6.3(统计量与抽样分布)

6.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆为一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据的数据 对样本的加工是十分重要的对样本加工，主对样本的加工是十分重要的对样本加工，主要就是构造统计量要就是构造统计量6.3.1 6.3.1 统计量统计量定义定义6.1 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的样本，的样本，称称不含未知参数的样本的函数不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，Xn)为为统计量统计量若若x1，x2，.，xn为样本观测值，则称为样本观测值，则称g(x1，x2，.，xn)为统计量为统计量g(X1，X2，Xn)的观的观测值测值.统计量是处理、分析数据的主要工具对统计统计量是处理、分析数据的主要工具对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数入进行计算，因而不能含有任何未知的参数 6.36.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布【例【例】设设X1，X2，Xn是来自总体是来自总体X的样本，的样本，XN(，2)，其中，其中 、2为未知参数，则为未知参数，则X1，min X1，X2，Xn 均为统计量，均为统计量，但诸如但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数等均不是统计量，因它含有未知参数 或或 下面介绍几种常用的统计量下面介绍几种常用的统计量 6.3.1 6.3.1 统计量统计量,312121XX ,)(112 niiXn 1X 设设X1，X2，Xn为总体为总体X的样本，的样本，x1，x2，.，xn为样本观测值，为样本观测值，(1)样本均值样本均值 常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为值为 6.3.26.3.2常用的统计量常用的统计量 niiXnX11 niixnx11 (2)样本方差样本方差 (3)样本标准差样本标准差 样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量.观测值分别为观测值分别为 6.2.16.2.1 统计量统计量 niiXXnS122)(11,)(11122 niixxns2SS niixxnss122)(11 niiXnXn12211 (4)样本样本k阶原点矩（简称样本阶原点矩（简称样本k阶矩）阶矩），(k=1，2，)(5)样本样本k阶中心矩阶中心矩 ，(k=2，3，)显然显然Ak和和Bk的观测值分别记为的观测值分别记为 6.2.16.2.1 统计量统计量 nikikXnA11 nikikXXnB1)(1,1XA niiXXnB122)(1,11 nikikxna nikikxxnb1)(1 6.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布6.3.3 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布为了研究抽样分为了研究抽样分布，先研究数理统计中三种重要的分布布，先研究数理统计中三种重要的分布 一一.2分布分布 定义定义6.3 设设X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量分布，则称随机变量服从服从自由度自由度为为n的的 2分布分布，记为，记为 2 2(n)此处自由度指的是此处自由度指的是 2中包含独立变量的个数中包含独立变量的个数 2(n)的概率密度为的概率密度为其中其中()称为伽马函数，称为伽马函数，niiX122 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 0,00,)(21)(212222xxexxfxnnn 0,)(01 dxexx(1/2),(1/2)(1/2)(3/2)1/2(1/2)(21)!/2nnnnn 2分布概率密度分布概率密度 图图6-1 2(n)分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线可以看出，随着可以看出，随着n的增大，的图形趋于的增大，的图形趋于“平缓平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动 0,00,)(21)(212222xxexxfxnnn 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 2分布具有下面性质：分布具有下面性质：(1)(可加性可加性)设设 是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，且且 (2)设设 证明证明 (1)由由 2分布的定义易得证明分布的定义易得证明 (2)因为因为 