等腰三角形的性质定理

2.3等腰三角形的等腰三角形的 性质定理性质定理（1 1）有有_的三角形的三角形 叫做等腰三角形叫做等腰三角形A AC CB B腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角 (1)（3）从图形的对称性来说从图形的对称性来说，等腰三角形等腰三角形是是_图形图形,它的它的对称轴对称轴是是 _ 顶角平分线所在的直线。顶角平分线所在的直线。(2)底边和腰相等的等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形 是是_三角形？三角形？等边等边两边相等两边相等轴对称轴对称 已知已知:在在ABC中，中，AB=AC求证求证:C=BACBD“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”ACB 已知：如图，已知：如图，ABC中，中，AB=AC求证：求证：C=BD证明：作底边证明：作底边BC上的中线上的中线AD AB=AC (已知）AD=AD （公共边）BD=CD (中线的定义）ABD ACD B=C （全等三角形 对应角相等）(SSS)在ABD 和 ACD中等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.也可以说成也可以说成“在同一个三角形中在同一个三角形中,等边对等角等边对等角”用符号语言可表示为：用符号语言可表示为：在在ABC中中 AB=AC B=CACB运用等腰三角形性质定理可以进行运用等腰三角形性质定理可以进行简单的计算、推理、判断、简单的计算、推理、判断、.例例1 如图如图,在在ABC中中,AB=AC,A =50,求求 B ,C的度数的度数.B C A解解:AB=AC,B=C(等腰三角形的两个底角相等)A+B+C=180,A=50 1802ABC18050652BA底角底角顶角顶角底角底角顶角顶角 （2 2）等腰三角形的一个底角是等腰三角形的一个底角是7070，则其顶角是则其顶角是_ （3）如果如果等腰三角形的一个等腰三角形的一个内内角等于角等于70 那么它的底角度数那么它的底角度数_.（1）如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，外角外角 ACD=100，则，则B=_ ABCD100 （4）如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是那么它的底角是_度度小结：当等腰三角形中遇小结：当等腰三角形中遇“角角”的计算问题，的计算问题，需对各种可能的情况分类讨论需对各种可能的情况分类讨论804070或5572或 45ACB 推论推论 等边三角形的各角都相等，等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于并且每一个角都等于60 解：ABC是等边三角形 AB=BC=ACC=A=B（同一个三角形中等边对等角）推论也可以和定理、定义、性质、基本事实推论也可以和定理、定义、性质、基本事实 一一 样作为推理、论证的依据样作为推理、论证的依据 A=B=C=1803=60如何求等边三角形如何求等边三角形ABC的内角的内角 度数？度数？A+B+C=180已知已知AEF是等边三角形，是等边三角形，点点B,E，F,C在同一直线上，在同一直线上，且且BE=EF=FC，求求BAC的度数的度数。ABCEFABCDE“等腰三角形等腰三角形 两腰上的中线两腰上的中线 _”“等腰三角形等腰三角形 两腰上的高线两腰上的高线 _ ”“等腰三角形等腰三角形 两底角的平分线两底角的平分线 相等吗相等吗”？相等 相等已知：已知：如图如图，在在ABC中，中，ABAC，BD,CE分别是分别是ABC,ACB的平分线。的平分线。求证：求证：BD=CEABCDE例例2 求证求证“等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等”等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等 已知：已知：如图如图，在在ABC中，中，ABAC，BD,CE分别是分别是ABC,ACB的平分线的平分线求证：求证：BD=CEABCDE证明：AB=AC ABC=ACBBD,CE分别是分别是ABC,ACB的平分线的平分线2121(等边对等角）ECB=DBCBCE CBD(ASA)BD=CE(全等三角形对应边相等）ECB=ACB,DBC=ABC 等腰三角形底角的平分线相等如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，P为为BC的中点，的中点，点点D,E分别在分别在 AB,AC上，上，AD=AE 求证：求证：PD=PE.PD=PE.ABCPDE小结：小结：等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理-两个底角相等两个底角相等 （或等边对等角）为两个角相等又增加了（或等边对等角）为两个角相等又增加了一种证明方法一种证明方法等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征从角看从角看-从边看从边看-从从“三线三线”看看-从整体看从整体看-分类思想分类思想-在在 解决解决等腰三角形等腰三角形问题中问题中 有着重要有着重要 的作用的作用 两边相等两边相等两个底角相等两个底角相等两腰上的中线相等两腰上的中线相等两腰上的高线相等两腰上的高线相等 两底角平分线相等两底角平分线相等是轴对称图形是轴对称图形（1）已知等腰三角形ABC中，A=70求 B 的度数ABCF（2）已知）已知ABC中，中，AB=AC,且且BC=BF=AF 求求A 的度数的度数13解：BF=AF BF=BC 23+2+C=180 AB=AC 1=A 2=C ABC=C+2+2=180设A=则1=2=1+A=2 3=2-=A=36 C=ABC=2（等边对等角）（等边对等角）ABCABCABCFF(1)FA=FB BC=BF (2)FA=FB CB=CF(3)FA=FB FB=FCF结论：A=36A=22322（3）从等腰三角形纸片的）从等腰三角形纸片的 底角底角 顶点出发，将其剪成两个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形，求原等腰三角形纸片的顶角度数等腰三角形，求原等腰三角形纸片的顶角度数5=1807=180顶角顶角71800提示：等腰三角形，遇到边提示：等腰三角形，遇到边不确定时要分类讨论不确定时要分类讨论问题延伸问题延伸2：从等腰三角形纸片的：从等腰三角形纸片的顶点出发顶点出发，将其剪成两个等腰三角形，将其剪成两个等腰三角形，求出此等腰三角形纸片的顶角度数求出此等腰三角形纸片的顶角度数课后再思考：课后再思考：ABC（2）在）在ABC中，中，AB=AC，AB的中垂线与的中垂线与AC所在所在的直线的直线相交所得的锐角是相交所得的锐角是42，求，求BEFABCEFB=66B=24在没有明确等腰三角形的具体形状时，我们在没有明确等腰三角形的具体形状时，我们要考虑顶角是锐角，直角或钝角的情形。要考虑顶角是锐角，直角或钝角的情形。4242等腰三角形的顶角的等腰三角形的顶角的外角等于底角的外角等于底角的2倍倍知识提升二知识提升二：请你判断ABCDE (1)如 图（1），若AD=AE,则 C=B （）(2)如图（2），若 AE=EC，则 BE平分 ABC ()ABCE（1）（2）“等边对等角等边对等角”是指是指“在同一个三角形中，在同一个三角形中，相等的边所对的角相等相等的边所对的角相等”(3)如图（3)在ABC中，BC=BA ,则A=C（）（3）CAB将一把等腰三角尺和一个重锤如将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根讲台边沿是图放置，就能检查一根讲台边沿是否水平，你知道为什么吗？否水平，你知道为什么吗？等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角是50，试求出它顶角的度数挑战自己挑战自己：提示：等腰三角形遇“高线”问题中，要考虑高线在三角形内部和外部两种情形。5050顶角顶角140顶角是顶角是40 1 1）等腰三角形等腰三角形一个性质定理一个性质定理：本节课的我们学习了 2 2）等腰三角形等腰三角形一个推论：一个推论：简称：等边对等角 等边三角形的每个内角都等于60 利用利用等腰三角形的性等腰三角形的性质定理质定理 可进行简单的 推理，计算推理，计算。4)分类思想分类思想:在数学解题中起着非常重要的作用3）两底角相等两底角相等