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第三讲 定点、定值与最值问题一、主干知识一、主干知识1.1.定点问题：定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.2.2.定值问题：定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题问题.3.3.最值问题的两大求解策略：最值问题的两大求解策略：解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根即根据条件列出所求的目标函数据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的结构特征直接，然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.二、重要结论二、重要结论1.1.直线与圆锥曲线相交的问题，牢记直线与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求的联立方程，把要求的量转化为根与系数的关系量转化为根与系数的关系”.2.2.有关弦长问题，牢记弦长公式有关弦长问题，牢记弦长公式 及根与系数的关系，及根与系数的关系，“设而不求设而不求”；有关焦点；有关焦点弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算.3.3.涉及弦中点的问题，牢记涉及弦中点的问题，牢记“点差法点差法”是联系中点坐标和弦是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法所在直线的斜率的好方法.212AB1kxx12211|yy|k4.4.求参数范围的问题，牢记求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式不等式的来源可以是的来源可以是00或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等量的范围等.5.5.牢记曲线牢记曲线f f1 1(x,y)+f(x,y)+f2 2(x,y)=0(x,y)=0(为参数为参数)过曲线过曲线f f1 1(x,y)=0(x,y)=0与与f f2 2(x,y)=0(x,y)=0的交点的交点.1.(20131.(2013昆明模拟昆明模拟)已知直线已知直线x=tx=t与椭圆与椭圆 交于交于P P，Q Q两两点，若点点，若点F F为该椭圆的左焦点，则为该椭圆的左焦点，则 取最小值时取最小值时t t的值为的值为_._.【解析【解析】椭圆的左焦点椭圆的左焦点F(-4,0),F(-4,0),根据对称性可设根据对称性可设P(t,y),Q(t,-yP(t,y),Q(t,-y)，则则 =(t+4,y),=(t+4,-y),=(t+4,y),=(t+4,-y),所以所以 =(t+4,y)=(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)(t+4,-y)=(t+4)2 2-y-y2 2.又因为又因为所以所以 =(t+4)=(t+4)2 2-y-y2 2=t=t2 2+8t+16-9+t+8t+16-9+t2 2=所以当所以当 时，时，取值最小取值最小.答案：答案：22xy1259FP FQ FPFQ FP FQ 222t9y9(1)9t,2525FP FQ 925234t8t7,25b50t2a17 FP FQ 50172.(20132.(2013重庆模拟重庆模拟)以抛物线以抛物线y y2 2=8x=8x上的任意一点为圆心作上的任意一点为圆心作圆与直线圆与直线x+2=0 x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是标是_._.【解析【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线由抛物线定义知该圆必过抛物线y y2 2=8x=8x的焦点的焦点F(2,0).F(2,0).答案：答案：(2(2，0)0)3.(20133.(2013江西高考改编江西高考改编)已知点已知点A(2A(2，0)0)，抛物线，抛物线C C：x x2 2=4y=4y的的焦点为焦点为F F，直线，直线FAFA与抛物线与抛物线C C相交于点相交于点M M，与其准线相交于点，与其准线相交于点N N，则则FMMN=_.FMMN=_.【解析【解析】设直线设直线FAFA的倾斜角为的倾斜角为，因为，因为F(0,1)F(0,1)，A(2,0)A(2,0)，所以，所以直线直线FAFA的斜率为的斜率为 即即tan=tan=过点过点M M作准线的垂线交准线作准线的垂线交准线于点于点Q Q，由抛物线定义得，由抛物线定义得FM=MQFM=MQ，在，在MQNMQN中中可得可得 即即FMMN=1FMMN=1答案：答案：1112，12，MQ1,QN2MQ1MN5，5.54.(20134.