资源描述
1重积分的应用第四节一、二重积分的应用二、三重积分的应用三、小结2、立体的体积一)(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积xyz),(yxfz DDdyxfV),(、一般立体的体积、一般立体的体积2),(yxzz1),(yxzz2D dyxzyxzVD),(),(12一、二重积分的应用3例例1.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积.xyzRRo解解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:dxdyxRVD22822022xRdyxRdxxRR022)(83316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxdxR08222Ryx222Rzx42例例公共部分体积公共部分体积与与求球体求球体RzzyxRzyx22222222:解解求两球交线的投影求两球交线的投影zRzzyxRzyx消去消去由由2222222222243Ryx投影柱面方程投影柱面方程D投影域投影域22243Ryx222yxRz222yxRRz dyxRRyxRVD)(222222dRRdR2302220)2(3125R 5实例实例一颗地球的同步轨道通讯一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道通内，且可近似认为是圆轨道通讯卫星运行的角速率与地球自转讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在的角速率相同，即人们看到它在天空不动若地球半径取为天空不动若地球半径取为R，问卫星距地面的高度问卫星距地面的高度h应为多少？应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？通讯卫星的覆盖面积是多大？(二)、曲面的面积卫星卫星hoxz6设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),(dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS.dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图，d),(yxMdAxyzs o 7,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd,cos dAd,11cos22yxffdffdAyx221DyxdffA221曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(1所以当曲面的方程为：所以当曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在dxdyxyDyzxz22)()(18设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.dzdxAzxDxyzy221设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;dydzAyzDzxyx221同理可得同理可得9例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14AA ,1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,(yx10面面积积dxdyzzADyx 1221412224Ddxdyyxaacos0220142adada.4222aa 11例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0(a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解 解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx,2ayzy 12221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2daada022204122 a).15526(62a13(三)、平面薄片的质心),(yxxoy12(,)x y22(,)xy(,)nnxy1m2mnm设在平面上有n个质点，它们分别位于点，处，质量分别为，由力学知识知道该质点系的质心坐标 为，11niiyiniim xMxMm11niixiniim yMyMm1nyiiim x 1niiMm其中1nxiiiMm y为该质点系的总质量为该质点系对y轴的静矩。为该质点系对x轴的静矩。14当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyyxoyD(,)x yD设有一平面薄片占有平上的闭区域，在点处的面密度为，在上连续，则该薄片）yx,(）yx,(的质心：15例例1.求位于两圆sin2sin4和薄片的重心.oyx42D解解：利用对称性可知0 x而DydxdyAy1Dddsin312dsin4sin22d04sin9562956d204sin295637C。之间均匀0sin31d4321216(四)、平面薄片的转动惯量17,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量yxoyD(,)x yD设有一平面薄片占有设有一平面薄片占有平上的闭区域平上的闭区域，在点，在点处的面密度为处的面密度为，在在上连续，则该薄片上连续，则该薄片）yx,(）yx,(的对坐标轴的转到惯量：的对坐标轴的转到惯量：18例例 1 1 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy19babydxxdy0)1(02.1213ba同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx2.1213aboyxba20例例 2 2 已知均匀矩形板（面密度为常数已知均匀矩形板（面密度为常数）的长）的长和宽分别为和宽分别为b和和h，计算此矩形板对于通过其形，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx,hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标b,0 x.0yh21DxdxdyyI222222hhbbdxdyy.123 bh DydxdyxI2.123 hb 22薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222dayxxyxkFDx,)(),(23222dayxyyxkFDy.)(),(23222dayxyxakFDz为引力常数为引力常数k(五)、平面薄片对质点的引力xoyD(,)x yD设有一平面薄片占有设有一平面薄片占有平上的闭区域平上的闭区域，在点，在点处的面密度为处的面密度为，在在上连续，求该薄片上连续，求该薄片）yx,(）yx,(对位于对位于z轴上的点轴上的点（0,0,a）处单位质量的质点的引力。）处单位质量的质点的引力。23例例1 求面密度为常量、半径为求面密度为常量、半径为R的均匀圆形的均匀圆形 薄片：薄片：222Ryx ，0 z对位于对位于 z轴上的轴上的 点点),0,0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0(a 解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFFdayxyxakFDz23)(),(222dayxaD23)(1k222oyzxF24dadaR0222023)(1k.11222aaRka所求引力为所求引力为.112,0,022aaRka251.立体体积立体体积 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zdydxdV二、三重积分的应用二、三重积分的应用26oxyZa2例例1.求半径为a 的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zdydxdVcos202ardrdasincos316033)cos1(3443arMO说明说明:当2334aVcos20ar 020时,0sind20drdddrsin2就得到球的体积27设物体占有空间区域 ,有连续密度函数,),(),(dxdydzzyxdxdydzzyxxx,),(),(dxdydzzyxdxdydzzyxyydxdydzzyxdxdydzzyxzz),(),(),(zyx则其重心坐标为:当),(zyx常数常数 时,则得形心坐标：,Vdxdydzxx,VdxdydzyyVdxdydzzzdxdydzV物体的体积2.物体的重心物体的重心28例例2.一个炼钢炉为旋转体形，它的曲面方程为3039222zzzyx,)()(若炉内储有高为 h 的均质钢液，且不计炉体的自重，试求它的重心。解解：利用对称性可知重心在 z 轴上，故0 yx)41229(923hhhzdydxdVhzdzz02)3(9zDhdxdyzd0oxhzVzdydxdzz则钢液体积29曲面方程为0 yx)41229(922hhhV钢液体积,)3()(9222zzyxhzdzz022)3(9zDhdxdyzdz0zdydxdzMz)51233(923hhh225409043060hhhhhVMzZ303.物体的转动惯量物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数),(zyx类似于讨论物体重心的方法,先用“大化小大化小,常代变常代变”得到质点系对 z 轴 的转动惯量近似值:kkkkkkv),()(22令 ,就得到物体对 z 轴 的转动惯量0zdydxdzyxyxIz),()(22类似可得:zdydxdzyxIx),(zdydxdzyxIy),(nk 1zI)(22zy)(22zx xyoz31ol例例3.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,设所占域为2222:azyx则zIzdydxdyx)(22552a5158a ddrdr sin2用球坐标xzy132220d34sinrd03sin)sinsincossin(222222rrrdra04问题：如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分？问题：如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分？222zyxr G 为引力常数四、物体的引力四、物体的引力设物体占有空间区域,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3Rxyzo例例4.求半径 R 的均匀球2222Rzyx对位于)(),0,0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRaz点zDazyxyx23222)(dd0MazDRRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量36几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）三、小结37175410P习题习题12,11),1(98),1(7,5)1(4,2，181P总习题十总习题十12111032865213412,),)(,),)(),)(38思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar 39ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x,0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答40一、一、求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积.二、二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心.三、三、设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片,腰长为腰长为a,各点处的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片求薄片的重心的重心.四、四、设均匀薄片设均匀薄片(面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成,求求xI和和yI.练练 习习 题题41五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片:0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(,0,0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F.六、设由六、设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板(密度密度1),1),求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小?42一、一、2.二、二、)0,)(2(22bababa .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(,0221222aRaRfa练习题答案练习题答案
展开阅读全文