第六章 鞅方法定价

第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存 在唯一概率等价鞅测度可以 用来给期权和期货定价。在这一章，我们先在二项树 模型下详细解释等价鞅测度的含义。接着，我们讨论一般结果。我们将证明，这个结果在 比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来 给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价如果证券市场不存在套利机会， 则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。在这个定价的过程中，我们通 常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。这样就自然产生一个问题：如何 确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行 某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直 接用来对衍生证券进行定价。作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到 期权定价的一种新的方法。1二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图 1 一期二项式生成过程这里S =股票在时间t-A的价格t-Aq =股票价格上涨的概率 rf =一期的无风险利率 u =股票价格上涨的乘子(u 1 + I 1) d =股票价格下跌的乘子(0 d 1 1 + rf d，这是无套利条件。直观地可以 看出，无论是1 + rf u d (这时，无风险利率总比股票的风险回报率高)还是 u d 1 + rf (这时，无风险利率总比股票的风险回报率低)，都存在套利机会。等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时， p 也为正。 条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。 例子：用密度函数来刻画 例子：在二项树下的条件期望鞅的含义：E k = puS +6-pds = S1 + rt -A t1 + rt -At -At-AEt 一込f r f Elc -p c u +6 - p )dc d I c1 + rt-A t 1 + rttt-An即，均是鞅过程。t=0t=0等价鞅测度存在性：定义(1 + rf) - d p =fu - d u 一 (1 + r f )1 - p =1u - d从p的定义可以看出，无套利条件u 1 + r d 成立当且仅当 p 大于 0 而小于 1 （即， p 是 概率）。（1 + r ） - d等价鞅测度唯一性：上面定义的p =（一上一是使得下式成立（即股票和期权价 u-d格的折现值是鞅）的唯一概率。E s = puS +G-pdS = S1 + r t-A t 1 + rt-At-At-A( Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with noarbitrage opportunities.)性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条 件是存在唯一的等价鞅测度。证明：例子：无套利验证例子：期货合约的无套利定价 例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone.(2) 推广：利率衍生产品，利率是随机的，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生Z2 口产品。2一般经济系统2.1不确定性经济环境 我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。如果没有特别地强调，我们用 紅F1表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F= IF : t二0,1,卩表示信息 t结构，对任意t, F匸F。和第一章一样，我们假设到时间T,投资者就完全知道真实的 tT状态且Fo =, Q 。