(2013盐城模拟盐城模拟)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，抛物线中，抛物线的顶点在原点，焦点为的顶点在原点，焦点为F(1F(1，0)0)过抛物线在过抛物线在x x轴上方的不同两轴上方的不同两点点A A，B B作抛物线的切线作抛物线的切线ACAC，BDBD，与，与x x轴分别交于轴分别交于C C，D D两点，且两点，且ACAC与与BDBD交于点交于点M M，直线，直线ADAD与直线与直线BCBC交于点交于点N N(1)(1)求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程.(2)(2)求证：求证：MNxMNx轴轴.(3)(3)若直线若直线MNMN与与x x轴的交点恰为轴的交点恰为F(1F(1，0)0)，求证：直线求证：直线ABAB过定点过定点【解析【解析】(1)(1)设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，由题意，得由题意，得 即即p=2p=2所以抛物线的标准方程为所以抛物线的标准方程为y y2 2=4x=4x(2)(2)设设A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，且，且y y1 100，y y2 200由由y y2 2=4x(y0)=4x(y0)，得，得所以切线所以切线ACAC的方程为的方程为y-yy-y1 1=即即y yy y1 1=(x=(xx x1 1)整理，得整理，得yyyy1 1=2(x+x=2(x+x1 1)，p12，1y2 xyx，所以111xxx，12y且且C C点坐标为点坐标为(x x1 1，0)0)同理得切线同理得切线BDBD的方程为的方程为yyyy2 2=2(x+x=2(x+x2 2)，且且D D点坐标为点坐标为(x x2 2，0)0)由由消去消去y y，得，得x xM M=又直线又直线ADAD的方程为的方程为 直线直线BCBC的方程为的方程为 由由消去消去y y，得，得x xN N=所以所以x xM M=x=xN N，即，即MNxMNx轴轴122112x yx yyy1212yyxxxx，2112yyxxxx122112x yx yyy(3)(3)由题意由题意,设设M(1,yM(1,y0 0),),代入代入(2)(2)中的中的,得得y y0 0y y1 1=2(1+x=2(1+x1 1),y),y0 0y y2 2=2(1+x=2(1+x2 2).).所以所以A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)都满足方程都满足方程y y0 0y=2(1+x).y=2(1+x).所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y y0 0y=2(1+x).y=2(1+x).故直线故直线ABAB过定点过定点(-1,0).(-1,0).热点考向热点考向 1 1 定点的探究与证明问题定点的探究与证明问题 【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013郑州模拟郑州模拟)已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)(x(x1 1x x2 20)0)是抛物线是抛物线y y2 2=4x=4x上的两个动点上的两个动点,O,O是坐标原点是坐标原点,=0,=0,则直线则直线ABAB过定点过定点.(2)(2013(2)(2013聊城模拟聊城模拟)如图如图,已知椭圆已知椭圆C:(ab0)C:(ab0)的的离心率为离心率为 以原点以原点O O为圆心为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直椭圆的短半轴长为半径的圆与直线线x-yx-y+=0+=0相切相切.OA OB 2222xy1ab1,26求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.设设P(4,0),A,BP(4,0),A,B是椭圆是椭圆C C上关于上关于x x轴对称的任意两个不同的点，轴对称的任意两个不同的点，连结连结PBPB交椭圆交椭圆C C于另一点于另一点E E，证明动直线，证明动直线AEAE经过一定点经过一定点.【解题探究【解题探究】(1)(1)由由 =0=0，得，得y y1 1y y2 2为定值为定值_；当当x x1 1xx2 2时，直线时，直线ABAB的斜率的斜率k kABAB=_(用用y y1 1,y,y2 2表示表示)直线直线ABAB的方程为的方程为_.(.(用用y y1 1,y,y2 2表示表示)当当x x1 1=x=x2 2时，直线时，直线ABAB的方程为的方程为x=x=_.(2)(2)由离心率为由离心率为 _;由点到直线的距离求得由点到直线的距离求得b=b=_.证明动直线证明动直线AEAE经过一定点的关键是什么？经过一定点的关键是什么？提示：提示：关键选与直线关键选与直线PBPB有关的参数建立直线有关的参数建立直线AEAE的方程的方程.OA OB -16-16124yy(y(y1 1+y+y2 2)y=4(x-4)y=4(x-4)4 421,a2得24b33【解析【解析】(1)(1)因为因为所以所以x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0，y y1 1y y2 2=-16=-16，当当x x1 1xx2 2时，时，ABAB方程方程y-yy-y1 1=(y(y1 1+y+y2 2)y-y)y-y1 12 2-y-y1 1y y2 2=4x-4x=4x-4x1 1(y(y1 1+y+y2 2)y=4x-16,)y=4x-16,即即(y(y1 1+y+y2 2)y=4(x-4)y=4(x-4)经过经过(4,0)(4,0)，当当x x1 1=x=x2 2时，时，x x1 1=x=x2 2=4,=4,即直线即直线ABAB方程为方程为x=4x=4过点过点(4(4，0).0).