGB）= 2OB.（2）如图11，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.求证：四边形EFOG的周长等于2OB注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？备用图（1）备用图（2）图13例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形ABFE = S四边形EFCD =.方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE =（ab），连结AE. 则SABE = S四边形AECD =.方案三：如图14（3），连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的一半.分析此方案可知，AE = EC，SAEB= SEBC，SAED= SECD.SAEBSAED= SEBCSECD = S四边形ABCD.（3）ABCDE（1）ABCDEF（2）ABCDE图14图15例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）解析：拼法有多种，现列举四例：1、 在ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DEBF。求证：四边形AFCE是平行四边形。2、如图，已知E，F分别是ABCD的边AD，BC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF3、如图，已知四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BCFE是平行四边形4、如图，已知ABCD，分别延长BC，DA至点E，F，如果E=F.求证：四边形FBED是平行四边形5、如图，已知ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且DE=BF.求证：四边形AECF是平行四边形6、已知如图，E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点，连结BE、DF.求证：1=2. 7、如图，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F，G，H分别是OB，OC，OD，OA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形 8、已知：如图，在平行四边形中，分别是，上的两点，且求证：与互相平分DCA BEF 9、已知：如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且求证：四边形是平行四边形10、已知：如图，在平行四边形中，分别是，上的两点，且，相交于点，相交于点求证：四边形是平行四边形（要求不用三角形全等来证）NMBACDEF 11、如图所示，ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH.求证：EF、GH互相平分。一填空题（每小题3分，共30分）1平行四边形ABCD中，A=500，AB=30cm，则B=_，DC=_ cm。2平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若BOC的周长比AOB的周长大2cm，则CD cm。3若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为12，则该菱形的面积为 cm2。4 如图2，ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm；5若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。6如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为 cm2。7在ABCD 中，若添加一个条件_，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件_，则四边形ABCD是菱形8菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_ cm，面积为_ cm29在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=6cm，BC=8cm，B=60，则AB=_cm10梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是 。二单选题（每小题3分，共30分）11菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补12关于四边形ABCD 两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）。 （A） 1个（B）2个（C）3个（D）4个13能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）。（A） 对角线相等且互相平分 （B）对角线互相垂直且互相平分（C）对角线相等且互相垂直 （D）对角线互相垂直14矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线平分对角15三角形的重心是三角形三条（ ）的交点A中线 B高 C角平分线垂直平分线16若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必定是（ ） A、菱形 B、对角线相互垂直的四边形 C、正方形 D、对角线相等的四边形17下列命题中，真命题是（ ）A、有两边相等的平行四边形是菱形 B、有一个角是直角的四边形是矩形C、四个角相等的菱形是正方形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形18如右图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，C=60，BD平分ABC如果这个梯形的周长为30，则AB的长（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）719.下列说法中，不正确的是（ ） （A）有三个角是直角的四边形是矩形;（B）对角线相等的四边形是矩形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形;（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形20如图，矩形ABCD中，DEAC于E，且ADE：EDC=3：2，则BDE的度数为 （ ） A、36o B、9o C、27o D、18o 三解答题:（21、22每小题5分，23、24、25每小题6分共28分）21如图：已知在ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求证：DE+DF=AC22. 已知：如图， ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形23如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为1：2，周长是48cm求：第2题图（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积24如图，梯形ABCD中，ADBC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。25.已知：梯形ABCD中，ABCD，E为DA的中点，且BC=DC+AB。求证：BEEC。四综合题：（12分）26.如图，梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1） 设从出发起运动了x秒，且x2.5时，Q点的坐标；（2） 当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？（3） 四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由。OyC(4,3)QB(14,3)A(14,0)xP（4） 设四边形OPQC的面积为y,求出当 x2.5时y与x的函数关系式；并求出y的最大值；、130，30 2、4 3、8 4、4，6 5、16 6、30 7、略 8、5，24 9、2 10、1m7 二11-15 BCBBA，16-20 BCCBD 三略 四 (1)（2x-1,3） (2) x=5 (3) 不能， （4） y= 当x=7.5时，y有最大值15