相互独立、同分布于相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量的随机变量X1，X2，Xn，使，使则则2221,)(),(),(212222122221221nnnn 则则 niiX122)()(122 niiXEE.2)(,),(2222nDnEn ）（则则),(22n niiXE12)(niinXD1)(6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布由于由于Xi独立，且注意到独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为的四阶矩为3，可得，可得 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 niiXDD122)()(niiiXEXE1224)()(nin12)13(【例】设总体XN（0,1），X1，X2，X6是来自总体X的样本。又假设 试确定c,使得cY服从 分布。解：由已知条件及正态分布的独立可加性，有且 与 相互独立，显然应有c0,且456XXX22123456()()YXXXXXX2123(0,3)XXXN123XXX456(0,3)XXXN于是当3c=1，即c=1/3时，cY是两个相互独立且服从N(0,1)的随机变量的平方和，由定义得故当c=1/3时，cY服从 分布。456()(0,3)c XXXNc22123456()()cYc XXXc XXX123()(0,3),c XXXNc2(2)cY2二二.t分布分布定义定义6.4 设设X N(0，1)，Y 2(n)，X与与Y独立，独立，则称随机变量则称随机变量 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布，又称为学生氏分布又称为学生氏分布(Student distribution)，记为记为T t(n)t(n)的概率密度为的概率密度为 图图6-3 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布nYXT xnxnnnxfnt,1221)(212 图图6-3 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 显然显然t分布的概率密度分布的概率密度是是x的偶函数，图的偶函数，图6-3描绘了描绘了n=1，3，7时时t(n)的概率密度曲线作为比较，还的概率密度曲线作为比较，还描绘了描绘了N(0，1)的概率密度曲线的概率密度曲线 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 xnxnnnxfnt,1221)(212 可看出，随着可看出，随着n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲线与的概率密度曲线与N(0，1)的概率密度曲线越来的概率密度曲线越来越接近越接近可以证明可以证明t分布具有下面性质：分布具有下面性质：即当即当n趋向无穷时趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布近似于标准正态分布N(0,1)一般地，若一般地，若n 45，就可认为，就可认为t(n)基本与基本与N(0，1)相相差无几了差无几了 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 nexfxt,21)(22 三三.F分布分布定义定义6.5 设设X 2(n1)，Y 2(n2)，且，且X与与Y独立，独立，称随机变量称随机变量 服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布分布，记为记为FF(n1，n2)可以证明的概率密度函数为可以证明的概率密度函数为 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布21nYnXF 0,00,1222)(2212112221212111xxxnnnnxnnnnxfnnnnF 6.3.3 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 图图6-5 F分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 由由F分布的定义分布的定义容易看出，容易看出，若若F F(n1，n2)，则，则1/F F(n2，n1)21nYnXF 【例】设总体 ，而X1，X2，X15是来自总体X的简单随机样本。求 的分布解：因为 ，且两者相互独立，利用F分布的定义有2(0,2)XN1021152112iijiXYX21021(10)2iiX215211(5)2iiX1021152112iijiXYX210121511222iijiXX2101215111022102iijiXX21012151110252iijiXX(10,5)F分位数分位数 设设X为一随机变量，我们知道对于给定的实数为一随机变量，我们知道对于给定的实数x，PX x是事件是事件X x的概率在统计中，我们常的概率在统计中，我们常常需要利用给定事件常需要利用给定事件X x的概率，由此确定的的概率，由此确定的x是是一个临界点一个临界点,称为分位数称为分位数(点点),有如下定义：有如下定义：定义定义 设设X为随机变量，若对给定的为随机变量，若对给定的 (0，1)，存在存在x 满足满足 PX x =，则称则称x 为为X的的上上 分位数分位数(点点)若若X具有密度具有密度f(x)，PX x =说明分位数说明分位数x 右边的一块阴影面积为右边的一块阴影面积为，即即 容易看出，容易看出，X的上的上 分位数分位数x 是是关于关于 的减函数，即的减函数，即 增大时增大时x 减少减少.