几何空间选论

第三讲 射影几何与射影空间一、射影几何的起源与确立射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几 何学分支。射影几何也叫投影几何学，通过 它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。射影几何的某些内容在公元前就已经 出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希 腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼 来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了 帕普斯定理。但射影几何直到十九世纪才形 成独立体系，趋于完备。奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线DU1. 达芬奇(14521519)射影几何的最早起源是绘画。达芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的 画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、 建筑和军事工程师。他广泛地研究与绘画 有关的光学、数学、地质学、生物学等多 种学科。在绘画专论一书中，他对透视法 作了详尽的论述。他的代表作最后的晚 餐是基督教传说中最重要的故事。这幅 画就是严格采用透视法的。在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了 化圆为方 的难题，另外他 还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图 四面体的重心等。此外，达芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。达芬奇在生理解 剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近 代生理解剖学的始祖。他绘制了比较详细 的人体解剖图。在建筑方面，达芬奇也表现出了卓越的才华。他设计过桥梁、教堂、城市街道 和城市建筑。达芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。他发明了簧轮枪、子母弹、 三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及 潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞 机和旋转浮桥等。看过达芬奇密码的人大概都知道达芬奇密码筒。远芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计 优雅。要打开密码筒，必须解开一个 5 位 数的密码，密码筒上有 5 个转盘，每个转 盘上都有 26 个字母，可能作为密码的排列 组合多达 11881376 种。达芬奇长达1万多页的手稿（现存约6000 多页）至今仍在影响着科学研究。达芬奇被誉为“艺术家中的科学家，科学家中的艺术家”。2. 笛沙格（1591-1661） 射影几何真正成为独立的学科、成为几 何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。 在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点 概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要 贡献的是两位法国数学家笛沙格（或译 作德萨格）和布莱士帕斯卡。笛沙格是一个自学成才的数学家，1639 年，他出版了主要著作试论圆锥曲线和平 面的相交所得结果的初稿，书中他引入了 许多几何学的新概念。笛沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限。最著名的是用他的名字命名的笛沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连 线共点，那么对应边的交点共线，反之也成 立”，这是射影几何的基本定理。笛沙格还发现了“交比”这一射影几何 的基本不变量。3. 帕斯卡(1623-1662)帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形 定理，也是射影几何学中的一条重要定理。 1658年，他写了圆锥曲线论一书，书中 很多定理都是射影几何方面的内容。不过笛沙格和帕斯卡的这些定理，只涉 及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、 面积)。但他们在证明中却用到了长度概念， 而不是用严格的射影方法，他们也没有意识 到，自己的研究方向会导致产生一个新的几 何体系-射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位 于解析法，射影几何的探讨也中断了。4.彭赛列特（1771867)射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列特。他是画法几何的创始人蒙日的学 生。1822年，彭赛列特发表了射影几何的第 一部系统著作论图形的射影性质，使射 影几何在理论上更加完善，内容更加系统。 他是认识到射影几何是一个新的数学分支 的第一位数学家。他通过几何方法引进无穷远虚点，究了配极对应并用它来确立对偶原理。5.莫比乌斯（17901868)运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标 系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式 等。另外莫比乌斯还发现了著名的“莫比乌 斯带”，它是将一个长方形纸条扭转 180度 然后把两端对接在一起做成的。它的特点 是：只有一条封闭曲线作为边界线 ，并且 曲面是单侧的。它可以作为射影平面模型的 一部分。6射影几何演绎体系的建立.在19世纪前半叶的几何研究中，综合法 和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全 否定综合法，认为它没有前途，而一些几何 学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持 用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭 赛列特，虽然承认综合法有其局限性，在研 究过程中也难免借助于代数，但在著作中总 是用综合法来论证。他们的努力使综合射影 几何形成一个优美的体系，而且用综合法也 确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。 1882年帕施建成第一个严格的射影几何演 绎体系。二、变换群与几何学1. 变换群 射影几何学的发展和其它数学分支的 发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生 以后，也被引进了射影几何学，并对射影几 何的研究起了促进作用。在平面上，由所有射影变换构成的群称 为射影变换群，类似地还可以建立仿射变换 群和正交变换群。这些变换均可写出它们的 代数表达式。例如射影变换：px = a x + a x + a x111 112 213 3 px = a x + a x + a x ,(pH 0)I 221 122223 3I px = a x + a x + a x331 132 233 32. 爱尔朗根纲领把各种几何和变换群相联系的是德国 数学家F克莱因(1849-1925), 1872年他 在爱尔朗根大学的一次演讲中提出了用变 换群对几何学进行分类的观点，就是任何一 种变换，若它的全体能组成“群”，就有相应 的几何学，而在每一种几何学里，主要研究 在相应的变换下图形所保持的不变性和不 变量。这个观点后来被成为爱尔朗根纲领。根据爱尔朗根纲领，欧氏几何、仿射几何都是射影几何的子几何，于是使这些几何 之间的关系变得十分明朗。3. 射影几何的定义按照克莱因观点，可以得到射影几何的 定义，即：由射影变换群下图形所保持的不 变性与不变量构成的命题系统称为射影几 何。射影几何成立的平面是射影平面，射影 几何成立的空间是射影空间。4. 爱尔朗根纲领的影响 爱尔朗根纲领对19世纪的数学产生了 巨大影响，它不但统一了几何学，而且促进 了一些新几何学的产生。它们是：代数几何， 保形几何，拓扑学等。但有些几何，如黎曼 几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在 拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。三、射影几何的内容概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关 系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线 或者平面上的时候，图形的不变性质的科 学。在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。欧氏直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直 线平行，那么这两条直线就交于这两条直线 共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有 直线平行。在引入无穷远点和无穷远直线后，原来 普通点和普通直线的结合关系依然成立，而 过去只有两条直线不平行的时候才能求交 点的限制就不存在了。由于经过同一个无穷远点的直线都平 行，因此中心射影和平行射影两者就可以统 一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的 中心射影了。射影变换有两个重要的性质：首先，射 影变换使点列变为点列，线束变为线束，点 和直线的结合性是射影变换的不变性；其 次，在射影变换下，交比不变。交比是射影 几何中的重要概念，用它可以说明两条直线 点之间的射影对应。在平面射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直 线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图 形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改 为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形是一对对偶图形。在一个命题中 叙述的内容只是关于点、直线的结合与顺序 关系，可把命题中的各元素改为它的对偶元 素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到 另一个命题。这两个命题是一对对偶命题。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原 则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几 何学的对象（如简比、平行性等）和射影几何 学的对象（如四点的交比等），反过来，在射 影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在 仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。四、射影空间模型射影直线可以看作是封闭的，因此欧 氏平面上的圆可作为射影直线的模型。射影平面也是封闭的，将一个半球面的边缘与莫比乌斯带的边缘完好的衔接起 来，则构成一个不带边缘的封闭曲面，这个曲面就可作为射影平面的模型。射影平面 仍保持莫比乌斯带的不分侧的性质，所以射 影平面是不可定向的，而普通欧氏平面是 可定向的。五、射影几何公理系统基本对象：点、直线基本关系：（1）结合关系：点在直线上（或直线过点）；（2）顺序关系：点对A, B分隔点对C, D和点对A, B不分隔点对C, Do此外，有三组共 12条公理。 第一组：结合公理 共5条 第二组：顺序公理 共6条 第三组：连续公理1条。建立在以上公理系统上的几何就是平面射影几何。