答案：答案：(4(4，0)0)221122OA OB0,y4x,y4x,AB124k,yy1124(xx)yy(2)(2)由题意知由题意知所以所以又因为以原点又因为以原点O O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-yx-y+=0+=0相切，相切，所以有所以有所以所以故椭圆的方程为：故椭圆的方程为：c1,a22222222cab14,ab,aa43即66b3,1 1224ab4,322xy1.43由题意知直线由题意知直线PBPB的斜率存在；的斜率存在；设直线设直线PBPB的方程为的方程为y=k(x-4),y=k(x-4),由由得得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-32k-32k2 2x+64kx+64k2 2-12=0.-12=0.设点设点B(xB(x1 1,y,y1 1),E(x),E(x2 2,y,y2 2),A(x),A(x1 1,-y,-y1 1),),则则x x1 1+x+x2 2=x=x1 1x x2 2=()()直线直线AEAE的斜率的斜率k kAEAE=所以直线所以直线AEAE的方程为的方程为y-yy-y2 2=(x-x=(x-x2 2).).22yk x4,xy1,432232k,4k32264k124k31221yy,xx1221yyxx令令y=0,y=0,得得x=xx=x2 2+将将y y1 1=k(x=k(x1 1-4),y-4),y2 2=k(x=k(x2 2-4)-4)代入并整理得：代入并整理得：()()将将()()代入代入()()整理得整理得所以，直线所以，直线AEAE过定点过定点(1,0).(1,0).12212xxyyy1212122x x4 xxxxx822222264k1232k244k34k3x1.32k84k3【互动探究【互动探究】若本例若本例(1)(1)中抛物线方程为中抛物线方程为y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，且弦，且弦ABAB的中点到直线的中点到直线x-2y=0 x-2y=0的距离的最小值为的距离的最小值为 且且 求求抛物线方程抛物线方程.【解析【解析】设设ABAB中点中点C(x,yC(x,y),),则则若中点若中点C C到直线到直线x-2y=0 x-2y=0的距离为的距离为d,d,则则所以所以2 55OA OB0 ，1212xxx,2yyy,21212xx|yy|2d52212121|yyyy|4pd5当当y y1 1+y+y2 2=2p=2p时，时，d d有最小值有最小值由题设得由题设得所以所以p=2,p=2,此时抛物线方程为此时抛物线方程为y y2 2=4x.=4x.2222212121212yy2y y4p yy8pyy2p4p4 5p4 5pp,5p2 5,55【方法总结【方法总结】动线过定点问题的两大类型及解法动线过定点问题的两大类型及解法(1)(1)动直线动直线l过定点问题，解法：设动直线方程过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在斜率存在)为为y=kx+ty=kx+t,由题设条件将由题设条件将t t用用k k表示为表示为t=mkt=mk,得得y=k(x+my=k(x+m),),故动直线故动直线过定点过定点(-m,0).(-m,0).(2)(2)动曲线动曲线C C过定点问题过定点问题,解法：引入参变量建立曲线解法：引入参变量建立曲线C C的方程，的方程，再根据对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点再根据对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【变式备选【变式备选】(2013(2013南通模拟南通模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，抛中，抛物线物线C C的顶点在原点，焦点的顶点在原点，焦点F F的坐标为的坐标为(1,0)(1,0)(1)(1)求抛物线求抛物线C C的标准方程的标准方程.(2)(2)设设M,NM,N是抛物线是抛物线C C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为积为-4-4，直线，直线MO,NOMO,NO与抛物线的交点分别为点与抛物线的交点分别为点A,BA,B，求证：动直，求证：动直线线ABAB恒过一个定点恒过一个定点【解析【解析】(1)(1)设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，则，则 =1=1，p=2p=2，所以抛物线，所以抛物线C C的标准方程为的标准方程为y y2 2=4x=4x(2)(2)抛物线抛物线C C的准线方程为的准线方程为x=-1x=-1，设，设M(-1,yM(-1,y1 1)，N(-1,yN(-1,y2 