对傅立叶变换后图像空间域与频率域中垂直现象研究

对傅立叶变换后图像空间域与频率域中垂直现象的研究学生：杨诚目录n现象与疑惑n数学证明n推广n物理意义n研究现状与意义n待解决问题现象与疑惑现象与疑惑n输入图像为xy平面内任意一条水平线，幅度值为1(,)1 0,1,21;0,1,21f x yxaaNyN数学证明水平线n以前面提到的直线为输入图像(,)1 0,1,21;0,1,21f x yxaaNyN112()00111100002112000(,)(,)2()2()(,)cos()(,)sin()2()2()(,)(,)cos()(,)sin()ux vyNNjNNxyNNNNxyxyNNxyyF u vf x y euxvyuxvyf x yjf x yNNuxvyuxvyF u vf x yf x yNN 2110NNx 数学证明水平线2211200221100(,)cos(2()sin(2()22222222 (coscos sinsin)(sincos cossin)(cNNyyNNyyuavyuavyF u vNNNNuavyuavyuavyuavyNNNNNNNN11222200112222001122002222os)(cos)(sin)(sin)2222 (cos)(sin)(sin)(cos)22 (cos)(sin).NNyyNNyyNNyyuavyuavyNNNNuavyuavyNNNNvyvyNN.(1)数学证明水平线22000000000022cos()sin()2222 cos()cos()sin()sin()2222 cos()cos()sin()sin()NNNNNNNNNvyvydydyNNvyvyvyvydydydydyNNNNvyvtvyvtdydtdydtNNNN0000002222222 cos()cos()sin()sin()2 cos()22 sin()sin()22 cos(2)1 (2)(2NNNNNNNvyvtvyvtdydtNNNNvty dydtNNvNvNy dyy dyvNvNNNvv 2221222cos(2)1 )(,)cos(2)1 cos(2)1 (2)(2)0(,)0 0(,)vvNNF u vvvvvvF u vvF u vN由上式可知：当时，当时,由(1)式可知：与实验相符推广任意斜线11221212122x-y(,)(,)0,01(,),(,)0101(,)(,)(,)cos(2f x ycf x yla b clyaxbyaxbxNlx yxyxxNyNxxxf x yxxF u vf x y推广到平面上幅度值相同的任意斜线斜线 的方程可定义为：为常量 不为水平线假设 与正方形区域交与其中则可知在区间内才有值，这里令是为了后面讨论方便2211221111000022()(,)sin(2()()()cos(2()sin(2()2()2 cos()NNNNxyxyxxx xx xuxvyuxvyf x yNNNNuxv axbuxv axbccNNNNx uvavbcNN2211221122222()2sin()2()22()2 cos()sin()xxx xx xxxxxx uvavbcNNx uvavbx uvavbcdxcdxNNNN推广任意斜线2222122122221222220()()sin .(2)()()()sin (2)()sinsin 1 lim1 uva xxc NNuvauva xxNcxx原式设则：式易证得：当 趋近于零的211221()()0()010(2)Fourier-uva xxxxxxNuvavualyaxbu vl 时候出现最大值也就是：时出现最大值，这里有，因此：当时试出现最大值 时出现最大值结论：对比直线 方程：可知变换后在平面上幅度最大值将出现在与斜线 垂直的方向上推广任意直线n当直线上的灰度值不是一常量时，如下图：物理意义2()222()2()2()2()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)jxuyvxuyvjjxuyvjr njr nF u vf x y edxdyuvuvnu vrx yxyx yeeeF u vf x y edxdy 令表示沿着方向的单位向量表示在平面上沿着方向的向量物理意义02()00(,)(,)jr nF u vf x y edxdy 00(,)u v物理意义：与 方向垂直的直线上的点(x,y)频率相同物理意义n输入图像取特定的fringe patterns时：(,)sin()0,1,21 ;0,1,21f x yxyxNyN 物理意义实例n以前面提到的fringe patterns：sin(x+y)为例。n当把图像向u=v(或者说是x=y)方向投影并以f(x,y)灰度值为纵坐标时，可以近似得到右下角的图，可以看出f(x,y)在u=v这个方向上有固定频率 物理意义就是：输入函数sin(x+y)的所有点在u=v(或x=y)方向的投影所得到的函数只有一个频率为 的正弦分量，也就是说所有的点在u=v方向上只能在 上有值。这样就会产生“叠加”的效果，我们就可以在u-v平面上看见两个亮点。22000uv00(,)u v0研究现状与意义nThe Scientist and Engineers Guide to Digital Signal Processing By Steven W.Smith,Ph.D.chapter24-Linear Image Processing1.convolution to multiplication 2.Fourier Slice TheoremnA two-dimensional fast Fourier transform method for measuring the inclination angle of parallel fringe patterns.S.De Nicola a,*,P.Ferraro.Optics&Laser Technology 30(1998)167173“The line joining these two peaks in the frequency space is perpendicular to the inclination angle of the interference fringe pattern”0,0,Defining fringe patterns:(,)(,)(,)cos 22xyI x yA x yB x yfxfyc研究现状与意义nDetecting regular patterns using frequency domain self-filteringD.G.Bailey,Dept.of Phys.,Massey Univ.,Palmerston North,New ZealandImage Processing,1997.Proceedings.,International Conference onDownload from IEEE“The direction of the peak from the origin corresponds to the direction of the sinusoidal variation.”研究现状与意义nAnalysis of the Superposition of Periodic Layers and Their Moire Effects through the Algebraic Structure of Their Fourier SpectrumJournal of Mathematical Imaging and Vision 8,99130(1998)待解决问题n很多文章中提到当图像为有规律的Regular Patterns(or Regular Image)时会出现这样的垂直现象，但是推广时很困难，因为无法硬性的用数学表达式把Regular Patterns规定下来。只有“Detecting irregularities in regular patterns”提到“Defining regular pattern”但是作者是以Bravais lattice(布拉维点阵)为具体例子，所以现在只能说“在灰度值呈现规律变化的图像里会出现垂直现象”n前面提到的fringe patterns，还没能用式子证明出来，只能用物理意义进行理解致谢n感谢大家听我讲了这么多废话！感谢大家听我讲了这么多废话！