下面给出几种常用分布的上下面给出几种常用分布的上 分位数的求法：分位数的求法：分位数分位数 dttfx)(1.设设Z N(0，1)，记，记N(0，1)的上的上 分位数为分位数为z，即有即有PZ z =.由于由于(z)=PZ z =1 PZ z=1 ，由标准正态分布函数表（附表由标准正态分布函数表（附表3,P185）反过来查，）反过来查，即可以得到即可以得到z 的值的值.为使用方便，表为使用方便，表6-1列出了标准正态分布的几个列出了标准正态分布的几个常用分位数常用分位数z 的值的值表表6-1 常用的标准正态分布的分位数常用的标准正态分布的分位数 0.0010.0010.0050.0050.010.010.0250.0250.050.050.100.10z z 3.0903.0902.5762.5762.3262.3261.9601.9601.6451.6451.2821.282 分位数分位数由由N(0，1)的概率密度的对称性（见图的概率密度的对称性（见图6-6）可知）可知所以所以 z1-=z 图图6-6 z1-与与z 分位数分位数 11zZPzZPzZP2.设设 2 2(n)，记，记 2(n)的上的上 分位数为分位数为 2(n)，即，即有有P 2 2(n)=.附表附表5(p189)中给出了时中给出了时 2(n)的值，当的值，当n45时，时，由由 2(n)的渐近性质，有的渐近性质，有 分位数分位数22)12(21)(nzn 3.设设T t(n)，记，记t(n)的上的上 分位数为分位数为t(n)，即有，即有PT t(n)=；由由t(n)的概率密度的对称性的概率密度的对称性t1-(n)=t(n)图图6-7 t1-(n)与与t(n)附表附表6(p192)中给出了中给出了t(n)的值，当的值，当n45 时，由于时，由于t(n)近似近似N(0，1),所以所以t(n)z 分位数分位数4.设设F F(n1，n2)，记，记F(n1，n2)的上的上 分位数为分位数为F(n1，n2)，即有，即有 PF F(n1，n2)=附表附表7(p194)中给出部分中给出部分F(n1，n2)的值的值.另外，由于另外，由于FF(n1,n2)时时,1/F F(n2,n1)，所以所以故故 分位数分位数 ),(112nnFFP),(1),(12211nnFnnF ),(112nnFFP ),(1112nnFFP 1【例【例】求下列分位数：求下列分位数：(1)z0.025；20.05(20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)；(2)t0.975(4)；(3)t0.05(55)；(4)F0.9(14，10)；(5)20.975(200).解：解：(1)查表查表6-1知知z0.025=1.96也可由标准正态分布函数表（附表也可由标准正态分布函数表（附表3），对函数值），对函数值(z0.025)=1 0.025=0.975反查表得反查表得z0.025=1.96 分位数分位数 分别查附表分别查附表5、附表、附表6、附表、附表7得到得到 20.05(20)=31.410、t0.1(25)=1.3163、F0.05(10，15)=2.54;(2)在附表在附表6中没有中没有 =0.975，可先查出，可先查出t0.025(4)=2.7764，利用对称性得到，利用对称性得到t0.975(4)=t0.025(4)=2.7764 (3)在附表在附表6中查不到中查不到t0.05(55)，用近似公式，用近似公式t0.05(55)z0.05=1.645 分位数分位数(4)在附表在附表7中，查不到中，查不到F0.9(14，10)，但可查出，但可查出F0.1(10，14)=2.10，故故(5)在附表在附表5表中查不到表中查不到 20.975(200)，先查出，先查出z0.975=z0.025=1.96，再作如下近似计算再作如下近似计算27.162)1200296.1(21)12002(21)200(22975.02975.0 z 分位数分位数.476.010.21)14,10(1)10,14(1.09.0FF正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理 在数理统计问题中，正态分布占据着十分重要在数理统计问题中，正态分布占据着十分重要的位置，一方面因为在应用中，许多随机变量的的位置，一方面因为在应用中，许多随机变量的分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；另分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；另一方面，正态分布有许多优良性质，便于进行较一方面，正态分布有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究因此，我们着重讨论正态总体深入的理论研究因此，我们着重讨论正态总体下的抽样分布，给出有关最重要的统计量样本均下的抽样分布，给出有关最重要的统计量样本均值和样本方差值和样本方差S2的抽样分布定理的抽样分布定理 