2)，其中其中y y1 1y y2 2=-4,=-4,则直线则直线MOMO的方程为的方程为y=y=y y1 1x x，将，将y=y=y y1 1x x与与y y2 2=4x=4x联立，解得联立，解得A A点点的坐标为的坐标为 同理可得同理可得B B点的坐标为点的坐标为则直线则直线ABAB的方程为的方程为整理，得整理，得(y(y1 1+y+y2 2)y)y4x+4=0.4x+4=0.p221144(,yy)，22244(,),yy22222121244yxyy4444yyyy，由由故动直线故动直线ABAB恒过一个定点恒过一个定点(1(1，0)0)y0,y0,44x0,x1,解得热点考向热点考向 2 2 定值的探究与证明问题定值的探究与证明问题 【典例【典例2 2】(2013(2013北京模拟北京模拟)椭圆椭圆T T的中心为坐标原点的中心为坐标原点O O，右焦，右焦点为点为F(2,0),F(2,0),且椭圆且椭圆T T过点过点E(2E(2，).).ABCABC的三个顶点都在椭圆的三个顶点都在椭圆T T上，设三条边上，设三条边(AB,BC,AC)(AB,BC,AC)的中点分别为的中点分别为M M，N N，P.P.(1)(1)求椭圆求椭圆T T的方程的方程.(2)(2)设设ABCABC的三条边所在直线的斜率分别为的三条边所在直线的斜率分别为k k1 1,k,k2 2,k,k3 3，且，且k ki i0,i=1,2,3.0,i=1,2,3.若直线若直线OMOM，ONON，OPOP的斜率之和为的斜率之和为0.0.求证：求证：为定值为定值.2123111kkk【解题探究【解题探究】(1)(1)设椭圆设椭圆T T的方程为的方程为 (ab0),(ab0),则则a=a=_,b=,b=_.(2)(2)证明证明 为定值的两关键点为定值的两关键点:表示表示:将将 中的量中的量k k1 1,k,k2 2,k,k3 3用用_表示；表示；化简：利用约束条件：化简：利用约束条件：_化简得定值化简得定值.2222xy1ab2 22 2123111kkk123111kkk动点动点M,N,PM,N,P的坐标的坐标k kOMOM+k+kONON+k+kOPOP=0=0【解析【解析】(1)(1)设椭圆设椭圆T T的方程为的方程为 (ab0),(ab0),由题意知：左焦点为由题意知：左焦点为F(-2,0),F(-2,0),所以所以2a=EF+EF=2a=EF+EF=解得解得a=b=2.a=b=2.故椭圆故椭圆T T的方程为的方程为2222xy1ab23 24 2,2 2,22xy1.84(2)(2)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3),M(s),M(s1 1,t,t1 1),N(s),N(s2 2,t,t2 2),P(s),P(s3 3,t,t3 3).).方法一：由方法一：由两式相减，得到两式相减，得到(x(x1 1-x-x2 2)(x)(x1 1+x+x2 2)+2(y)+2(y1 1-y-y2 2)(y)(y1 1+y+y2 2)=0)=0，所以所以即即同理同理所以所以又因为直线又因为直线OMOM，ONON，OPOP的斜率之和为的斜率之和为0,0,所以所以22221122x2y8,x2y8,12121112121yyxxs11k,xx2 yy2 t 111t12,ks 322233tt112,2,ksks 312123123ttt1112(),kkksss 1231110.kkk方法二方法二：设直线设直线AB:y-tAB:y-t1 1=k=k1 1(x-s(x-s1 1),),代入椭圆代入椭圆x x2 2+2y+2y2 2=8,=8,得到得到化简得化简得以下同方法一以下同方法一.222111 1111 112kx4 tk sk x2 tk s80，11 11121214 tk skxx2s,12k111s1k.2 t【方法总结【方法总结】求解定值问题的两大途径求解定值问题的两大途径(1)(1)由特例得出一个值由特例得出一个值(此值一般就是定值此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明证明定值：将问题转化为证明代数式与参数代数式与参数(某些变量某些变量)无关无关(2)(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件正负项抵消或分子分母约分得定值的约束条件正负项抵消或分子分母约分得定值.【变式训练【变式训练】(2013(2013天津模拟天津模拟)已知已知E(2,2)E(2,2)是抛物线是抛物线C:yC:y2 2=2px=2px上一点，经过点上一点，经过点(2,0)(2,0)的直线的直线l与抛物线与抛物线C C交于交于A A，B B两点两点(不同于不同于点点E)E)，直线，直线EAEA，EBEB分别交直线分别交直线x=-2x=-2于点于点M M，N.N.(1)(1)求抛物线方程及其焦点坐标求抛物线方程及其焦点坐标.(2)(2)已知已知O O为原点，求证：为原点，求证：为定值为定值.OM ON 【解析【解析】(1)(1)将将E(2,2)E(2,2)代入代入y y2 2=2px,=2px,得得p=1,p=1,所以抛物线方程为所以抛物线方程为y y2 2=2x,=2x,焦点坐标为焦点坐标为(2)(2)设设 M(xM(xM M,y,yM M),N(x),N(xN N,y,yN N).).