证券市场具有N +1种长期证券，以j二0,1,N作为指标。长期证 券j的特征由其红利过程X = O：t = 0,1,T1来刻画，这里x C）表示以消费品为单 位，在时间t支付的随机红利。红利过程适应于F。为使得分析简化，我们不妨假设第0种 长期证券直到时间 T 才支付红利，在时间 T ，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单 位的消费品。从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种T期的面值为1的折现 债券。第0种证券在时间t的价格以B（t）表示，B（T）= 1 ；而第j（ j 1）种证券在时 间t的分红后价格以Sj表示。因为价格过程是分红后的价格，所以有Sj（T）= 0。自然 地，我们假设S C）和B（t）是关于F可测的。因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相 jt 对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的 价格为 1。经济中有1个个体，以i = 1,2,/作为指标。每个个体具有时间可加的效用函数，这 些函数是单调增的、严格凹的、可微的。我们假设u（pg，这个假设保证所有个体都 选择严格正的消费。我们假设个体的主观概率为Pi =込扌。1,并且任意不确定状态 的概率大于0。我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为ii G）=存;G） 1圧iG）表示个体i在时间0拥有的第0种证券的份数。iG）表示个体i在时间0拥有的第 j种证券的份数。为了避免退化情形，我们假设对每个个体i而言，ai（0）0,i（0）0且 存在某个j使得i （0 ）0。定义1： 一个交易策略0是一个 N +1维过程j1这里，a（t）和0 C）分别表示个体在时间t的交易发生前，持有的从时间t-1到时间t的第0 种证券和第 j 证券的份数。一个交易过程一 定是 一个可料过程。 我们引入记号0C）=（e Q.,0 （t）定义2： 一个消费计划c是一个适应于F的过程: c = lc（t）, t = 0,1,T ，1N这里c C）表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间t的随机消费。定义3： 一个交易策略乞,e称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划c 使得，对于任意t有a（t + l）B（t）+e（t + 1S C）=9 (t)t(S(t)+ XC)-c(t)+a C)bC)，(2-1)N这里我们用H表示所有的可行的策略形成地集合。注：1.关系（2-1）是一种自然的预算约束：在t期收入（包括证券组合的市场值和红 利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。2.因为B（T ）= 1，且对所有的j而言，S .（T） = 0,所以（2-1）的左边为0,从而2-1）变成a(T)+9 (Tx(T)= c(T)即在期末，所有的财富都用于消费。3. 在（1-24）中的消费计划c称为是由交易策略Q,0）融资的，以c（%9）来表示。我们 用C表示所有由可行交易策略融资的消费计划的集合。4. 因为一个长期证券是由它在每个时间的红利来刻画地，所以我们可以把由可行交 易策略融资地消费计划视为长期证券。2.2套利、状态价格和鞅正如我们在前言中提到的一样，本章的主要目的之一在于，给定价格系统也,S/， 如何确定其余衍生资产的价格。因此，我们第一步就是验证这个价格系统是否具有某种意 义上的“合理性”，以及为了满足这种合理性该价格系统应该满足的条件。因为对合理性 的要求越弱，这种合理性的应用也就越强，所以我们下面给出价格系统为了具有某种合理 性应该满足的条件，并使得这个条件尽可能地弱。从最理想的角度出发，这个价格系统具有的合理性也应该是一个均衡价格系统应该 具有的。因为经济中的个体具有非满足性，所以要使得一个价格系统是均衡的，这个价格 系统就不能存在套利机会。因此我们把这个均衡价格系统具有的性质作为价格系统也,S 必须满足的合理性。下面给出目前经济环境中套利机会的严格定义。