第五节 角动量角动量守恒定理

第五章 角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多 同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建 议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、 平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒 和角动量守恒一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条 件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题 中的应用。基本要求1. 理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。2. 理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。3. 理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。4. 掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。5. 理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理 熟练进行有关计算。6. 掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。内容提要1. 基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。 定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距 离平方之积的总和。即：f丨异却I线密度Qf =二叫扌 或 J=|异dm专 2翻 |面密度criJ r2V i体密度0I 的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动 运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1 对质点、质点系、定 轴刚体的角动量进行了比较。表 5.1 质点、质点系和定轴刚体的角动量研究对象质点质点系圭轴刚体L = fy.p质克对蔘考点的位矢质克动量的矢积口=+工厉十.沖用-J质克系内所有质克对同一蔘考克的 角动量的矢量和-L=匸匕=加定轴转动刖体站转轴 的转动愼量与其角速 度药乘积。物理意义墙谜质克绕蔘考点缺转倾 向的强弱-轨道角动莹】描述质点系螫休绕蔘考 点的旋转运动。f航道=焉xmve_ 自旋角动量、箱谜质点系内各质点对 质心的旋转运动a4* =心馬*畑i焉t.J描述刖体绕定轴转动 的运动量-性质狀志量矢量：垂直于位矢与动量所 确定的平面，莫捋向由右手 定则縮定-状志量矢量：揣向轨道鹵动董与自魏鹵动量 的矢蚩和的方向-狀志量代数量：在轴上选定正 方向，角速度与其同向 时，角动量为正，良辽.为负-力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：皿=诃池“丹丄（力X力臂）方向：垂直于人方决定的平面，其指向 由右手定则确定。对于力矩的概念应该注意明确以下问题：区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任 意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反 作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。 当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即： ，。由于一般情况下，各外力的作用点的位矢各不相同，所以不能先求合力 ，再求合力的力矩。但是存 在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C,先求出其合 力弓佶，再由 X5得到重力的合力矩。由此还可以得到：作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零（图5.2）；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零（图 5.3）。明确有心力对其力心的力矩恒为零：力的作用线始终通过某定点的力称为有心 力。该定点称为力心。显然，有心力对其力心的力臂为零。所以，有心力对其力 心的力矩恒为零。力矩的角冲量（冲量矩）：见表 5.2表 5.2 力矩的角冲量物理意殳作用效果性质描述力姬灯时间改更质克或质克系的角动量矢量的积累效血口rfi -过程量 一 :.Mdf = AI对质点：| Mdf = AI ；对质点系：彳寸1：必此0注懣内力姬的角冲量不能改变质克系的总角动董，只能帑响篡角动量在质克系内的分配a2. 基本规律角动量定理：质点和质点系角动量定理的微分、积分形式如表5.3 所示 请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式而已表 5.3 质点和质点系的角动量定理质点.质点东.定轴刖怀（转动定律）徽分形式M =手，Mdf = dl必井=普；M=dLM=杼=J卅=耶积分形式(Mdf = if|? M.dt= if1df = KLS = J Atu物理意义质点所黄的瞥力羅等于质 点窟动量的时间变化率- 质点所黄的替力羅的商冲 量等于质克角动量的増 量.质克系所黄的合外力羅等于质 克系总窟动量的时间变化率- 质克系所黄的合外力羅的角冲 量等于质克系总角动董的博量-丈羅的瞬叶作用效果是产生 窟加速度刖休定轴转动的角加速度与 刖体所受的对该轴的瞥外丈1 矩成正比，与刖休对该轴的转 动惯量成良比a与平动问题中牛顿第二定津 地位相当口注意是矢量式-选择菜个固定点曲荟考点，式中的力矩和角动量均对该蔘考 点计算。舍尢矩是与角动量的更化相联系，而不是直接与角动量本身 相联系。所以，在一般情况下，瞥力驱的方向与商动量的方 向笄不相同是标量式-式中的力羅、囁动量、转动惯 量、角速度角加速度均血对 同轴而言口角动量守恒定律：当质点系所受对某参考点（轴）的合外力矩为零时，质 点系对该参考点（轴）的总角动量不随时间变化（表 5.4）。角动量守恒定律反 映了空间的旋转对称性（见第7 章），是自然界普遍适用的基本定律之一，在生 活、技术及科学研究中有非常广泛的应用。表 5.4 角动量守恒定律研究对象条件结论质克系对某蔘考点：=0对黴参考点：工=隹矢量定轴刖体对某定轴：叫井嘟=0财该定轴：Ls =恒萤重点与难点1. 重点质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。刚体定轴转动定律及应用。质点和质点系角动量定理及应用。角动量守恒定律及应用2. 难点 区别动量定理和角动量定理。 区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。 动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关1. 