方法一：因为直线方法一：因为直线l不经过点不经过点E E，所以直线所以直线l一定有斜率一定有斜率.设直线设直线l方程为方程为y=k(x-2),y=k(x-2),与抛物线方程联立得到与抛物线方程联立得到消去消去x,x,得：得：kyky2 2-2y-4k=0-2y-4k=0，则由根与系数的关系得：则由根与系数的关系得：y y1 1y y2 2=-4,y=-4,y1 1+y+y2 2=1(,0).2221212yyA(,y),B(,y),222yk x2,y2x,2,k直线直线AEAE的方程为的方程为:即即令令x=-2,x=-2,得得y yM M=同理可得：同理可得：y yN N=又又 =(-2,y=(-2,yM M),=(-2,y),=(-2,yN N),),所以所以121y2y2x2,y2212yx22,y2112y4,y2222y4.y2OM ON12MN12121212122y4 2y4OM ON4y y4y2y244(44)4 y y2 yy4k440.4y y2 yy444k 方法二方法二：设直线设直线l方程为方程为x=my+2,x=my+2,与抛物线方程联立得到与抛物线方程联立得到消去消去x,x,得得:y:y2 2-2my-4=0.-2my-4=0.则由根与系数的关系得：则由根与系数的关系得：y y1 1y y2 2=-4,y=-4,y1 1+y+y2 2=2m,=2m,直线直线AEAE的方程为的方程为:即即 (x-2)+2,(x-2)+2,令令x=-2,x=-2,得得2xmy2,y2x,121y2y2x2,y2212yy21M12y4y,y2同理可得同理可得：又又 =(-2,y=(-2,yM M),=(-2,y),=(-2,yN N),),=4+y =4+yM My yN N=4+=4+2N22y4yy2OM ONOM ON 12124 y2y2y2(y2)121212124 y y2 yy44y y2 yy4444m440.44m4 热点考向热点考向 3 3 与圆锥曲线有关的最值与圆锥曲线有关的最值(范围范围)问题问题【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013厦门模拟厦门模拟)已知直线已知直线l1 1:4x-3y+6=0:4x-3y+6=0和直线和直线l2 2:x=-1:x=-1，抛物线，抛物线y y2 2=4x=4x上一动点上一动点P P到直线到直线l1 1和直线和直线l2 2的距离之和的距离之和的最小值是的最小值是_._.(2)(2013(2)(2013昆明模拟昆明模拟)直线直线y=kx-2y=kx-2与椭圆与椭圆 相交于相交于A A，B B两点，两点，O O为原点，在为原点，在OAOA，OBOB上分别存在异于上分别存在异于O O点的点的M M，N N，使得，使得O O在以在以MNMN为直径的圆外，则直线斜率为直径的圆外，则直线斜率k k的取值范围为的取值范围为_._.22xy143(3)(2013(3)(2013徐州模拟徐州模拟)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，已知椭中，已知椭圆圆E:(ab0)E:(ab0)的离心率的离心率 A A1 1,A,A2 2分别是椭圆分别是椭圆E E的的左、右两个顶点，圆左、右两个顶点，圆A A2 2的半径为的半径为a a，过点，过点A A1 1作圆作圆A A2 2的切线，切点的切线，切点为为P P，在，在x x轴的上方交椭圆轴的上方交椭圆E E于点于点Q.Q.求直线求直线OPOP的方程的方程.求求 的值的值.设设a a为常数，过点为常数，过点O O作两条互相垂直作两条互相垂直的直线，分别交椭圆的直线，分别交椭圆E E于点于点B B，C C，分别，分别交圆交圆A A2 2于点于点M M，N N，记，记OBCOBC和和OMNOMN的面的面积分别为积分别为S S1 1,S,S2 2,求求S S1 1SS2 2的最大值的最大值.2222xy1ab3e,21PQQA【解题探究【解题探究】(1)(1)关键：将动点关键：将动点P P到直线到直线l2 2:x=-1:x=-1的距离，转化为动点的距离，转化为动点P P到抛物到抛物线焦点线焦点F F_的距离，进而数形结合知，当点的距离，进而数形结合知，当点F F，P P及及P P在直在直线线l1 1上的射影三点上的射影三点_时，和最小时，和最小.(2)(2)关键：根据关键：根据_构建关于构建关于k k的不等式求解的不等式求解.(3)(3)AA2 2OP=OP=_,x xP P=_,x,xQ Q=_,_.求最大值的三个步骤：求最大值的三个步骤：()()引入变量：设直线引入变量：设直线OMOM的方程为的方程为_(1(1，0)0)共线共线O O在以在以MNMN为直径的圆外为直径的圆外6060a2a71PQQA1PQQAxxxxy=kx(ky=kx(k0)0)()()构建函数：构建函数：S S1 1S S2 2=_()()求最值：根据求最值：根据S S1 1S S2 2的结构特征，应选择用什么方法求其的结构特征，应选择用什么方法求其最值？最值？提示：提示：应分子、分母同除以应分子、分母同除以k k后，用基本不等式法求最值后，用基本不等式法求最值.【解析【解析】(1)(1)如图，因为抛物线的方程为如图，因为抛物线的方程为y y2 2=4x=4x，所以焦点坐标所以焦点坐标F(1,0)F(1,0)，准线方程为，准线方程为x=-1.x=-1.