定义3： 个套利机会指的是由某个可行交易策略Q,0 ）融资的消费计划c （a,9）， 满足下列条件：1. c （a,0）是非负的，且至少存在某个时间t，使得c （a ,0）（t ）0的概率严格为正。2. a（0）B（0）+0（0）TS（0） 0直观上来说，一个套利机会就是不花钱就能进行消费。一个价格系统如果具有套利 机会就不可能是一个均衡的价格系统，因为每个非满足的个体都会利用这种套利机会，从 而市场不可能是出清的。在本节剩下的内容里，我们任固定某个个体的主观概率 Pi ，所有的计算都在这个 概率之下得到的，为了记号简单，我们简记Pi为P。当证券市场不存在套利机会时，任意一种长期证券的价格过程和它的积累红利，如果 以第0种证券为单位，具有如下的性质：在任意时间t，它们在将来任意时间的和的条件 期望等于它们在时间t的和。这里的期望是某个概率下期望，这个概率不必等同于个体的 主观概率，但和个体的主观概率有某种等价性。等价地，长期证券的价格和它的积累红利 之和，以第 0 种证券为单位，在一个新的概率之下是一个鞅过程。因为无套利条件是一个经济均衡的必要条件，所以每个均衡价格系统都具有这种 鞅性质。我们可以证明这种鞅性 质也是价格系统不具有套利机会的充分条件。在具体讨论这些性质之前，我们先给出鞅的定义。定义4： 一个过程Y = & Q： t = 0,1, ,T是一个在概率P之下适应于F的鞅，如果 对任意s有eYcL yQ，这里E【|F表示在概率P之下关于F的条件期望。如果C中两个消费计划ci，c2分别是由H中的可亍策略E 1,01 h和E2,丫 1融资 地，则对于任意常数a和b消费计划aci+bc2可由策略ia1 + ba2,a01 + b021 融资， 从而策略仏1 + ba2,a01 + b0 2 1 是可行的，而ac1+bc2属于C，所以C是所有适应过程 形成的空间L的线性子空间。性质1：价格系统仏,S无套利当且仅当存在一个严格增的线性函数F :RxLtR, 使得对任意c(a,*丫 C有FV a(0)B(0)+0 t(0)S(0)/c(a,0)丿二 0。:们 设R+xL+=禺,c): x 0,c 0,M=+0 Tc(a,0)丿:c(a,0)e C ，由于C是线性空间，所以M也是线性空间。从而价格系统如S无套利当且仅当锥R+xL+与线性子空间M的交集是空集。由 分离超平面定理，存在一个非零的线性函数F使得，对任意u e M和任意非零的v e R- +xL+有F(u) 0，这说明F是严格增的。反过来，如果存在由某个可行交易策略(a,0)融资的套利机会c匸0),贝I对任意 c(e C 有)F J (a (0)+ a (0) B(0)+ (0 t (0)+ 0 t (0)S (0)c C+a ,0+0)丿 0 ,这导致矛盾。F面的结果给出了在空间RxL上的线性函数的Riesz表示定理。弓I理：对于每个线性函数F :RxLfR，存在唯一的匕,兀)e RxL，使得对任意 (x, c )e RxL 有F(x,c )=E + 芦巴c(t)j 如果F是严格增的，则d,兀)是严格正的。为了研究方便，我们把任何严格正的适应过程称为紧缩算子。一个紧缩算子兀称为 状态-价格紧缩算子，如果对任意t有2-2)(2-3)sC)= E 兀 x(j)F兀jtt L j=t+1B(t)=丄eL If 兀T t当t = T时，(2-2)的左、右两边均为0。我们能够证明一个紧缩算子兀为状态-价格紧缩 算子当且仅当对任意交易策略匕)有2-4)a(t)B(t)+6(tS(t)=丄E i 兀 cG,e)(j)F这说明一个交易策略在任何时间的市场值等于由它产生地将来消费的状态价格期望折现 值。(t)=0， tT价格系统(B,S)的收益过程定义为G (t)= SC)+ x(j)； GSj=0G (T)=1。 给定一个紧缩算子兀，紧缩收益过程G为G爲)=兀S()+兀x(j)；BStjG D=0, t T，G (T)= 1。我们可以把这种紧缩过程当作是一种计量单位变换。BB我们可以证明兀是状态-价格紧缩算子当且仅当状态-价格紧缩收益过程是一个鞅。定理1：价格系统(B,S)不存在套利机会当且仅当存在一个状态-价格紧缩算子。证明：假设不存在套利机会，则有(性(质( )1(知)道， (存)在(一)个)严格)增的线性函数tt=0F :RkLtR，使得对任意C(aP)w C 有Fu(O)B(O)+0T(0)S(0c(小丿=0。再由前面 的引理有，存在一个紧缩算子兀使得对任意C,ch RxL有F(x,c)= Efxx +另兀c(t。 