奇异值分解法计算广义逆#甄选.

奇异值分解法计算广义逆#精选.奇异值分解法计算广义逆线性最小二乘问题的广义逆求解（丁梁波 整理）对于任意的mxn方程组：Ax二b其中 A =a11 a1nx=x1b=b1am1 amnxnbm如果m = n，只要n方阵A非奇异，就有逆阵a一 1，从而得到解x二A-ib。然而，对于m丰n的一般情况，A是长方 阵，就没有通常的逆阵。不过它仍然可以有相应于特定方程类型的几种形式的广义逆矩阵，其中适于任何 情况的广义逆叫做Penrose广义逆，记为a +。于是，方程的解可以为：x = A+b由奇异值分解（SVD）可以将a分解为：A 二 USVt其中U，V分别为m ,n阶正交阵这样A的广义逆A +可表示为:A + 二 VZ-iUt其中Z-1 =Z-1r01E-1 =r0-1r这样我们可以看出，完成A的奇异值分解后，求解A的广义逆就变得很简单，从而可以方便地求出方程组的 最小二乘解。下面我们说明对矩阵进行奇异值分解的方法和步骤。通常情况下我们考虑mn时矩阵a的奇异值分解，因为当mn时，可以将n-m行补零使其成为方阵后再进 行分解。这样我们就将矩阵A的奇异值分解分为两大步，若干小步如下：一用 Householder 变换将 A 约化为双对角矩阵。具体步骤如下：1. 以A的第1列作为V，取i=l，按下列式子构造Householder矩阵Q 式中H为Q，为了方便以后的说明我们还用H表示ii(1)H = I -iUJI2,v ，,v ) T2i+1mz 2其中，u = (0,0，,v + sign(v ) v(z)iiiv(i)i i+1| = (g v2)1/22 k k = i2. 将Q左乘A得到矩阵Q A,并以Q A的第1行作为v,取i=2,按(1)式构造Householder矩阵H ,右1 1 1 2乘QA得到QAH。1 1 23. 取QA H的第2列为v, i=2，按(1)式构造Householder矩阵Q，左乘QA H，得到Q QA H，并将1 2 2 1 2 2 1 2计算Q Q将其存入Q。2 1 14. 取Q QA H的第2行为v, 1=3,按(1)式构造Householder矩阵H ,右乘Q QA H ,得到Q QA H H ,21232122123并将 H H 存入 H。2325. 依次类推，计算出QQQAH HH为双对角矩阵，并将QQQ存入到Q中，H HH存入到n n-1123n-1n n-11123n-1H 中。2QQ QAHn n-1H H 为双对角矩阵记为：3n-1p1Y2p2pn-1Yn pn需要注意的是：当m = n时，只计算到QQAH HHn-1 1 2 3 n-2二用原点位移QR算法进行迭代，计算所有的奇异值，并最终结合（一）计算出出U和V。1. 按下式列旋转矩阵 H2）0H=0式中c = g /r1r =揖 2 +g21 2g = P2 -C1 i 1(g =pY2122 )- 1n-12C = P2 +Y 2 + P2 +Y2 n nn -1并将计算 BH02. 按下式构造列旋转矩阵+ Y 2 - P 2 -y 2 ) + 4丫 2丫 2 12n n -1 n -1n n -1cs-s cQ1=1并计算 Q BH103. 构造列旋转矩阵c - s sc1并计算Q BHH以及HH1 0 1 0 14. 构造列旋转矩阵1 _c sQ2-s c11并计算Q Q BHH以及Q Q2 1 0 1 2 15. 按类似(3), (4)的方法构造列旋转矩阵，并计算相应的新矩阵QQ Q BHH H ,直到i=n，并记i2101i-1Q i = Q Q Q ， H i = H H H ， B 二 Qi 二 QQ BH H H1 n 2 1 1 0 1n-11 1 n 2 1 0 1n-1即 B 二 Q i BH i1 1 16. 判断B的次对角线元素是否在误差范围内可以认为是0若是则分解完毕，若否，则将B作为上面的B11重复步骤1, 2, 3, 4, 5, 6。直到B可以近似看作是对角阵。k即：B 二 Qk-iBHk-ikk-1 k-1 k-1记 Q = Qk-i2Qi ,k-i2 iH 二 HiH2 Hk-ii 2k-i则B的对角线元素就是矩阵A的奇异值，即a二uzvt中的丫已经求得，从上面的过程中我们可以将A按下面 k的式子进行分解：A 二 QQB HHik对比 A 二 UZVt ,U 二 QiQV 二 HtHt2这样我们就完成了矩阵A的奇异值分解，由于U和V都是正交阵，我们能够得到A的广义逆a +，从而可以根据下列公式计算方程组的最小二乘解：程序说明：程序共有一个主程序MAIN.FOR和三个主要功能子程序：MAIN.FOR主要功能有：方程组的初始化，输出系数矩阵及其广义逆、广义逆法的最小二乘解以及逆的逆对方法进行验证。BMUAV.FOR程序的核心部分，奇异值分解程序，输入系数矩阵，输出分解后的U, V, 丫 AGMIV.FOR计算广义逆a +以及方程组的最小二乘解BGINV.FOR仅计算广义逆a+ 另外还有一个奇异值分解的辅助小程序 SSS.FOR如有侵权请联系网站删除感谢您使用本店文档 您的满意是我们永恒的追求！ （本句可删）