动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？ 质点动量EE，角动量E十榊，由于v和r都是相对量，与参考系的 选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。2. 区别动量定理与角动量定理动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积 - 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系 所受的外力矩的矢量和的时间累积 - 角冲量相对应。两者是不同的概念。例如： 有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生 变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。3. 动量和角动量守恒的条件 质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的 动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点 或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区别两个 守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系 统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所 受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守 恒。（参看教材P.91【例2】）。对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因 此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此， 内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。例1 水分子的形状如图5-2 所示。从光谱分析得知水分子对AA 轴的转动惯量是4=1刃冥lCiWkg.rn，对BB轴的转动惯量是诙。试由此数据和各原子的质量求出 氢和氧原子间的距离d和夹角，。假设各原子都可当质点处理。解：由图可得此二式相加，可得+崩=9.59xl0-11m 93 + 1 14)x102X1-67X10-27$= 2 arctanS = 104054曲=2 arctan. J f * tail 亠一 上二式相比，可得例2 一质量m = 2200kg的汽车以v = 60km h-1的速度沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路 d = 50m 的一点的角动量是多 大？对公路上任一点的角动量又是多大？解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d = 50m的一点P1的角动量的大小 为汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为例3两个质量均为m的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联， 构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度 少转 动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为 久 求质点组对O点的角动量大小及方 向。解：设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同 （与 OA 和 mv 组成的平面垂直）。角动量的大小为图5-5L=2r= 2rmv = 2ma(a sin 的 tv= 2ma2 tsin 疔例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮I和II,半 径分别为RR2。对各自转轴的转动惯量分别为 JJ2。I轮转动的角速度为临，11轮不转动。 移动II轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行，由 于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定后，两轮 的角速度各为多少？ 辨析： 首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。解：轮I、轮II接触时，轮I受到重力m1g，轴给轮的力斤，以及摩擦力fl， 轮II施加的正压力N1；轴II受到重力m2g,轴给轮的力T，以及摩擦力f、轮 I施加的正压力N2，以及外加力F。f和f大小相等、方向相反，对轮I和轮II 组成的系统来说，f和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。 轮I、轮II系统受到的外力T、T2、m1g和m2g,它们对O轴或者O2轴的合外 力矩皆不为零，这个系统对O或者02的角动量都不守恒。所以应对轮I、轮II l2分别运用角动量定理。对I轮，设顺时针转动为正向对II轮，设逆时针转动为正负联立（1）、（2 ）两式可得转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即4）联立（3）、（4）解得视唱片为刚体，据转动定律例 5 唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m唱片与转盘 之间摩擦系数为，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩M和唱片由放上去到具 f有角速度呦所需的时间t。1解： 唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是 唱片的动力矩。在唱片上选为半径为r，宽度为dr的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为dM f = 1：亡电2期匚护片上式中， 惑是唱片的密度。整块唱片受的摩擦力矩为分离变量有积分上式例6如图5-7所示，两物体质量分别为m和m,定滑轮的质量为m,半径为r,12可视作均匀圆盘。已知m与桌面间的滑动摩擦系数为用，求m下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？ 摩擦力忽略不计。解：对 m ,由牛顿第二定律1设绳子和滑轮间无相对滑动,滑动轴受的对 m ,由牛顿第二定律HJ5-7对滑轮,用转动定律又由运动学关系,设绳在滑轮上不打滑联立解以上诸方程,可得然1 +阻+険/ 2例 7 如图 5-8 所示。两个圆轮的半径分别为 R 和 R ，质量分别为 M1 和 M2 。二 者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可1 以绕2 一水平固定轴自由转动。今 在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m和m的两个物体。