从而对任意策略a ,e)有=0oE”( (x(0)B(0)+O t (0)S(0)+ i 兀 c (a ,O)(t)我们证明(2-2)、(2-3)，或者等价地，我们证明G冗是一个鞅。显然G兀C)是 Bt =0一个鞅。我们下面考虑风险证券。一个随机过程X是鞅当且仅当对于任意有限停时T T 有eLx J= X。对于任意第n种风险证券和任意有限停时t T，考虑交易策略： a(t)= 0 ； 如果k丰n，贝iJO (t)= 0 ；如果t t，则0 (t)=0。knn因为对任意策略 ,0)有= 0o九(x(0)B(0)+O t (0)S (0)+ i 兀(t=0 t丿所以(S (0)+工兀 x C)+兀 S G)=0ont nnt =叩。因为T是任意的，所以这说明第n种风险证券的紧缩收益过程Gn冗满足EG n兀丄 Gn是- 一个鞅。因此G冗是一个鞅。这证明了无套利隐含着存在一个状态-价格紧缩算子。 反过来是显然的。如果一个证券的价格仅仅是这种证券的红利的期望折现值，则无论从计算方面还是 从概念方面而言，都会得到大大地简化。当然，在一个具有风险厌恶者的市场中，这一般 是不可能的。但是，通过调整原有的概率测度 P ，我们能够接近这种刻画证券价格的方 法。下面我们引入等价鞅测度的概念。定义5：给定价格系统 S），我们称概率测度Q等价于原概率测度P，如果对于价鞅测度，如果对于任意t T下式满足鳥=EQ 艺 x(j)2-5)P而言的所有零概率事件，对于P而言也具有相同的零概率；一个等价概率测度Q称为等 1Lj=t+1这里，Eq L|F表示在概率测度Q下的条件期望。t直观上说，如果以第o种无风险证券为计量单位，则在概率测度Q下，所有证券 显然也包括第 0种无风险证券）的价格是鞅过程。（）我们很容易证明，Q是一个等价鞅测度当且仅当对于任意交易策略a,e）有：对于任意t =B（丄i定义的紧缩算子丫定义了折现收益过程由丫t鞅”来源于下列的等价性。（2-6）Gy。术语“等价鞅测度”中引理：一个等价于P的概率测度Q是关于价格系统（B,S）的等价鞅测度当且仅当折 现收益过程G y对于概率测度Q而言是一个鞅。我们下面证明价格系统无套利和存在等价鞅测度之间的等价性。由定理1我们知道，无套利等价于存在状态-价格紧缩算子兀。设Q是由Radon- Nikodym 导数 e -第TL0定义的概率测度，即Q满足，对于任意的随机变量Z有Eq 正的，所以Q和P等价。关于Q的密度过程定义为勺-山 j t，任意的F 可测的随机变量Z有j eqZfLJ eEzffz）fJz）。因为et是严格 E F丄从而对于任意时间t和(2-7)t E jt（见 Karatzas and Shreve 1992, P193, Lemma 5.3）。固定任意时间t t时，a（t） 1, 9 0。由（2-4）我们有由（ 2-7）和面的定理。兀 B（t） eL b（t）f L eE 兀 If 1tTtT 0 t2-8）以及状态-价格紧缩算子的定义，我们得到（2-5）。所以我们证明了下兀o|F乂几。（2-8）定理2：价格系统（B,S）无套利当且仅当存在等价鞅测度。而且兀是状态-价格紧缩算子当且仅当等价鞅测度Q具有密度过程E，E由E 卜定义。tL我们已经证明了等价鞅测度的存在性。下面的性质给出了等价鞅测度的唯一性。性质 2：假设 F F 且市场不存在套利机会，则市场是完备的当且仅当存在唯一 的等价鞅测度。证明：假设市场是完备的。设Q1、Q2是两个等价鞅测度。我们必须证明 Q = Q。设a是任意事件。因为市场是完备的，所以存在交易策略C,e)使得其消费过程 12c (a，e)满足 c (a0) 1a，当 0 t 0，代二兀+刁，ttt这里的0充分小使得於是严格正的。定义新的状态-价格紧缩算子/ :冗兀，t 兀0则由定理1的证明知道議是一个不同于兀的状态-价格紧缩算子，且满足兀=1。这导致矛0盾。所以，如果存在唯一的状态-价格紧缩算子兀，使得兀=1，则市场必须是完备的。0这种资产定价的鞅方法简化了很多看起来非常复杂的资产定价问题，例如美式期权 的定价。鞅方法还可以在比这里更一般的环境中得到广泛地应用，例如，这里假设存在无 风险的债券只是为了研究的方便，我们可以以任意一种证券为计量单位来计算所有证券的 价格及其积累红利的折现值。2.3 状态-价格和等价鞅测度的显示表示 ()在上一节，我们证明了价格系统(B,S)无套利当且仅当存在等价鞅测度和状态-价 格紧缩算子。