线方程组的求解

线性方程组的求解中国青年政治学院 郑艳霞 使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。课件使用学时：4学时 面向对象：文科经济类本科生 目的：掌握线性方程组的知识点学习。0.80.40.7为民主党投票为共和党投票为自由党投票0.30.10.10.30.10.2 LRD自自由由党党得得票票率率共共和和党党得得票票率率民民主主党党得得票票率率x05.040.055.00 x假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为假设一次选举中结果为假设一次选举中结果为确定下一次和再下一次可能结果。确定下一次和再下一次可能结果。每次选举得票情况的变化为每次选举得票情况的变化为我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。4.01.01.03.08.02.03.01.07.0P115.0445.0440.005.040.055.04.01.01.03.08.02.03.01.07.001Pxx 1345.04785.03870.012Pxx,.3,2,1,1kPxxkk对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况得到下一次选举的结果：得到下一次选举的结果：于是下一次和再下一次可能结果为：于是下一次和再下一次可能结果为：表示第表示第j个党向第个党向第i个党转移的比例个党转移的比例 ija0.80.40.7为民主党投票为共和党投票为自由党投票0.30.10.10.30.10.2假设选举得票情况的变化是恒定假设选举得票情况的变化是恒定P,问从现在开始经过多年问从现在开始经过多年若干选举之后若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？多少？?,:1向量序列极限如何确定一般做法kkkxPxx若若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于1，则相对于，则相对于P的稳定向量必满足：的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数整数k，使得，使得Pk0,则则P存在唯一的向量存在唯一的向量q满足条件。满足条件。易见易见P20,满足上述条件。于是上述问题转化为满足上述条件。于是上述问题转化为:如何求出满如何求出满足足的非的非0向量向量x。x=Px即方程组即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。的解，就是我们需要的结果。齐次线性方程组齐次线性方程组110 (2)m nnmAx 1.齐次线性方程组（齐次线性方程组（2）有解的条件）有解的条件定理定理1：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解110m nnmAx r An定理定理2：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110m nnmAx r An 推论：推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110n nnnAx r An即即0,A 即即系数矩阵系数矩阵A可逆。可逆。1.有解的条件有解的条件2.解的性质解的性质3.基础解系基础解系4.解的结构解的结构2.解的性质解的性质（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）解向量：解向量：每一组解都构成一个向量每一组解都构成一个向量性质：性质：若若 是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax=0的解，的解，12,则则 仍然是仍然是齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=b的解。的解。1122xkk解空间解空间:0AX 的所有解向量的集合，对加法和数乘的所有解向量的集合，对加法和数乘都都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。线性方程组的解空间。3.基础解系基础解系设设12,n r 是是0AX 的的解，满足解，满足121 ,n r （）线性无关；线性无关；2 0AX （）的的任一解都可以由任一解都可以由12,n r 线性表示。线性表示。则称则称12,n r 是是0AX 的的一个一个基础解系。基础解系。定理：定理：设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),r Arn则则齐次线性方程组齐次线性方程组0AX 的的基础解系存在，基础解系存在，且且每个基础解系中含有每个基础解系中含有nr 个个解向量。解向量。证明分三步证明分三步:1.以某种方法找以某种方法找 个解。个解。nr 2.证明这证明这nr 个解个解线性无关。线性无关。3.证明任一解都可由这证明任一解都可由这nr 个解个解线性表示。线性表示。注：注：0AX 的的基础解系实际上就是解空间的一个基。基础解系实际上就是解空间的一个基。(1)(2)证明过程提供了一种求解空间基（基础证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。解系）的方法。(3)基（基础解系）不是唯一的。基（基础解系）不是唯一的。(4)当当()r An 时，解空间是时，解空间是 0.当当()r Arn时，求得基础解系是时，求得基础解系是12,n r 则则1122 n rn rxkkk是是0AX 的的解，解，称为称为通解。通解。4.解的结构解的结构0AX 的的通解是通解是1122n rn rxkkk00075.31025.2016.01.01.03.02.02.03.01.03.0IP最终大约有的选票被共和党人得到最终大约有的选票被共和党人得到.r(P-I)=20。再将求出的解进行归一，。再将求出的解进行归一，就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。1321xxx一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。种设计中选择。A设计每层有设计每层有18个公寓，包括个公寓，包括3个三室单元，个三室单元，7个两室单元和个两室单元和8个一室单元；个一室单元；B设计每层有设计每层有4个三室单元，个三室单元，4个两室单元和个两室单元和8个一室单元；个一室单元；C设计每层有设计每层有5个三室单元，个三室单元，3个个两室单元和两室单元和9个一室单元。设该建筑有个一室单元。设该建筑有x层采取层采取A设计，设计，y层采层采取取B设计，设计，z层采取层采取C设计。设计。?873x(1)的实际意义是什么向量（2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。的总数。（3）是否可能设计出该建筑，使恰有）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、个三室、74个两室和个两室和136一一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。解答解答（1）表示当建筑）表示当建筑x层采取层采取A设计时，包括三室设计时，包括三室 单元，两室单元和一室的公寓数目。单元，两室单元和一室的公寓数目。1367466935844873zyx935844873)2(zyx （3）问题转化为：求非负整数）问题转化为：求非负整数x,y,z满足：满足：也就是非求齐次线性方程组也就是非求齐次线性方程组 的解的问题。的解的问题。1367466zyx988347543 非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组11 (1)m nnmAxb 1.有解的条件有解的条件 定理定理3：非齐次线性方程组非齐次线性方程组11m nnmAxb 有解有解 ,r Ar A b并且，当并且，当 ,r Ar A bn时，有唯一解；时，有唯一解；当当 ,r Ar A bn时，有无穷多解。时，有无穷多解。分析分析:3.解的结构解的结构若若11(1)m nnmAxb 有解，则其通解为有解，则其通解为*x 其中其中*是（是（1）的一个特解，）的一个特解，是（是（1）对应的齐次线性方程组）对应的齐次线性方程组 的通解。的通解。0Ax 1.证明证明*x 是是解；解；2.任一解都可以写成任一解都可以写成*x 的的形式。形式。2.解的性质解的性质性质性质1：12,是是 的解，则的解，则12 是是0Ax 11m nnmAxb 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的的解。解。性质性质2：.0111111的解是则的解，是的解，是设mnnmmnnmmnnmbxAbxAxA1367466zyx98834754300001581310221011369887434766543),(bA32)(),(ArbAr 由此可得由此可得 ，因此该非齐次线性方程组有因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。解，且基础解系含有一个向量。81340152*kx进行计算进行计算：利用软件求解利用软件求解房屋设计问题的解房屋设计问题的解答答由问题的实际意义可知，方程组通解中由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为可以取值为0、1。房屋设计问题（房屋设计问题（3）的解答的解答即房屋的设计方案有两个：即房屋的设计方案有两个：1.利用利用A设计的设计的2层和层和B设计的设计的15层层2.A设计的设计的6层、层、B设计的设计的2层和层和C设计的设计的8层。层。