所以设所以设P P到准线的距离为到准线的距离为PB,PB,422a k14k(4k)则则PB=PF.PPB=PF.P到直线到直线l1 1:4x-3y+6=0:4x-3y+6=0的距离为的距离为PAPA，所以所以PA+PB=PA+PFFD,PA+PB=PA+PFFD,其中其中FDFD为焦点到直线为焦点到直线4x-3y+6=04x-3y+6=0的距离，的距离，所以所以所以距离之和最小值是所以距离之和最小值是2.2.答案：答案：2 22240610FD2,534(2)(2)联立方程组联立方程组消去消去y y整理得整理得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-16kx+4=0,-16kx+4=0,因为直线与椭圆有两个交点，因为直线与椭圆有两个交点，所以所以=(-16k)=(-16k)2 2-16(4k-16(4k2 2+3)0,+3)0,解得解得 因为原点因为原点O O在以在以MNMN为直径的圆外，为直径的圆外，所以所以MONMON为锐角，即为锐角，即 0,0,而而M M，N N分别在分别在OAOA，OBOB上且异于上且异于O O点，点，22ykx2,xy143，21k4OM ON 即即 0.0.设设A A，B B两点坐标分别为两点坐标分别为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),=(x =(x1 1,y,y1 1)(x(x2 2,y,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=(k=(k2 2+1)x+1)x1 1x x2 2-2k(x2k(x1 1+x+x2 2)+4=(k)+4=(k2 2+1)+1)解得解得 综合综合可知：可知：kk答案：答案：OA OB OA OB 22416k2k40,4k34k324k,32 311 2 3(,)(,).32232 311 2 3(,)(,)3223(3)(3)连结连结A A2 2P,P,则则A A2 2PAPA1 1P,P,且且A A2 2P=a,P=a,又又A A1 1A A2 2=2a,=2a,所以所以A A1 1A A2 2P=60P=60.所以所以A A2 2OP=60OP=60，所以直线所以直线OPOP的方程为的方程为y=x.y=x.由由知，直线知，直线A A2 2P P的方程为的方程为y=-(x-a),y=-(x-a),A A1 1P P的方程为的方程为联立解得联立解得x xP P=因为因为 所以所以故椭圆故椭圆E E的方程为的方程为333yxa,3a,23c3e,2a2即222231ca,ba,442222x4y1.aa所以所以Q22223yxa,a3x.7x4y1,aa 由解得1aa()PQ327.aQA4a7 不妨设不妨设OMOM的方程为的方程为y=kx(ky=kx(k0),0),联立方程组联立方程组22222222ykx,aakB(,),x4y1,14k14kaa1kOBa.14k解得所以用用 代替上面的代替上面的k k，得，得同理可得，同理可得，所以所以S S1 1S S2 2=OBOBOCOCOMOMONON=a=a4 4因为因为当且仅当当且仅当k=1k=1时等号成立，所以时等号成立，所以S S1 1S S2 2的最大值为的最大值为1k221kOCa.4k222a2akOM,ON,1k1k1422k.14k4k2222k11,1514k4k4(k)17k4a.5【方法总结【方法总结】1.1.与圆锥曲线有关最值的两种解法与圆锥曲线有关最值的两种解法(1)(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解的几何性质求解.(2)(2)构建函数法构建函数法:先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值.2.2.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解数形结合求解.(2)(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解量为元的不等式求解.(3)(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域再求其值域.【变式训练【变式训练】(2013(2013长春模拟长春模拟)已知椭圆已知椭圆C C的方程为的方程为(ab0)(ab0)，其离心率为，其离心率为 经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.3.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程.(2)(2)设直线设直线l:y:y=kx+m(|k|)=kx+m(|k|)与椭圆与椭圆C C交于交于A A，B B两点，两点，P P为椭圆为椭圆上的点，上的点，O O为坐标原点，且满足为坐标原点，且满足 求求 的取值的取值范围范围.2222xy1ab12，12OPOAOB ，|OP|【解析【解析】(1)(1)由已知可得由已知可得所以所以3a3a2 2=4b=4b2 2.又又解之得解之得a a2 2=4,b=4,b2 2=3.=3.