这是关于等价鞅测度和状态-价格紧缩算子的存在性问题。但在实际应用中， 仅仅知道存在性并不能解决问题，我们还必须能够显示地表示等价鞅测度和状态-价格紧缩 算子。在这一章中，我们利用个体的效用函数来研究这个问题。另外，在我们上面证明等 价鞅测度的存在性时，我们取的原概率为任意一个个体的主观概率，那么，当我们取的原 主观概率不同时，是否会得到不同的等价鞅测度，从而对同一衍生证券而言，不同的个体 是否会有不同的价格？我们会看到，尽管个体的原主观概率不同，但当市场是完备时，他 们得到的等价鞅测度却相同，从而对同一衍生证券而言，不同的个体会得到相同的价格。 至于市场不是完备的情形，吾们将在第八章中讨论。给定价格系统S)，经济中个体i解决如下的最优化问题：max E(a ,e) i另 u (c(t)itt02-9)受约束于是由a,”融资的)(a(0),e(0)- a i G)e i (0)这里E 】表示在概率Pi之下的期望。 i/）因为状态数目是有限的且个体只选择非负的消费计划，所以我们可以证明价格系统（B,S）无套利当且仅当最优化问题（2-9）的解存在。定理3：价格系统（B,S）无套利当且仅当最优化问题（2-9）的解存在。证明：我们以HQi（0）,0 i（0）表示初始成本为bi（0）,0 iG）丿的可行策略构成的集 合。定义集合C（）穆（B, S）= Ha,0） : c（a,0） ）0, （a,O）WH （i （o）,0i G）八。即，T（B,S）表示由禀赋Qi（0）,OiG）丿出发的可行策略融资的消费集合，显然T（B,S乘 积空间 H L t G, F, Pi）。t=0定义算子Ui: rf LtC,F,Pi)TR+t=0Ui(x)= Eif u (x(t)。itLt=0如果在乘积空间H L21C, F, Pi）上定义范数|-|:t=0对于任意XG HL21G, F, Pi),t=0j=0则HL21G,F,Pi）是一个完备的度量空间。而算子Ui是HL21C,F,Pi）上的连续函 t=0t=0数。当价格系统无套利时，T（B,S）有上界，显然屮（B,S）有下界。从而Ui在屮（B,S） 上有最大值，即最优化问题（2-9）的解存在。反过来，当最优化问题（2-9）的解存在时，显然不能存在套利机会。假设最优化问题（2-9）的解为C,0）。设由i,0 J融资的消费计划为c。由第 一章的动态规划方法我们彳得到，对任意t jjS (t) = Eji因为u；, C)!在时间t是已知的，(2-W)可以表示成 、uQ% (t)= e U；J(t+1)人(t+1)+ s (t+1)itji i,t +1jj2-10)2-11）我们对（2-11）可以作如下的解释：左边是在时间t少消费一份证券j的边际效用，右边是 在时间t +1多一份证券j带来的边际效用。在最优消费路径上，左右应该相等。注：由状态-价格紧缩算子的定义（2-2） ，我们知道边际效用函数就是状态-价格紧缩 算子。折现债券的价格也满足类彳似（2-10）、的关系，在任意时间t T有B(t) = Eiu；i/+1U ；itB(t + 1)F。重复叠代上述关系，我们得到，对任意t s有oD Q=x (s)jj(t)得犁-|S C)+ D (t)= ES (t +1)+ D (t + 1)F j j j j t 重复叠代上述关系，我们得到，对任意ts有-S Q+ D Q= Ek (s)+ D (s)F。jjjj t从而在概率 P 之下，价格过程加上积累红利之和是鞅。当没有个体是风险中性者时，通过正规化和变换概率测度，长期证券的价格加上红 利仍旧与鞅有关。正规化使得以某种长期证券为单位的利率为零，而变换概率测度包容了 风险回避。这是我们下面将要讨论的内容。我们首先定义折现价格系统和积累红利过程()S )如果 t T ，S, V = _B0 ;B *(t)= 1D *(t)=工x * (s)，j在(2-13)两边同加上D这里s=02-15)S * 6)= 0jjs=0()x C)Xj*(t)= j)。bC)是严格正的，否则就存在套利机会，例如在为零的时候买进债券，一直持有到时间T 。所以上述的定义有意义。其次，我们定义新的概率测度Pi0对任意的 eQ，P *oPi丽。(2-16)u2-12)B(t) = El 十il uL it由(2-11)、(2-12)我们可以看出，在任意主观概率 P 之下，长期证券的价格过 程一般来说不是鞅。使得价格过程加上积累红利在某个主观概率 P 之下是鞅的一个充分条 件是，该个体是风险中性的，且没有时间偏好。