求在重力作用 12下， m 下落时轮的角加速度。2解： 如图示，由牛顿第二定律对m : 旳g 爲=廻旳2对整个轮，由转动定律又由运动学关系联立解以上诸式，即可得a =叽2皿芒心苣Mj / 2 + 陀J应（+ （凶2 f 2 + 2）-2例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO作专动，设 大小圆柱体的半径分别为R和r质量分别为M和m,绕在两柱体上的细绳 分别与物体 m 和物体 m 相连， m 和 m 分别挂在圆柱体的两侧，如图 5-9（a）1 2 1 2所示。设 R = 0.20m, r = 0.10m, m = 4kg, M = 10kg, m= m2= 2kg,且开始时 mm2离地均为h = 2m,求：1）柱体专动时的角加速度；2）两侧细绳的张力；（3）m 经多长时间着地？1图 5-9(a)m 着地后柱体1（4）设 m 与地面作完全非弹性碰撞 的专速如何变化？解：设a、a2分别为m、m的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9（b）1 2 1 2所示。（1）m 、 m 的平动方程和柱体的转动方程如下：式中：9联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为Rmx - rm2J + 蚀於 +m2r2代入数据后得6- 13rads2（2）由（1）式得 爲=叫+蚀 = 20绘丁由（2）式得T、= mxg -17 1N（3）设m着地时间为t,则1（4）m 着地后静止,这一侧绳子松开。柱体继续转动,因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。讨论: 如果只求柱体转动的角加速度,可将柱体、 m、 m 选做一个系统,系统受 12的合外力矩 ，则加速度本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的 转动、m和m的平动。12例 9 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为 m 的甲、乙二人分 别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图 5-10 所示。(1)二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否 守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？(2)当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各 是多少？解：(1)甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相 同，因为T - mg = ma所以二人的加速度相同，二人的速度为因初速度 v0= 0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达 顶点。以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力 2(T-mg) 0，故系统的动量不守 恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人 在上升中机械能在样加。但甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩(M = TR -TR + mgR-mgR)等于零，系统对轴 的角动量守恒。(2)设甲的速度卩甲、乙的速度为吃，从解(1)知二人的速度相等，即这个结果也可用角动量守恒得到，因故甲讥设绳子的牵连速度为vO,设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0 一定向 上，根据速度合成定理讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能 改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速 度皆相同，二人总是同时到达顶点。例 10 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的距离是rSxlOm，此时它的速率是vSxlO-s-1。它离太阳最远时的速率是vg.OSxlOm-s-1,这时它离太阳的距离勺是多少？解：慧星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳 最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的径矢方向垂直，所以角动量守恒 给出由此得=S.75xl05.46xl0 5 26xiQ12mv29 08xl02例 11 太阳的热核燃料耗尽时，它将急速塌缩成半径等于地球半径的一颗白矮 星。如果不计算质量散失，那时太阳的转动周期将变为多少？太阳和白矮星均按 均匀球体计算，目前太阳的自转周期按 26d 计。解：由太阳的自转角动量守恒可得72 = 7 = 7= 26 x 24x60=3.1(min)例12 质量为M,半径为R,并以角速度曲旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为 m 的碎片从飞轮飞出。假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图 5-11 所示。求余下圆盘的角速度、角动量。解：破裂瞬间,系统对转轴的合外力矩为零,系统角动量守恒J lv = (J - mP?) “ + mP?少(J - mF?、3余下圆盘角速度不变。余下圆盘的角动量例 13赤道上有一高楼，楼高h (图5-12)。由于地球自转，楼顶 和楼根对地心参考系都有线速度。(1)证明：楼顶和楼根的线速度之差为血，其中少为地球自转角速度。(2)证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根 东侧约必何？处。这就是落体偏东现象。计算h = 30m时，着地点偏东的 距离。(此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。实际上物体 下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。利用这一点，并取楼高对地球半 径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果(2畑斗g。)证：（1）楼顶的线速度为乃二忒应+曲）楼根的线速度为。二者之差（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度应戏平移，则落体下落时间为而着地时偏东的距离为以=- = 7-27xW5 ra d/sh = 30m86400代入上式可得 = - 27xW5 x30x2 x30/9 -8 = 5 - 4xl0_3m例14地球的自转轴与它绕太阳的轨道平面的垂线间的夹角是23.5。（图5-13）。 由于太阳和月亮对地球的引力产生力矩，地球的自转轴绕轨道平面的垂线旋进， 旋进一周需时间约26000a。