故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为2222ab1e,a42b3,a222xy1.43(2)(2)消消y y化简整理得：化简整理得：(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-12=0,-12=0,=64k=64k2 2m m2 2-4(3+4k-4(3+4k2 2)(4m)(4m2 2-12)=48(3+4k-12)=48(3+4k2 2-m-m2 2)0)0设设A A，B B，P P点的坐标分别为点的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),(x),(x0 0,y,y0 0),),则则x x0 0=x=x1 1+x+x2 2=y y0 0=y=y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)+2m=)+2m=由于点由于点P P在椭圆在椭圆C C上，所以上，所以从而从而22ykxm,xy1,43由28km,34k26m.34k2200 xy1.43222222216k m12m1,34k34k化简得化简得4m4m2 2=3+4k=3+4k2 2,经检验满足经检验满足式式.又又因为因为 得得34k34k2 2+34,+34,有有故故2222222002222224m16k964k m36mOPxy34k34k34k 22216k934.4k34k31k,22331,44k3133OP.2 转化与化归思想转化与化归思想 解决圆锥曲线中的定点、定值与最值问题解决圆锥曲线中的定点、定值与最值问题【思想诠释【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)动直线、曲线过定点问题的求解，转化为含动直线、曲线过定点问题的求解，转化为含参数二元一次或二次方程恒成立问题参数二元一次或二次方程恒成立问题.(2).(2)与动点、动线有关式与动点、动线有关式子为定值问题的求证，转化为代数式的表示、化简、求值问子为定值问题的求证，转化为代数式的表示、化简、求值问题题.(3).(3)与圆锥曲线有关的最值问题的求解，转化成函数的最值与圆锥曲线有关的最值问题的求解，转化成函数的最值问题求解问题求解.2.2.解题思路：常常引入适量的参变量解题思路：常常引入适量的参变量(如动点坐标、动直线斜如动点坐标、动直线斜率等率等)，根据题设条件，构建方程、不等式或函数，将几何问，根据题设条件，构建方程、不等式或函数，将几何问题转化为方程恒成立或代数式的化简及函数的最值、不等式的题转化为方程恒成立或代数式的化简及函数的最值、不等式的求解等问题求解求解等问题求解.3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)恰当引入参变量，搞清量与量间的关系，将恰当引入参变量，搞清量与量间的关系，将几何问题代数化几何问题代数化.(2)(2)对一些参变量若取值情况不明确对一些参变量若取值情况不明确(如斜率如斜率)要准确分类讨论要准确分类讨论.【典例【典例】(16(16分分)(2013)(2013广州模拟广州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，动点中，动点P P在椭在椭圆圆C C1 1:+y:+y2 2=1=1上，动点上，动点Q Q是动圆是动圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2=r=r2 2(1r2)(1r2)上一点上一点.(1)(1)设椭圆设椭圆C C1 1上的三点上的三点A(xA(x1 1,y,y1 1),C(x),C(x2 2,y,y2 2)与点与点F(1,0)F(1,0)的距离依次成等差数列，线段的距离依次成等差数列，线段ACAC的垂直平分线是否经过一个定的垂直平分线是否经过一个定点？说明理由点？说明理由.(2)(2)若直线若直线PQPQ与椭圆与椭圆C C1 1和动圆和动圆C C2 2均只有一个公共点，求均只有一个公共点，求P,QP,Q两点两点的距离的距离PQPQ的最大值的最大值.2x22B(1,2)，【审题【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点：求线段切入点：求线段ACAC的中点、斜率，进而确定线段的中点、斜率，进而确定线段ACAC的垂直的垂直平分线的方程平分线的方程.关注点：用好线段关注点：用好线段ACAC的垂直平分线的垂直平分线.(2)(2)切入点：引入参变量，将切入点：引入参变量，将PQPQ用参变量表示用参变量表示.关注点：直线关注点：直线PQPQ的斜率不明确，需说明存在情况的斜率不明确，需说明存在情况.【解题【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)椭圆椭圆C C1 1:的离心率的离心率 右焦点为右焦点为(1,0)(1,0)，由题，由题意可得意可得因为因为2BF=AF+CF,2BF=AF+CF,所以所以即得即得x x1 1+x+x2 2=2.=2.3 3分分因为因为A,CA,C在椭圆上，故有在椭圆上，故有两式相减，整理得：两式相减，整理得：5 5分分22xy122e2，12222AF2x,BF2 1,CF2x.222122222x2x22 1,22222221212xxy1,y1,222121AC2121yyxxkxx2(yy)211.yy 设线段设线段ACAC的中点为的中点为(m,n(m,n),),而而所以与直线所以与直线ACAC垂直的直线斜率为垂直的直线斜率为k=yk=y2 2+y+y1 1=2n.