这时对于任意t, s， u b (s)丿=u J 0丿=常数is it因此(2-11)、(2-12)变成f对于任意时间t 0 ；(2) 2 P *ogQ一条是显然的。其次，2PoogQ=1。因为边际效用是严格正的，B(0)0，且样0 所以第(oi(eQo,T询 _一WT WO0 一rGGTux、0ii这里的第三个等式来源于(2-12)。 下面我们证明在概率 P* 下， 当s t时，给定a e F，在概率P tt工P* (a )=比at soP*oS * + Djj下事件aI a 如果 $las类似地，我们定义给定a u a 时，我们有st是鞅，即 P* 是等价鞅测度。首先我们给出e F 的条件概率su atU at2-17)a e F，在概率Pi之下事件ate F 的条件概率 P (a )。当sat s2Piu/ (ci6,T)o iTP* _ ZsPiur (ciCo,T)oo iToeaoeaPi (a ri (a , s)2 耸町t)、 s is s莎八不)Pi (a (ci (a , t)2 Piu,T)、t it tPi 讥(a ,t)oeat ittt2P*oP* (a )= 2s*as t2-18)这里c(a ,t)表示个体i在时间t当事件a e F发生时的最优消费,tt t之下事件a e F发生的概率。由(2-12)我们知道当t T 1时 2Piu (ci(o ,T)()2 PiiA I (a , t 沪叫t )， oeatt itt这里B(a ,t丿表示在时间t当事件a e F发生时的债券价格。把tt t()B(a , s)Pi (a Ci (a , s)P *匕 二s ( at丿:(叫丿丿。at sBa , t屍 Yia , t /t itt我们把(2-20)代入(2-10)得到，对所有t t有* （T ）f 1（2-23）我们证明了在概率P*下，S * + D *是鞅。至于折现债券，B* （t）+ D * （）= 1，在P*之 jj0下显然为鞅。到此为此，我们证明了 P*是等价鞅测度。注：7. 虽然我们只是利用某个个体的主观概率和他的边际效用来构造等价鞅测度， 但在这个等价鞅测度之下，对所有的个体而言，正规化的价格过程和正规化的红利过程之 和为鞅。2.4无套利和存在等价鞅测度等价性的一个应用 我们在第一章里介绍多期证券市场的动态完备性的时候，我们给出一个价格系统的 例子，当时只假设这个价格系统是无套利的。现在我们利用无套利与存在等价鞅测度之间 的等价性来证明这个价格系统确实不存在套利机会。为了讨论方便，我们重新给出这个价 格系统，见图 2-1。注意这三个证券直到时间 3 才支付红利。在时间 3 给出的就是支付的红利。事件树中的每 个分支都有一个严格正的概率。在时间1,当处于上面的结点时，设p ,p ,P分别表示,的条件概率。1 2 3 1 2 3因为证券 0 的价格过程加上积累红利在所有的时间点均为 1，所以折现价格系统仍为原系 统。如果存在等价鞅测度，则P ,P ,P必须满足下面的线性方程：123p + p + p = 1123p + p + p = 11233p +4p +8p = 5（2-24）1232p +3p +4p = 3123（、p+13p=123l p3 Ji T丿第一个方程表示条件概率的和应该为 1。后三个方程表示各种证券在时间 2 的价格与积累 红利之和的条件期望值等于在时间 1 的上结点的价格与积累红利之和。方程组（2-24）的 唯一解为33我们把这些概率记在相应的分支上。同样地，我们解下列方程组得到所有的条件期望。 在时间 1 的下结点解为在时间 0p + p 二 145p + p 二 1456 p + 8 p 二 7454p + 5p 二 4.545I p5丿p + p 二 10102p + p 二 101025 p + 7 p 二 601 023 p + 4.5 p 二 3.75解为01 02(p十01=2I p )0212丿我们能够证明这些条件概率是使得价格加上积累红利为鞅的唯一概率，并且这些条件概率 为严格正的。给出这些条件概率后，我们下面很容易计算等价鞅测度，它们为各个状态的无条件 概率r P * Qo )(、十r6 )p * 6 )十p * 62)r6 )十p * (3)6十p * 64 )丿4, x* C), c *(t )= Bt)。当价格系统6,S)无套利机会时，存在等价鞅测度，设为P*。