数值分析复习总结题

3 -十-(十)2 2 21 (x)二(x +1 x(x 一 扌)3=(x +1)x(x 一 l).2第一章 引论1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12 分） 答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果； 建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差： 截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。第二章 多项式插值1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：(1)xi-101/21fi-3-1/201(2)xi-101/21fi-3/2001/2解(1)：方法一.由Lagrange插值公式L (x)二 f -1 (x) + f -1 (x) + f -1 (x) + f -1 (x)3 0 0 1 1 2 2 3 31 o( x)二:2 ：)；2)_1 x( x 一 严x 一1),2(x +1)( x 1)( x 1)1 (x)二2二 2(x2 1)(x +)，1 1 221( x)二吕斗一缸 x2 1)x ,3斗(斗)3可得：厶3（x）二 x2（x 1/2）3、已知1345f(Xf)2654分别用拉格朗日捕值法和牛顿插值法求 W 的三次插值多项戎只、并求f 的逬似值(蒔留四位4、数)(t-3)(x-4)(x-5j(x-1)(a-4)(a-5).心J = 2+6 答案 I 3U-3)(-4Kl-5)(3-1)(3-4(3-5)十于(a - !)(x-3)(x-5)十彳(a - I)(t-3)(a -4)(47X4-3X4耳(5-l)C$3)p*4)星南表为一阶均差二阶均毘三阶均基1236245-I-14-101“片(x) = Nj (x) =2 + 2(工一 I)(x 1)(ac 3 (A 1)( a l 3(尤一却) If匕片二5*55、已知f(x)在Xj，i - (1)4 的函数值如下表xi01234f (xi)0182764利用插值公式计算f(5)的值。(12分) 解：函数/(x)的差分表如下xifiA2 fA f00111676281201963 2718374 64x - 0.5,则丫 -(0.5 0)/1- 0.5，由 Newton 向前插值公式,可分别求得N1(x) - f0 + 牛t - 0 +1 x 0.5 - 0.5N2(x) - f0 + 牛t + 警t(t 1) - 0.25N3 (x) - N2 (x) + 01(t 1)(t 2) - 0.125 3!N (x) - N3 (x) + 心f0 t(t 1)(t 2)(t 3) - 0.125 + 0 - 0.125 434!例3设Xj=l2, 25步3,用三次插值多项 式求及犬2的近似值.解 相应的函数值及差分我如下:函数值一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分2.718284.481697.2890612J824920.085541.763412,903474.793437.9030S1.143961.886063.109620.742101.223560.48146求/(28)用Nwvtun后插公式，且由2.8=3+05：得t=-QA=20.08554 十 7.90305 x (-04)3.109622!(64)x(0.4 + 1)+ L22356 (-0,4) x (-0.4 +1)(-04 + 2)/(L2) A；(L2) -171828+176341 x04L143%2!0.4x(0,4-l)=15.7680872.函数值一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分2.718284.481697.28906 12J8249 20.08554L763412.903474,793437.903051.143961.886063.109620.742101.223560.48146求/(1*2)用Newton前插公式，且由1*2=1+0.5&得T.40 74210F-04x(04-1X04-2)= 33338632.第四章、数值积分算法梯形公式：Jbf (x)dx 沁 af (a) + f (b)a2中矩形公式：Jbf (x)dx Q(ba)f (a)a2辛普生公式：Jb f (x)dx q 辔f (a) + 4f (学)+f(b)a62梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。1. 复化梯形公式定理3设/( e C2a9b9则复化梯形公式有误差估计 l f(x)dx-T | 学 h1 max | fx |,2、复化辛甫生公式定理4设/(对e C*4砧，则复化辛甫生公式有误差估计3、复化柯特斯公式I f E -咔辔-(A -吧驚I严I拆自适应复化求积法基本思路：在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止o吐时的步长乩既能保证精度要求又使计算工作量最小.自适应复化梯形法的具体计算过程如下：步1Aml,b_aTi -/（）+ f（b）;步22/（%人敦十纹；步3判断迟一7|?若是，则转步5；步4 fi 2i2、h A / 2, T、 T1 ?转步2；步5输岀？