【练习】人教A版(文科数学)第7章 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

4C2 22 4第 2 讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1.不等式(x2y1)(xy3)0 在直角坐标平面内表示的区域 (用阴影部分表 示)，应是下列图形中的( )解 析法 一x2y10，不 等 式 (x 2y 1)(x y 3)0 等 价 于 xy30或x2y10， xy30，画出对应的平面区域，可知 C 正确.法二结合图形，由于点 (0 ， 0) 和 (0， 4) 都适合原不等式，所以点 (0 ， 0) 和(0，4)必在区域内，故选 C.答案Cyx2，2.(2016 泰安模拟)不等式组yx1， 所表示的平面区域的面积为(y0)A.1B.12C.131D.解析作出不等式组对应的区域为 BCD，由题意知 xByx2， 1 ， x 2. 由 yx1， 1 1(x x ) .C B1 1得 y ，所以 S D BCD答案Dxy0，3.(2017 广州二测)不等式组xy2，的解集记为 D，若(a，b)D，则 zx2y22a3b 的最小值是( )A.4 B.1 C.1 D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当 a2，b0，z2a3b 取得最小值4.答案Ayx1，4.(2017 长春质量监测)若 x，y 满足约束条件yx1， 则 3x5y 的取值范y0，围是( )A.5，3 B.3，5 C.3，3 D.3，5解析作出如图所示的可行域及 l ：3x5y0，平行移动 l 到 l 过点 A(0，1)0 0 1时，3x5y 有最大值 5，平行移动 l 至 l 过点 B(1，0)时，3x5y 有最小值0 23，故选 D.答案D5.x，y 满足约束条件xy20，x2y20，若 zyax 取得最大值的最优解不唯一， 2xy20.则实数 a 的值为( )22xx1A. 或1B.2 或12C.2 或 1 D.2 或1解析如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax 取得最 大值的最优解不唯一，则 a1.答案Dxy30，6.若函数 y2x 图象上存在点(x，y)满足约束条件x2y30，则实数 m 的最xm，大值为( )1A.B.1C.32D.2解析xy30，在同一直角坐标系中作出函数 y2 的图象及 x2y30所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当 m1 时，函数 y2 的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.答案Bx 1，y 1，7.(2017 石家庄质检 )已知 x，y 满足约束条件 若目标函数 zy4xy9，xy3，mx(m0)的最大值为 1，则 m 的值是( )222 222A.209B.1 C.2 D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数 zymx(m0)为 ymxz，由图可知，当直线 ymxz 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，x1， x1， 由 解得xy3， y2，即 A(1，2)，2m1，解得 m1.故选 B.答案Bxy10，8.(2016 贵州黔东南模拟 )若变量 x、y 满足约束条件y1， 则(x2)2x 1，x 的最小值为( )3 2A.B. 5C.92D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设 z(x2) y ，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平y1， x0，方，由图知 C 、 D 间的距离最小，此时 z 最小 . 由 得 xy10 y1，即C(0，1)，此时 z (x2)min答案D二、填空题y415，故选 D.9.设变量 x，y满足约束条件xy20，xy20，则目标函数 y1，zx2y 的最小值为_.2 2 22 222 2122 22 2解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).1 1 1 1 1由 zx2y，得 y x z， z 的几何意义是直线 y x z 在 y 轴上的1 1 1截距，要使 z 最小，需使 z 最小，易知当直线 y x z 过点 A(1，1)时，z 最小，最小值为 3.答案 310.(2017 滕州模拟)已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2，1)，若点 N(x，y)为xy2， 平面区域x ， 上的一个动点，则OM ON的最大值是_.yx解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，1 1 1 3其中 A， ，B， ，C(1，1). 设 zOM ON2xy，当目标函数 z2xy 过点 C(1，1)时，z2x y 取得最 大值 3.答案 311.已知1xy4 且 2xy3，则 z2x3y 的取值范围是_(答 案用区间表示).1252221 12 25 15222 2解 析法 一设 2x 3y a(x y) b(x y) ， 则 由 待 定 系 数 法 可 得ab2， ab3，解 得a ， b，所 以1 5z (x y) (x y). 又2 （xy） ， 5 （xy） ，所以两式相加可得 z(3，8).法二1xy4，作出不等式组 2xy3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线 2x3y0，当相应直线经过 xy2 与 xy4 的交点 A(3，1)时，z 取得最小值，zmin23313；当相应直线经过 xy1 与 xy3 的交点 B(1，2) 时，z 取得最大值，z 21328.所以 z(3，8).max答案 (3，8)2xy0，12.已知实数 x，y 满足xy0， 设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的0xa，最大值为_.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示 .x b作出直线 l ：x2y0，y ，0当 l 平移至 A 点处时 b 有最小值，b a，0 min又 b 2，mina2，当 l 平移至 B(a，2a)时，0b 有最大值 b a2(2a)5a10.max答案 10max13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品 的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划 中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划，从每 天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A.1 800 元C.2 800 元B.2 400 元D.3 100 元解析设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、y 的约束x0，xN，y0，yN，条件为 设获利 z 元，则 z300x400y.x2y12，2xy12.画出可行域如图.画直线 l：300x400y0，即 3x4y0.平移直线 l，从图中可知，当直线过点 M 时，目标函数取得最大值.x2y12， x4，由 解得2xy12， y4，即 M 的坐标为(4，4)，z 300440042 800(元)，故选 C.答案C2xy20，y114.(2017 许昌监测)设实数 x，y 满足 xy10， 则 的最小值是(x1x2y10，)A.5B.12C.12D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分3 331 23221 22 22 2所示，则 wy1x1的几何意义是区域内的点 P(x，y)与定点 A(1，1)所在直线的1 4斜率，由图象可知当 P 位于点， 时，直线 AP 的斜率最小，此时 w y1x1411的最小值为 ，故选 B. 1答案Bx2y30，15.已知变量 x，y 满足约束条件x3y30，若目标函数 zaxy(其中 a0)y10，仅在点(3，0)处取得最大值，则 a 的取值范围是_.解析 画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 zaxy 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率1 1应小于直线 x2y30 的斜率，即a .答案 ， 16.(2015 浙江卷)若实数 x，y 满足 x y 1，则|2xy4|6x3y|的最大 值是_.解析 x y 1，2xy40，6x3y0，|2xy4| |6x3y|42xy6x3y103x4y. 令 z103x4y，343435 52 255max4如图，设 OA 与直线3x4y0 垂直，直线 OA 的方程为 y x， y x，联立 得 A ， ， x y 1，当 z103x4y 过点 A 时，z 取最大值， 3 4z 103 4 15. 答案 15