高中数学三角形形状的判定汇编

2学习-好资料(微 lily2064)高中数学三角形形状的判定判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题： 1、 基本知识点：（1）等腰三角形 a=b 或 A=B（2）直角三角形 a 2 +b 2 =c 2或 A=90（3）钝角三角形 a2 b 2 +c 2或 A 90（4）锐角三角形 若 a 为最大边且a2 b 2 +c 2或 A 为最大角且 A902、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为 纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：（1） 统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；（2） 统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；常见的题型有：一、 利用三角形三边的代数关系直接判断1、 在三角形 ABC 中，三边 a、b、c 满足a : b : c =2 : 6 : ( 3 +1)，试判断三角形的形状。解析：a b c则 c 边最大，且c2=4 +2 3，a 2 +b 2 =8， c2a2+b，则最大角 C 为锐角，所以三角形为锐角三角形。二、运用三角函数的关系直接判断2、（05 北京）在DABC中已知2sin A cos A =sin C ,那么DABC一定是（ ）A、直角三角形C、等腰直角三角形三角形B、等腰三角形 D、正三角形C =p-( A +B ), sin C =sin( A +B )解析： 2sin A cos B =sin( A +B ), sin A cos B -cos A sin B =0 sin( A -B ) =0又A, B, C是三角形的内角 A-B=0,则选B3、在ABC 中，已知sin B sin Ccos2A2，试判断此三角形的类型.解析： sin B sin Ccos2A2sin B sin C1 +cos A12sin B sin C 1 cos180 -( B +C )将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC代入上式得cosBcosC+sinBsinC=1cos（BC）1更多精品文档22 2 2 22 2 22 2 2 22 2学习-好资料BC0 BC又 0B，C ， BC故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式 cosA2cos2A21 的逆用.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒 等变形三、运用向量进行判断 AB AC AB AC 14、(06 陕西卷) 已知非零向量AB与AC满足( + )BC=0 且 = , 则 2 |AB| |AC| |AB| |AC|ABC 为( )A、三边均不相等的三角形 C、等腰非等边三角形B、直角三角形 D、等边三角形解析：非零向量与满足(AB AC+| AB | | AC |)=0，即角 A 的平分线垂直于 BC， AB=AC，又cos A =AB AC| AB | | AC |1 p= ，A= ，所以ABC 为等边三角形，选 D35、在 DABC 中，设 BC =a , CA =b , AB =c , 若 a b=b c=c a,判断 DABC 的形状。解析：a +b +c =0， a +b =-c,( a +b ) 2 =c ， a +b +2 a b=c同理b +c +2b c=a，两式相减，得a -c +2( a b-bc) =c -a，a b=b c， a = c ， a = c ，同理 a = b ， a =b = c ，故 DABC 是等边三角 形。四、运用正（余）弦定理判断6、在ABC 中，b cos A =a cos B试判断三角形的形状分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的 运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行 分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.b cos A =a cos Bbb2+c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b =a 2bc 2ac2b2c2a2a2c2b2 a2b2 ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.b cos A =a cos B又b =2 R sin B, a =2 R sin A更多精品文档学习-好资料2RsinBcosA=2RsinAcosBsinAcosB-cosAsinB=0sin（AB）00A，B ， ABAB0 即 AB故此三角形是等腰三角形.评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数 变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用 正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时， 一 定 要 先 确 定 角 的 范 围 . 另 外 ， 也 可 运 用 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 ， 在 等 式sinBcosA=sinAcosB端同除以sin A sin B得cot A =cot B，再由 0A，B ，而得 AB.7 、在 DABC 中，如果 lg a -lg c = lg sin B =-lg 2 ，且角 B 为锐角，判断此三角形 的形状。解 析 ： 由lg a -lg c=lg sin B =-lg 2， 得l g s Bi n=-l g=lg222， sin B =22，又B是锐角， B =45，又lg a -lg c =-lg 2，即lga 2 a 2 =lg , = ,c 2 c 2由 正 弦 定 理 ， 得 ：sin A 2=sin C 2， 2 sin C =2sin A,A +B +C =180， A =180 -C -B =180 -45 -C =135 -C， 2 sin C =2sin(135 -C )， sin C =sin C +cos C , cos C =0, C =90故此三角形是等腰直角三角形。巩固练习：在DABC中，若tan A : tan B =a2 : b 2,试判断DABC的形状。解一：由已知条件及正弦定理可得sin A cos B sin 2 A=cos A sin B sin 2 B，A, B为三角形的内角， sin A 0,sin B 0，sin 2 A =sin 2B, 2 A =2 B或2 A =p-2 B， A =B或更多精品文档a2 ac学习-好资料pA +B = ，所以 DABC 为等腰三角形或直角三角形。 2sin A解二：由已知条件及正弦定理可得cos Asin B=sin 2 A cos B sin A，即 = ，由正弦定理和余弦 sin 2 B cos A sin Bcos Ba 2 +c 2 -b 2定理可得 = ，整理，得 b 2 +c 2 -a 2 ba 4 -a 2 c 2 +b 2 c 2 -b 4 =0，即( a 2 -b 2 ) 2bc( a 2 +b 2 -c 2 ) =0，a2 =b 2或a 2 +b 2 -c 2 =0， a =b或a 2 +b 2 =c 2DABC为等腰三角形或直角三角形。小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角， 再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三 条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握： （1）（2） 三角形的内角和定理 A+B+C=p，大边对大角；（3）sin( A +B ) =sin C ,sinA +B C=cos2 2等；（4） 三角形面积公式S =1 1 1ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2。更多精品文档