；4+给出仞b上的复化样砂求赧公式及其自适应算法 解：复化梯殆公式（几）匚三fl八） +门心）1+【（）十八习）1十+ 八hn-i= -/(o)+ 2X/(Aj+ fWl2 (t=i愛化捧形丛式自适应求积界用：爭 I n tr- L/i- b - a, T, - y/（rt） +步2 T Sx步3列断I耳一石!W ?若暹则转步5；步 4 h 2川,h /?/2t T、 T、转步 2；（注：更化辛甫生公式:4.试给出a,b上复化辛普森求积公式，并描述其自适应算法.耳三?【/ (工討+ 4/(xx)+4/(x)+ /(x2)1O22+ + l /() + 4f(r_L)+ f嘤心)+ # 八忙丄)+ 2壬八心)+ /(6)其屮 h二b a，耳-1/2为S的中点真化辛甫生公式自适应求积算法:秋材142页)复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤：1m、/ r.a + b步 1： n J1, h J b 一 a, sf (a) + 4f(+ f (b)62步 2 :s j 尸2 f a + (k + 1)h - f a + (k + 1)h + 2 f a + (k + 4、利用辛甫生求积公式计算积分: 与复化辛普生公式的区别)h,424k=01 hs J s + s :2 2 16步3：判断s -s ?，若是，转步5；1 2C 7 h步 4： n J 2n, h J , s J s 转步 2；2 1 2步5 ：输出S2；三J5分(1)分别写茁匚/总的梯形公式和辛普工公式，井说明它们具有儿 次代毅秸度“ 求系数A|tAlt及节点xh x2l使得下面求积公式至少具有2次代数將度：I-12丄+X,并估计其误差。(10分)(注意6(1 -0) f()+解：由辛甫生求积公式， f(2 f (1)二 11 + 4 - 4 +1二 47 沁 0.7833365260=arctgxp0.78548804误差:|RJ 0.78549 - 0.78333| = 0.216 x 10-21已知函数f (x)在a,b上的各离散点：a二x x x . x x二b1232n2 n+1处的函数值f(x ), i二1,2, .,2n +1.试构造f (x)在a, b上的分段2次i插值多项式.2已知函数f (x)在a,b上的各离散点：a二x x x . x x二b012n-1n处的函数值 f(x ), i 二 0,1,2,.,n i1) 构造f (x)在a, b上的分段线性插值多项式.2) 假定f (x)在a, b上有连续的2阶导数，试估计以上分段插值的误差.2设f (x) = x2 求f (x)在区间0,1上的分段线性插值函数f (x)，并估计误差，取等距节点， h且 h = 1/10.解f (x)二 x 2 , xi 二 ih , i 二 O,1,10 , h = 110设 x xx ，则：x-xix - xi +1iii +1f (x) = f (x ) * 3+1 + f (x )hi x - xi +1x-ihhii +1=(i h)2 x-(i + 1)h + (i + 1)h)2-h(2i +1)i(i +1)x 10 100误差估计：maxix x(i+1)h|( x - ih)(x - (i + 1)h) 第五章 线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)1、 用 Gauss 逐步消去法解方程组-121 -x1 0223x2=3-1-30x32解：消元：12x1O021x=320十x壬232第 2 步：n x = 1, x = 1, x = 1 1 2 3第 1 步：0 - 212回代：2、利用Gauss顺序消元法求解方程组：（要求写出消元过程和回代过程）x + 2兀小+ 6兀小=912310 分）Q 2x 5x_ + 2x = 11234 x x +12 xo = 151269、(12252-109 411215 09nr兀+ 2込+ 6 x3900-2 - 2 丿(1)(2)(3)123代入（2）n x = 12均回代到（1）nx1 = 1x = 1， x = 1 ， x = 11，2，33、用Gauss顺序消元法求解方程组：（要求写出消元过程和回代过程）x. x_ + 2 x 2123 0367丿 0031丿nx1 x2+ 2 x3=2(1)V x 2+ 3 x3=2(2)X.3x3 =1(3)回代过程：由(1)得：x3 = 1代入( 2)n x 32均回代到(1)解：xA 丄x = 3 ，x 丄13，2，334、 用列主元消去法解方程组01221第 1 步：232_x1110x2021x一 Q 一30352320第 2 步：202x1x2x232 _x1o021x2=50十21x33335第 3 步：第 4 步：2 一x1_ 0 一1x25一分x174342302007 16 17x , x , x 132333五、（12分）用列主兀消去法解方程组_0 2 1_x110y=32 3 2z0回代：6、已知方程组_ 5x + x_ _ x_ _6123x. + 5x_ _ 2x_ _1123_ x. 2 x_ + 4 x_ 3123分别写出求解方程组的Jacobi迭代格式和Gauss _ Seidel迭代格式,并判别两种迭代格式的收敛性 .（12分）解：求解方程组的Jacobi迭代格式：x(k+1)丄 x(k)一 丄 x(k)+ 615 25 35x(k+1)丄 x(k)+ 2 x(k)一 丄25 15 35x(k+1)丄 x(k)+ 丄 x(k)+ 33 4 12 24求解方程组的Gauss _ Seidel迭代格式:x(k+1) 1 x(k)一 丄 x(k)+ 615 25 35 1,Gauss-Seidel迭代方法发散。