我们最后证明在等 价鞅测度P*之下，S *Q+工c*(s)为鞅。c给定价格系统(B,S广因为c是由(a,0)融资的，由自融资预算约束(2-1)我们有 a(T )+0(TX(T )=a(0)B(0)+0(0)T(S(0)+ X (0)逻 c(s)+另a(s)(B(s)-1)s=0s=0+ 另0 T (sXs (s)- S(s -1)+ X (s) ，( 2-27)(2-27)的左边表示策略E,o)在时间T的支付，右边表示策略的初始成本加上从时间0 到时间T交易长期证券所获得的积累收益或者积累损失，再减去从时间0到时间T-1的积 累消费。同样地，我们可以得到()a(T )+0(T x * (T )=a(0)B(0)+ 0(00 * (0)+ X *(0)丿2-28)+ f 0 T (s* (s )- S *( -1)+ X * (s )s=0-艺 c * (s )，s*1N*让D * Q丄* Q ,D *s=(t0)T，则(2-29)X*(t)= D*(t)-D*(t -1)因为c*(T)=a(T)+0(T)tX*6),所以(2-27)变成t=0另 c * C)=aG)B(0)+ 0 (0)t G * (0)+ X * (0)2-30)+ 另0 t (s人 * (s)+ D* (s)- S * (s 1) D* (s - 1)。s=0由( 2-26)我们有()aC +1)+ 0( + 1)tS * C)=aG)+ 0 G(*(0)+ X * (0)2-31)+ 工0 t (sS * (s )- S * (s -1)+ X * (s )s=1-c * (s )，s=0把(2-31)代入(2-30)，我们得到另 c * (s )= a(/ +1)+0 (/ + 1)t S * C)s=t+12-32)+ 乞0 t (sS * (s )+ D * (s )- S * (s - 1)一 D * (s -1)丿。s=t+1在(2-32 )两边关于P*求条件期望得到E*为 c* (s)F = a(t +1)+0(/ + 1S* C)tS=t+1+ E *=t+1nF -Fs1to另 E* L t (s* (s)+ D* (s)- S* (s 1) D*=a(t + l)+0(t + 1S*(t)= S *C)33)即，消费计划c在时间t的分红后价格的折现值是将来消费的折现值之和在P*下的条件期 望。由（2-33）马上可以得到，对任意t有S*c（t）+工c*（s）= E* 为c*（s）F。2-34)s=0s=0由(2-34)我们有，对于s tE*S * C)+c * (l )Fcl=0E*丈 c* (/ )Fl=0= E*为 c * (s)F=SQ+Yc * (s )02-35)s=0s=0所以，我们证明了在等价鞅测度P*之下，S *Q+工c*（s）为鞅。c通过上面的证明我们知道，如果价格系统宙,S）无套利机会，则不仅长期证券的价格，而且上市消费计划的价格也具有鞅性质。给定一个等价鞅测度，在这个测度之下取条 件期望就能够得到我们所要的价格。注：尽管个体对不确定状态的主观概率不同，但他们得到的上市消费计划的价格过 程却是一样的。因为上市消费计划的价格过程是由无套利条件确定的，而套利机会的定义 不依赖于任何个体的主观概率。2.6套利定价的一个例子考虑由图（2-1）给出的价格系统。唯一的等价鞅测度由那些方程组的解给出，条 件概率标在图中相应的各个分支上。三个交易/消费日是t = 0,1,2。第一种证券是折现证 券，因为它在时间0， 1的价格都为1，所以利率是0。由上一章的内容，我们知道这个证 券市场是动态完备的，因此任意消费计划都可以通过动态调整各个长期证券来复合，从而 我们可以进行定价。现在考虑一个由图2-3给出的消费计划。在这个消费计划中，个体仅仅在时间 2 消费。这个消费计划在时间 2 以前的价格可以通过 寻找能够复合该消费计划的交易策略来得到。在我们已经得到等价鞅测度以后，这个定价 问题变得传别简单。我们可以利用（2-34），通过非常直观的方法来计算价格。因为对于 任意t，B（/）= 1，所以折现价格系统等于原系统。因此(110 +r 110.25 +r 114.25 +r 111.5 +r 11、6丿、6丿、6丿、4丿、4丿3.5=2，（0）=Co ,1)=nCo ,1)=n(11I13丿(11 2丿1.5 +(11 3 J(11 2丿0.25 +4.25 = 1.5 ,如果 n = 1,2,33.5 = 2.5,如果n二4,5