=2n.则线段则线段ACAC的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为y-ny-n=2n(x-1)=2n(x-1),即即y=n(2x-1)y=n(2x-1)经过定点经过定点 7 7分分(2)(2)依题意得，依题意得，直线直线PQPQ的斜率显然存在，设方程为的斜率显然存在，设方程为y=kx+ty=kx+t,设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),由于直线由于直线PQPQ与椭圆与椭圆C C1 1相切，点相切，点P P为切点，为切点，从而有从而有1212xxyym1,n,221(,0).2112211ykxt,xy12 ，得得(2k(2k2 2+1)x+1)x1 12 2+4ktx+4ktx1 1+2(t+2(t2 2-1)=0.-1)=0.1010分分故故=(4kt)=(4kt)2 2-4-42(t2(t2 2-1)(2k-1)(2k2 2+1)=0,+1)=0,从而可得从而可得t t2 2=1+2k=1+2k2 2,x,x1 1=直线直线PQPQ与圆与圆C C2 2相切，则相切，则得得t t2 2=r=r2 2(1+k(1+k2 2),),1212分分由得由得k k2 2=并且并且PQPQ2 2=OP=OP2 2-OQ-OQ2 2=x=x1 12 2+y+y1 12 2-r-r2 2=x=x1 12 2+（1-1-）-r-r2 2=1+-r=1+-r2 2=1+=1+=3-r3-r2 2-1414分分即即PQ -1,PQ -1,当且仅当当且仅当r r2 2=(1,4)=(1,4)时取等号，时取等号，故故P P，Q Q两点的距离两点的距离PQPQ的最大值为的最大值为 -1.-1.1616分分2kt2tr,1k22r12r，21x221x22222kr12k22r232 221.222【点题【点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分失分点一点一不能建立不能建立处的线段处的线段ACAC的垂直平分线方程的垂直平分线方程,而而导致该问不得分导致该问不得分失分失分点二点二忽略忽略处讨论导致解题不全而失分处讨论导致解题不全而失分失分失分点三点三不能将不能将PQPQ表示成表示成处的关于处的关于r r的函数的函数,导致无导致无法求其最值而失分法求其最值而失分【变题【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013南通模拟南通模拟)如图，已知定点如图，已知定点R(0,-3)R(0,-3)，动点，动点P P，Q Q分别分别在在x x轴和轴和y y轴上移动，延长轴上移动，延长PQPQ至点至点M M，使，使 且且(1)(1)求动点求动点M M的轨迹的轨迹C C1 1.(2)(2)圆圆C C2 2:x:x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，过点，过点(0,1)(0,1)的直线的直线l依次交依次交C C1 1于于A A，D D两点两点(从左到右从左到右)，交，交C C2 2于于B B，C C两点两点(从左到右从左到右)，求证，求证:为定值为定值.1PQQM2 ，PR PM0.AB CD 【解析【解析】(1)(1)方法一：设方法一：设M(x,y),P(xM(x,y),P(x1 1,0),Q(0,y,0),Q(0,y2 2),),则由则由 及及R(0,-3),R(0,-3),得得化简，得化简，得x x2 2=4y.=4y.所以，动点所以，动点M M的轨迹的轨迹C C1 1是顶点在原点，开口向上的抛物线是顶点在原点，开口向上的抛物线.1PR PM0,PQQM2 111xxx3 y0,1xx.2 方法二：设方法二：设M(x,yM(x,y),),所以，所以，由由即即 化简得化简得x x2 2=4y.=4y.所以，动点所以，动点M M的轨迹的轨迹C C1 1是顶点在原点，开口向上的抛物线是顶点在原点，开口向上的抛物线.1xyPQQM,P(,0),Q(0,).223 由得x3xPR(,3),PM(,y).22 x3PR PM0,3)(x,y)0,22 ，得(23x3y04，(2)(2)由题意，得由题意，得 =AB=ABCD,CCD,C2 2的圆心即为抛物线的圆心即为抛物线C C1 1的的焦点焦点F.F.设设A(xA(x3 3,y,y3 3),D(x),D(x4 4,y,y4 4),),则则AB=FA-FB=yAB=FA-FB=y3 3+1-1=y+1-1=y3 3,同理同理CD=yCD=y4 4.当直线斜率为当直线斜率为0 0时，时，y y3 3=y=y4 4=1=1，可得，可得当直线斜率不为当直线斜率不为0 0时，时，设直线的方程为设直线的方程为x=k(y-1),x=k(y-1),AB CD AB CD1;即即k k2 2y y2 2-(2k-(2k2 2+4)y+k+4)y+k2 2=0,=0,所以所以,=AB,=ABCD=yCD=y3 3y y4 4=1.=1.222xk y 1,1yky 1,14yx,4由得AB CD
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