7(P203试分别给出求解线性代数方程组AX = B的Jacobi迭代、GaussSeidle迭代解：将A = (a )分裂为ij其中A = D L UD =diag (a11，a 22, a ) nn-00 一 a0L =.21 .一 a 一 an 1n ,0n - 1 0-a12a1 ng0.JU =一 an 一 1, n_ 00 _Jacobi 迭代方法若a丰0，迭代格式iix (k+1)二 G x (k) + g；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的其中Jacobi迭代矩阵：G二D-1 (L + U)J值小于1 就是收敛，反之发散)g 二 D-1b式可写为分量形式(*1)x(k+1)=丄b -i a x(k), k 0. ia iij jiij=1j幻方法(*1)或称为Jacobi迭代方法.GaussSeidle 迭代方法若a丰0，迭代格式iix (k+1)二 G x (k) + gG其中，Gauss-Seidel迭代矩阵：二(D - L) 1U (若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收，反之发散)g 二(D L)-1 b其分量形式X (k +1)二iaiib -为 a x (k+1)-i ij jj-1工a x(k),i 二ij jj-i+11,2,，n.(*2)即，在计算新分量x (k+1)时，利用新值X (k+1) , j二1,2,i-1。ij迭代法 ( *2 )或称为GaussSeidel迭代方法。8、已知方程组5 x + x x = 6123 x + 5 x 2 x = -1123x 2 x + 4 x = 3123(1) 分别写出求解方程组的Jacobi迭代式和Gauss-Seidel迭代格式，并判别两种迭代式的 收敛性。(2) 利用Gauss顺序消元法解方程组。(要求写出消元过程和回代过程)9、给定方程组112证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.解：方程组：2x111x2-11x13121122Jacobi 方法：迭代矩阵：B = D -1(D A)特征方程：det(九I B” = 0或：det(D-1) det(九D (L + U)二 0XaaaX22111213aXaa=1X1=0212223aaXa22X313233九3 = 0 , p (B ) = 0 , Jacobi 方法收敛1Gauss-Seidel 迭代方法：迭代矩阵：B = (D 一 L)tU , det(九I B ) = 0 ,(特征方程)2 2或B 2的特征化为下面方程的根:det（X （D L） U）二 0即：haaa111213hahaa=0212223hahaha313233九3 4九2 + 4九+ 4九2 一h22hh1=02h2hh2h2 = 0九3 4九2 + 4九二 0，九（九一2）2 二 0h 1 = 0， h 1,2 = 2（重根）故G-S迭代方法发散。第七章非线性方程数值分析（牛顿迭代方法）六丄8分 对方程式”r2 - 4.t + J = 0 , 1 1（1）证明如下简单迭代法4 厲收敛;（2）写出上述方枉的牛顿迭代格式，并说明其收敛阶。七、（12分）试写出求解方程组3X2 一 x2 = 0,1 23 x x 2 一 x 3 一 1 = 0 I 1 21的牛顿迭代格式，并给出计算终止的条件？第八章欧拉方法y (0) = yo,1 1y (0) = y0-2 22、试列出解初值问题 y 二a y +a y , 1 11 1 12 2y 二 a y + a y , 2 21 1 22 2的改进Euler格式.解 求解此初值问题的改进Euler格式为:rh()h(y i = y i + 力 y 1 + a y 2 丿+ 力 y 1+ a y 2m+1m 211 m12 m 211 m+112 m+1)y1 、y 2 已知；这里 y1 、00m写成矩阵形式为y1y1ham+1-m+ 11y2y22am+1m213、 已知初值问题h C) hy 2 二 y 2 + 力 y 1 + a y 2 丿+ m+1m 221 m22 m 2y 2无限逼近y（x ) ， my2(2x ) 。 mm1ay1haay112m+ 1112m+1a22y2m2a21a22y2m+12iy m+1+a-y 222 m+1yf - x2 + y, 0 x 0.3y (0) - 2取步长h - ，用欧拉公式求出初值问题的解函数y的数值解.（10分）（保留4位小数）解:建立具体的 Euler 公式,yn+1 - yn + hf (Xn，儿)=乙 + X (叱 + 儿)将 y = y()= 2，xn x + nh = 0,1n，(n = 0丄2,3)代入可得y1 - y0 + 0.1X (x2 + y0) - 2 + 0.1(O + 2) - 2.2y2 - y1 + 0.1x (x2 + y1) - 2.2 + 0.1(0.12 + 2.2) - 2.421y3 - y2 + 0.1x (x2 + y2) - 2.421+ 0.1(0.22 + 2.421) - 2.6671八、（12分）用Euler方法求解常微分方程初值问题Vy (x) = f (x, y(x), a x b, b(a)= yo, yo e R