专题五 第1讲 空间几何体

专题五 立体几何第 1讲 空间几何体主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题问题.考情解读主干知识梳理1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系体、直平行六面体、长方体之间的关系2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)三视图的正三视图的正(主主)视图、侧视图、侧(左左)视图、俯视图分别是从物视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形形成的平面图形.(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样样，宽度与俯视图一样.(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高侧一样高.看不到的线画虚线看不到的线画虚线.3.直观图的斜二测画法直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：(1)原图形中原图形中x轴、轴、y轴、轴、z轴两两垂直，直观图中，轴两两垂直，直观图中，x轴、轴、y轴的夹角为轴的夹角为45(或或135)，z轴与轴与x轴和轴和y轴所在轴所在平面垂直平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴坐标轴.平行于平行于x轴和轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.空间几何体的两组常用公式空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧柱侧ch(c为底面周长，为底面周长，h为高为高)；S锥侧锥侧 ch(c为底面周长，为底面周长，h为斜高为斜高)；S台侧台侧 (cc)h(c，c分别为上，下底面的分别为上，下底面的周长，周长，h为斜高为斜高)；S球表球表4R2(R为球的半径为球的半径).热点一 三视图与直观图 热点二 几何体的表面积与体积 热点三 多面体与球热点分类突破例1某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为体积为()热点一 三视图与直观图思维启迪 根据三视图根据三视图确定几何体的确定几何体的直观图；直观图；解析由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积则该几何体的体积V 2248.答案B(2)(2013四川四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是何体的直观图可以是()思维启迪 分析几何体的特征，从俯视图突破分析几何体的特征，从俯视图突破.解析由俯视图易知答案为由俯视图易知答案为D.D空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果体的形状，即可得到结果.思维升华变式训练1(1)(2013课标全国课标全国)一个四面体的顶点在空间直一个四面体的顶点在空间直角坐标系角坐标系Oxyz中的坐标分别是中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，画该四面体三视图中的正视图时，以以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析根据已知条件作出图形：四面体根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图标出各个点的坐标如图(1)所示，所示，可以看出正视图为正方形，如图可以看出正视图为正方形，如图(2)所示所示.故选故选A.答案A(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为()解析如图所示，点如图所示，点D1的投影的投影为为C1，点，点D的投影为的投影为C，点，点A的的投影为投影为B，故选，故选D.D例2(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为积为()热点二 几何体的表面积与体积思维启迪 由三视图确定几由三视图确定几何体形状；何体形状；解析由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，组合，答案D(2)如图，在棱长为如图，在棱长为6的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别在分别在C1D1与与C1B1上，且上，且C1E4，C1F3，连接，连接EF，FB，DE，则几何体，则几何体EFC1DBC的体的体积为积为()A.66 B.68C.70 D.72思维启迪 对几何体进行对几何体进行分割分割.解析如图，连接如图，连接DF，DC1，那么几何体那么几何体EFC1DBC被分割成三棱被分割成三棱锥锥DEFC1及四棱锥及四棱锥DCBFC1，故所求几何体故所求几何体EFC1DBC的体积为的体积为66.答案A(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的视图的“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用求不规则几何体的体积，常用“割补割补”的的思想思想.思维升华变式训练2 多面体多面体MNABCD的底面的底面ABCD为矩形，其正视图和为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是三角形，则该多面体的体积是()解析过过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1 222，高为，高为2，所以体积为，所以体积为V14，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V12 212 ，答案D例3如图所示，平面四边形如图所示，平面四边形ABCD中，中，ABADCD1，BD ，BDCD，将其沿对角线，将其沿对角线BD折成四面体折成四面体ABCD，使平面，使平面ABD平面平面BCD，若四面体，若四面体ABCD的顶的顶点在同一个球面上，则该球的体积为点在同一个球面上，则该球的体积为()热点三 多面体与球思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到的距离等于这个点到B，C，D的距离的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可.解析如图，取如图，取BD的中点的中点E，BC的的中点中点O，连接，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知由题意，知ABAD，所以，所以AEBD.由于平面由于平面ABD平面平面BCD，AEBD，所以所以AE平面平面BCD.答案A多面体与球接、切问题求解策略多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点一般为接、切点)或或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径心的位置，弄清球的半径(直径直径)与该几何体已知与该几何体已知量的关系，列方程量的关系，列方程(组组)求解求解.思维升华(2)若球面上四点若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素，一般把有关元素“补形补形”成为一个球成为一个球内接长方体，则内接长方体，则4R2a2b2c2求解求解.思维升华变式训练3(1)(2014湖南湖南)一块石材表示的几何一块石材表示的几何体的三视图如图所示体的三视图如图所示.将该石材切削、将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于球的半径等于()A.1 B.2C.3 D.4解析由三视图可知该几何体是一个直由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示三棱柱，如图所示.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，径最大，故其半径故其半径r (6810)2.因此选因此选B.答案B(2)一个几何体的三视图如图所示，其一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为中正视图和侧视图是腰长为1的两个全的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是积是_；若该几何体的所有顶点；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是在同一球面上，则球的表面积是_.解析由三视图可知，该几何体是四棱锥由三视图可知，该几何体是四棱锥PABCD(如图如图)，其中底面其中底面ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，PA底面底面ABCD，且，且PA1，则球的表面积为则球的表面积为S4R23.1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露暴露”在外在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积侧面积还是表面积还是表面积”.”.多面体的表面积就是其所有面的面多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和积和底面面积之和.本讲规律总结2.在体积计算中都离不开空间几何体的在体积计算中都离不开空间几何体的“高高”这个几这个几何量何量(球除外球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的在计算这个几何量时要注意多面体中的“特特征图征图”和旋转体中的轴截面和旋转体中的轴截面.3.一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形用对称的方法进行补形)、还原补形、还原补形(即还台为锥即还台为锥)和联系和联系补形补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解何体，作为这个规则几何体的一部分来求解).真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014北京北京)在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，已知中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，).若若S1，S2，S3分别是三棱锥分别是三棱锥DABC在在xOy，yOz，zOx坐标平坐标平面上的正投影图形的面积，则面上的正投影图形的面积，则()A.S1S2S3 B.S2S1且且S2S3C.S3S1且且S3S2 D.S3S2且且S3S112真题感悟解析如图所示，如图所示，ABC为三棱锥在坐标为三棱锥在坐标平面平面xOy上的正投影，上的正投影，所以所以S1 222.三棱锥在坐标平面三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与上的正投影与DEF(E，F分别分别为为OA，BC的中点的中点)全等，全等，12真题感悟三棱锥在坐标平面三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与上的正投影与DGH(G，H分别分别为为AB，OC的中点的中点)全等，全等，所以所以S2S3且且S1S3.故选故选D.答案D真题感悟21真题感悟21由圆柱的侧面积相等，得由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，押题精练121.把边长为把边长为 的正方形的正方形ABCD沿对角线沿对角线BD折起，连接折起，连接AC，得到三棱锥得到三棱锥CABD，其正视图、俯视图均为全等的等，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形腰直角三角形(如图所示如图所示)，则其侧视图的面积为，则其侧视图的面积为()押题精练12解析在三棱锥在三棱锥CABD中，中，C在平面在平面ABD上的投影为上的投影为BD的中点的中点O，正方形边长为正方形边长为 ，AOOC1，答案B押题精练12押题精练12解析如图，以如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱为棱把该三棱锥扩充成长方体，锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.押题精练12答案A