已知地球绕自转轴的转动惯量为dZJ = 8.05xl037 kg m2 o求地球自旋角动量矢量变化率的大小，即筋，并求太阳和月亮对地球的合力矩多大？解：dZ r . =L sin- XSUI 23 5 X 26000 x3 15xl07=1-79 X1022 kg-ms-2太阳和月亮对地球的合力矩的大小为例15 个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO自由转动。管是刚 性的，环半径为R。一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。 由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是 否正确，并说明理由。图 5-14(a) 地球、环管与小球系统的机械能不守恒。(b) 小球的动量不守恒。(c) 小球对OO轴由的角动量守恒。辨析(a) 不正确。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管 与小球间的正压力N和N，是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管 壁的压力N (与管壁垂直)始终与小球相对管壁的速度方向(与管壁相切)垂直, 所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。系统中只有保守内力(重力)做功，系统的机械能守恒。(b) 正确。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不 同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。(c) 不正确。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO,轴平行，重 力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过00,轴，对OO轴有力矩, 所以小球对00,的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置A对00,轴 的角动量为零，在 B 处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对 00,轴的角动 量不再是零，到达最低点C时，对00轴的角动量又等于零。运用刚体定轴转动定律解题转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤为1) 隔离物体：即明确研究对象。2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出受 力图。3) 选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。4）建 立 方 程 ： 用 转 动 定 律 列 出 定 轴 刚 体 的 运 动 微 分 方 程5）要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。还要注意 此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和角 速度为正，反之为负。6）求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：丄与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。丄刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。处理方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛顿 第二定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方程组。运用角动量定理或角动量守恒定律解题因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。在力矩持 续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定理。对 于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动量定理， 也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定理，再用力 矩表达式将二者联系起来。运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步 骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过用角量取代相 应的线量：1. 选系统：即确定研究对象。2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。3. 选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。对于综合 性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。4. 算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分析系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。5. 列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：对固定点：如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程：对固定点：必井=o t =恒矢量对定轴：=0 坍恒量6. 求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。请特别注意：丄请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的角动量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向都 不变。所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是合外 力矩的角冲量为零。* 请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。在 对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、负 号。* 请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。例如，区分图 5.4中的两种不同的冲击摆：在图5.4 (a)中，m、M系统的动量及对O 的角动量均守恒。而在图5.4 (b)中，轴O对系统的约束力不能忽略， 但该约束力对 O 轴的力矩为零，所以，系统所受合外力不为零，系统总 动量不守恒；系统所受对 O 轴的合外力矩为零，对 O 轴的角动量守恒。图 5.4 两种冲击摆20