数量关系笔记

数量关系笔记/要点评述“代入排除法”是数学运算题型当中最重要的技巧，这种方法结合题干与选项双向判断，是处理行测 “客观单选题”最为行之有效的方法。“代入排除法”广泛运用在多位数问题、不定方程（组）问题、同余问题、和差倍比问题、年龄问题 行程问题、周期问题等等题型。“代入排除法”还可以利用数字的基本特性来完成，这就要求广大考生掌握基本的数字特性，特别是 对倍数的判断。核心提示在方程组中，方程的个数如果少于未知数的个数，说明未知数是不能完全确定下来的。在这种情形下， 我们一般可以假设其中1 个未知数为 0，从而简化计算过程。 核心提示如果两个未知数只有一个方程关系，这两个未知数是不能完成确定下来的。但如果这些未知数被限定 在“正整数”范围内，我们便可以利用整数的倍数关系和大小范围进行代入试值，利用类似“枚举”的办 法确定唯一满足题目要求的解。必要时应结合选项进行代入。/要点评述本知识点：总和=平均数X个数等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）三2/要点评述公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型； 图示法：“条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。 核心公式 核心要点当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；3. 标数时，注意由中间向外围标记。 核心公式：在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C,而至少满足三个条件之一的元素总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为X,满足两个条件的元素为y,满足三个条件的元素数量为z,根据右图可以得到下面两个等式:/要点评述 核心公式：路程=速度X时间；常用方法：列方程、解方程； 解题关键：找准“量间二维关系”，快速列方程，精确解方程。 核心公式相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）X相遇时间追及问题：追及距离=（大速度-小速度）X追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）X背离时间 核心公式反向运动：环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间。同向运动：环形周长=（大速度-小速度）X相遇时间。 核心公式顺流路程=顺流速度X顺流时间=（船速+水速）X顺流时间逆流路程=逆流速度X逆流时间=（船速-水速）X逆流时间 核心提示两个人从两端出发，相向而行，到达对面终点后立即返回，如此往复，那么：两人第1、2、3、4次迎面相遇时，两人的路程之和分别为1、3、5、7个全程；两人第1、2、3、4次追上相遇时，两人的路程之差分别为1、3、5、7个全程。/要点评述加法原理：分类用加法排列：与顺序有关乘法原理：分步用乘法组合：与顺序无关排列公式： 组合公式： 逆向公式：满足条件的情况数=总情况数-不满足条件的情况数 概率问题核心公式1. 单独概率=满足条件的情况数三总的情况数；2. 某条件成立概率=1该条件不成立的概率；3. 总体概率=满足条件的各种情况概率之和；4. 分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。/要点评述“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的尸体有近乎“秒杀”的效果。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的 “十字交叉”的形式来简化：/要点评述在数学中，我们一般会涉及到四种常见的平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平均数。 其中，“算术平均数”和“几何平均数”较为简单，考生也都比较熟悉；“平方平均数”般很少涉及，也不 是我们应当关注的重点；唯有“调和平均数”在试题当中经常出现，有大量的考题与之相关，但考生却关 注很少。了解并掌握“调和平均数”解题的方法，可以使得很多题目得到迅速、高效的解答。调和平均数公式：一；本质一，一成等差数列。/调和平均数常见题型1. 等距离平均速度问题（往返平均速度问题）；2. 等价钱平均价格问题（什锦糖问题）；3. 等溶质增减溶剂问题（加水、蒸发水问题）；4. 等发车前后过车问题（沿途前后过车问题）。等距离平均速度核心公式：=（其中V和v2分别代表往、返的速度）等价钱平均价格核心公式： （其中P和P2分别代表之前两种糖的价格）等溶质增减溶剂核心公式：（其中片、r2、r3分别代表连续变化的浓度）等发车前后过车核心公式：发车时间间隔/要点评述如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们 可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被为“设 1 法” 或者“设 1 思想”。我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、 经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数， 简化计算。如果这个量本身有确定大小而不能随便定义其数值，还可以利用“份数”来简化计算。/要点评述几何问题一般涉及到几何图形的边长、周长、面积、表面积、体积等相关变量，我们首先需要掌握最 基础的几何公式，定位相应公式进行计算；对于不能直接利用公式的题目，我们往往通过“割”、“补”或者“平移”变成规则图形，然后利用公 式进行计算；几何问题有很多重要的特性，很多题目可以利用这些几何特性来解答。一个几何图形，若其尺度变为原来的 m 倍，则：1. 所有对应角度不发生改变2. 所有对应长度变为原来的 m 倍3. 所有对应面积变为原来的 m2 倍4. 所有对应体积变为原来的 m3 倍1. 平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大；2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小；3. 立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；4. 立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。/要点评述“溶液问题”是一种非常典型的“比例型”计算问题，抓住“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系， 是解题的基础和关键：溶液=溶质+溶剂；浓度=溶质三溶液；溶质=溶液X浓度；溶液=溶质三浓度核心提示在“浓度问题”中，有一类题型不涉及具体溶液总量，只涉及溶质与溶剂的相对比例。 这类问题非常抽象，我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值，从而简化计算。