6.3.4 6.3.4 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理定理6.1 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体N(，2)的样本，的样本，则有则有 推论：推论：2(,)XNn(0,1)/XNn定理定理6.2 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体N(，2)的样本，的样本，S 2分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 (1)(2)与与S 2相互独立。相互独立。X;1)1(222）（nSn X定理定理6.3 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体N(，2)的样本，的样本，S 2分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 X)1(/ntnSX 证明：证明：由由 ，进而，进而 且且 根据根据t分布的定义分布的定义,2相相互互独独立立与与SX),(2nNX ,1)1(222）（nSn )1,0(/NnX )1(/)1()1(/22 ntnSXnSnnX 【例【例】某厂生产的灯泡寿命近似服从正态分布某厂生产的灯泡寿命近似服从正态分布N(800，402)，抽取，抽取16个灯泡的样本，求平均寿命个灯泡的样本，求平均寿命小于小于775小时的概率小时的概率.解：解：设灯泡寿命总体为设灯泡寿命总体为X，因为因为XN(800,402),n=16,所以样本均值所以样本均值 故故),1640,800(2NX)100,800(NX即即 1080077510800775XPXP0062.0)5.2(15.210800 XP【例【例】设总体设总体XN(62，102)，为使样本均值大于，为使样本均值大于60的概率不小于的概率不小于0.95，样本容量，样本容量n至少应该取多大？至少应该取多大？解：解：设所需的样本容量为设所需的样本容量为n,由于由于又又查表得查表得 即即从而取从而取n=68即可满足条件。即可满足条件。62(0,1)10XNn626062(60)10/10/XP XPnn1(0.2)(0.2)nn 0.950.21.65n 67.65n【例【例】设设X1，X2，Xn为总体为总体X N(，2)的的样本，求样本方差样本，求样本方差的均值和方差的均值和方差 解：解：本题可以通过本题可以通过 2分布的均值和方差简单求分布的均值和方差简单求出由定理出由定理6.2,所以有所以有 于是于是 niiXXnS122)(11）（1)1(222 nSn ,1)1(22 nSnE)1(2)1(22 nSnD ,22 SE .1242 nSD 定理定理6.4 设设 ，分别为来自分别为来自N(1,12)和和N(2,22)的样本，且它们相互独立，的样本，且它们相互独立，设设 ，S12，S22，分别为相应样本的样本均值和，分别为相应样本的样本均值和样本方差，则样本方差，则 (1)(2)1,21nXXX2,21nYYYXY12221212()(0,1)XYUNnn)1,1(/2122222121 nnFSS 证：证：(1)由于由于 ,，又又 与与 独立，故由正态分布的性质知独立，故由正态分布的性质知所以所以 )/,(1211nNX )/,(2222nNY XY),(22212121nnNYX )1,0()(22212121NnnYX 证证(2)由定理由定理6.2，且来自两个总体的样本是独立的，由且来自两个总体的样本是独立的，由F分布的定义分布的定义知知 ),1()1(1221211 nSn )1()1(2222222 nSn )1,1(1)1(1)1(2122222121222222121211 nnFSSnSnnSn 【例【例】设设X1，X2，X25，Y1，Y2，Y25分别分别为来自两个独立总体为来自两个独立总体N(0，16)和和N(1，9)的样本，的样本，和和 分别表示相应的样本均值，求分别表示相应的样本均值，求 解：解：因为因为 ，且相互独，且相互独立，所以立，所以故故 =1 0.8413=0.1587XYYXP 259125160，NYNX 1,12592516,1 NNYXYXP)1(111)1(1010 YXPYXPYXP【例【例】若从方差相等的两个正态总体中分别抽出若从方差相等的两个正态总体中分别抽出n1=8和和n2=12的独立样本，样本方差分别为的独立样本，样本方差分别为S12和和S22，求，求 解：解：由于由于 ，n1=8，n2=12，所以所以因此因此 查表知查表知F0.01(7，11)=4.89，即，即PF 4.89=0.01，故故89.4/2221 SSP2221 )11,7(22222121FSSF )11,7(2221FSS89.4189.489.42221 FPFPSSP99.001.0189.42221 SSP作业：P130 习题6.3 5、9