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新北师大版数学九年级上册期末总复习第一章特殊平行四边形复习第一章特殊平行四边形复习四四 边边 形形平行四边形平行四边形一一 般般 四四 边边 形形一般的平行四边形一般的平行四边形特特 殊殊 的的平行四边形平行四边形菱菱 形形矩矩 形形正方形正方形知识归纳知识归纳相等相等垂直垂直1.菱形的定义和性质菱形的定义和性质(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形做菱形(2)性质：菱形的四条边性质：菱形的四条边_;菱形的对角线互相菱形的对角线互相_；菱形是中心对称图形，它的对称中心是菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴两条对角线所在的直线是它的对称轴平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形四边形四边形2菱形的判定方法菱形的判定方法(1)有一组邻边相等的有一组邻边相等的_是菱形是菱形(定义定义)；(2)对角线互相垂直的对角线互相垂直的_是菱形；是菱形；(3)四边相等的四边相等的_是菱形是菱形知识归纳知识归纳辨析辨析:四边形、平行四边形、菱形关系如图四边形、平行四边形、菱形关系如图:知识归纳知识归纳3菱形的面积菱形的面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底的面积底高；高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成所以其对角线将菱形分成4个全等的三个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半积的一半相等相等两两知识归纳知识归纳4矩形的性质矩形的性质(1)矩形的对角线矩形的对角线_；(2)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有称图形，对称轴有_条，对称中心条，对称中心是对角线的交点是对角线的交点直角直角乘积乘积一半一半知识归纳知识归纳(7)矩形的面积等于两邻边的矩形的面积等于两邻边的_.注意注意 利用利用“矩形的对角线相等且互矩形的对角线相等且互相平分相平分”这一性质可以得出直角三角这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：形的一个常用的性质：直角三角形斜直角三角形斜边上的中线等于斜边长的边上的中线等于斜边长的_平行四边形平行四边形四边形四边形平行四边形平行四边形知识归纳知识归纳5矩形的判定矩形的判定(1)有一个角是直角的有一个角是直角的_是矩形；是矩形；(2)有三个角是直角的有三个角是直角的_是是矩形；矩形；(3)对角线相等的对角线相等的_是矩是矩形形相等相等直角直角四四知识归纳知识归纳6正方形的性质正方形的性质(1)正方形的四个角都是正方形的四个角都是_,四条四条边边_;(4)正方形的对角线正方形的对角线 _且互相垂且互相垂直平分；直平分；(5)正方形既是轴对称图形，又是中心正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有对称图形，对称轴有_条，对条，对称中心是对角线的交点称中心是对角线的交点相等相等知识归纳知识归纳7.正方形的判定正方形的判定(1)有一组邻边相等的有一组邻边相等的_是正方形是正方形;(2)对角线对角线_的矩形是正方形的矩形是正方形;(3)有一个角是直角的有一个角是直角的_是正方形是正方形;(4)对角线对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形.注意注意 矩形、菱形、正方形都是平行四边矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形矩形是有一形，且是特殊的平行四边形矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形形，又是菱形垂直垂直菱形菱形相等相等相等相等平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形菱形菱形8中点四边形中点四边形中点四边形就是连接四边形各边中点所得的中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：四边形，我们可以得到下面的结论：(1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是顺次连接四边形四边中点所得的四边形是_.(2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是顺次连接矩形四边中点所得的四边形是_(3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是顺次连接菱形四边中点所得的四边形是_(4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是顺次连接正方形四边中点所得的四边形是_(5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是是_菱形菱形矩形矩形知识归纳知识归纳总结总结 顺次连接对角线相等的四边形顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是四边中点所得的四边形是_；顺次连接对角线互相垂直的四边形四顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是边中点所得的四边形是_顺次连接对角线顺次连接对角线相等且相等且互相垂直的四互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是边形四边中点所得的四边形是_.正方形正方形 考点考点一一菱形的性质和判定菱形的性质和判定 考点攻略考点攻略例例1 如图，菱形如图，菱形ABCD的对角的对角线线AC与与BD相交于点相交于点O,点点E,F分别为边分别为边AB,AD的中点的中点,连接连接EF,OE,OF.求证求证:四边形四边形AEOF是菱形是菱形 解析解析 由点由点E,F分别为边分别为边AB,AD的中的中点点,可知可知OEAD,OFAB,而而AE=AF,故故四边形四边形AEOF是菱形是菱形.L考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧在证明一个四边形是菱形时，要注意：在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边首先判断是平行四边形还是任意四边形形.若是任意四边形，则需证四条边都若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明角线互相垂直或一组邻边相等来证明.考点二和矩形有关的折叠计算问题考点二和矩形有关的折叠计算问题解析解析 要求阴影部分的面积，由于阴影要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根据部分由两个直角三角形构成，所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可勾股定理求出直角三角形的直角边即可考点攻略考点攻略例例2 如图如图,将矩形将矩形ABCD沿直线沿直线AE折叠折叠,顶顶点点D恰好落在恰好落在BC边上的边上的F点处点处.已知已知CE=3 cm,AB=8 cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积方法技巧方法技巧 矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来性质结合起来.解解:由已知，得由已知，得EF=DE=5 cm，由勾股定理，由勾股定理，得得CF=4(cm)，设，设BF=x，则，则AF=AD=BC=x4，在，在RtABF中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得82+x2=(x+4)2，解得，解得x=6，所以阴影部分的面积为所以阴影部分的面积为 68+43=30(cm2)2235 2121 考点三和正方形有关的探索性问题考点三和正方形有关的探索性问题 考点攻略考点攻略例例3 如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,点点E在在BC上上,BE=3,CE=2,点点P在在BD上上,求求PE与与PC的长度和的最小值的长度和的最小值.解：连接解：连接AP，AE，如图，如图.解析解析 连接连接AP，AE，由正方形关于对角，由正方形关于对角线对称将线对称将PC转移到转移到PA，要求，要求PE与与PC和的和的最小值即求最小值即求PE与与PA和的最小值，易知当和的最小值，易知当P在在AE上时，上时，PAPE最小最小方法技巧方法技巧正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的关系或角之间的关系，着许多线段之间的关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合图形我们要充分利用正方形的特性，结合图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.
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