/要点评述“牛吃草问题”是一类经典的、常考不衰的数学运算题型。这种题型源自于小学奥数，但最有效的做 题方法并不是小学奥数当中的方法，而是利用核心公式列方程组来解题。其本质为“比例型工程问题”与 “追及型行程问题”的结合。核心公式：Y = （NX）XT1. “Y”代表原有存量（比如“原有草量”）；2. “N”代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）；3. “X”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）；4. “T ”代表存量完全消失所耗用时间。 核心提示当题目中有牛有羊时，需要将其全部转换为牛或者羊，再代入公式进行计算。 核心提示如果解方程组算得x为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的。 核心提示如果草场有面积区别，如“M头牛吃W亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上的牛 数。/要点评述边端问题是一类特殊的计数问题，这类问题建立在几何意义的模型之上，需要考生通过平面几何的思 维和想象力来理解，才能有效完成答题。其中：理解与牢记各类题型当中的“关系”，是解答“边端问题” 的关键。植树问题核心公式1. 单边线型植树公式：棵数=总长三间隔+1；总长=（棵数-1）X间隔2. 单边环型植树公式：棵数=总长三间隔；总长=棵数X间隔3. 单边楼间植树公式：棵数=总长三间隔-1；总长=（棵数+1）X间隔4. 双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的 2 倍/方阵问题重叠点思维计算方阵各边人数总和时，把各边的人数相加，还需要减去重复计算的数目，才是真正的总数，譬如：方阵最外圈人数=4N-4；方阵中，相邻两圈人数相差“8”。 排队问题核心要点假设队伍共有N人，A排在第M位，则A前面有（M-1）人，后面有（N-M）人。 爬楼问题核心要点从地面爬到第N楼，要爬N-1层；从第M楼爬到第N楼，要爬层。 锯管问题核心要点将钢管截成N段，需要截N-1次。/要点评述一般来说，年龄问题通过方程法解答最为有效，而“年龄差不变”是题型的核心所在。 核心提示有一类典型的年龄问题，如果列方程求解，或者直接代入，都会比较复杂；但如果转化为等差数列问 题（因为年龄差不变），然后使用“平均分段法”，便能迅速得到答案。数学基础知识附录一、数学基本公式1. 平方差公式： a 2b2= （ab）（ab）2. 完全平方公式：（ a b） 2= a22abb23. 完全立方公式：（ a b） 3= a33a2b3ab2b34. 立方和差公式： a 3b3=（ab）（a2 abb2）二、奇偶运算基本法则1. 奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+奇数=奇数；奇数+偶数=奇数；2. 奇数-奇数=偶数；偶数-偶数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数；3. 奇数X奇数=奇数；偶数X偶数=偶数；偶数X奇数=偶数；奇数X偶数=偶数;4. 奇数的N次幕为奇数；偶数的N次幕为偶数；5. 两个数的和为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和为偶数，则它们奇偶相同；6. 两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。 三、2、4、8、5、25、125 整除判定1. 能被2（或 5）整除的数，末一位数字能被2（或 5）整除；2. 能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；3. 能被8（或 125）整除的数，末三位数字能被8（或 125）整除；4. 一个数被2（或 5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或 5）除得的余数5. 一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数6. 一个数被8（或 125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数四、3、9 整除判定1. 能被3（或 9）整除的数，各位数字和能被3（或 9）整除。2. 一个数被3（或 9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或 9）除得的余数。五、11 整除判定1. 能被 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。六、7 整除判定1. 能被 7 整除的数，末三位与前位数的差，能被7 整除。2. 能被 7 整除的数，末一位的两倍与前位数的差，能被7 整除。七、比例倍数判定1. 如果a:b=m:n （m,n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。2. 如果 a:b=m:n （m,n 互质），则 a b 是 m n 的倍数。八、公倍数、公因数、最小公倍数、最大公因数及互质1. 能同时整除一组数中的每一个数的数，称为这组数的公因数；2. 能同时被一组数中每一个数整除的数，称为这组数的公倍数。3. 一组数的所有公倍数中最小的正整数为这组数的最小公倍数；4. 一组数的所有公因数中最大的正整数为这组数的最大公因数。九、“多位特殊数”及其对应分数, , , , 由-，可易知其他分母为9的分数的值；由一，可易知其他分母为11的分数的值；由-，可易知其他分母为7的分数的值；因为:十、常用无理数之对应数值/五大基础题型：等差数列（1、3、5、7、9）等比数列（1、2、4、8、16）质数数列（质数：2、3、5、7、11；合数：4、6、8、9、10、12）周期数列（3、5、9、3、5、9）直接递推数列：前两项直接“+、-、X、三”得到第三项。核心提示做商数列相对做差数列的特点是：多重数列两种形态：多重数列两个特征：逻辑思维图二项逋推敷列看賀字特征0秒）甘广幕锐数時征O帚次數列&其桂正甦列K1甑倍数关系两两核商核心提示对于未知项在中间的多级数列，需要我们采取先“猜”后“验”的方式。“二级等比数列”全部可以看成“递推倍数数列”，其修正项为一常数数列/分数数列基本处理方式遇到少量整数时，将整数化为分母为 1 的分数；基础技巧：分组规律、交叉影响、广义通分（将分子或分母统一） 热点技巧：反约分（将某些分数的分子和分母同时扩大）。/常用非唯一变换1. 数字0的变换：0 = ON (NH0)；2. 数字 1 的变换： 1=a0=1N=(-1)2N (a 0)；3. 特殊数字变换： 16=24=42； 64=26=43=82； 81=34=92； 256=28=44=162512=29=83； 729=93=272=36； 1024=210=45=322；4. 个位幂次数字： 4=22=41； 8=23=81； 9=32=91。