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宝剑锋从磨砺出，宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！梅花香自苦寒来！十年寒窗无人问，十年寒窗无人问，一举成名天下知！-一元二次方程一元二次方程中考总复习中考总复习一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式解法解法根的判别式：根的判别式：根与系数的关系：根与系数的关系：应用应用实际应用实际应用一元二次方程的定义一元二次方程的定义24bac 1212,bcxxxxaa 直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法2()0 x ab b2402bbacxa ax2+bx+c=0（a0）知识知识结构结构只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 2，二次项系数不为零这样的整式的方程叫做一元二二次项系数不为零这样的整式的方程叫做一元二次方程次方程一元二次方程是中考数学卷的一元二次方程是中考数学卷的得分基础得分基础,共同记一记共同记一记22我 们 把(a、b、c为 常 数,且 a0）称 为 一 元 二 次 方 程 的 一 般形 式，其 中，分 别 称 为 二次 项、一 次 项、常 数 项，ax+bx+c=0axbxcab，分 别称 为 二 次 项 系 数 和 一 次 项 系 数。2.一一二二整式整式2、已知关于、已知关于x的方程（的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0，当，当m 时是一元二次方程，当时是一元二次方程，当m=时是一元一时是一元一次方程，次方程，例例2：已知方程：已知方程 是关于是关于x的一元二次方程，的一元二次方程，则则m引例：引例：1、判断下列方程是不是一元二次方程、判断下列方程是不是一元二次方程（1）4x-x+=0 （2）3x-y-1=0 （3）ax+x+c=0 （4）x+=0213x1判断是否是一元二次方程的条件：一元、二次、整式方程ax2+bx+c=0是一元一次方程的条件：a=0且b0是一元二次方程的条件：a01223mxx6江 南 初 级 中 学 周军龙一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式0 0c cb bx xa ax x2 2（a0a0）一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项 3x 3x=1=1 2y(y-3)=-43x-1=03x-1=03 32 2-6-6-1-14 40 02y2y2 2-6y+4=0-6y+4=07江 南 初 级 中 学 周军龙直接开平方法：直接开平方法：1.1.用开平方法的用开平方法的条件条件是是:缺少一次项的缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便一元二次方程，用开平方法比较方便;2.2.形如形如:ax2+c=o (即没有一次项即没有一次项).a(x+m)2=k5022x2100(1)81x 共同记一记共同记一记2.2.配方法配方法1.把方程化成一元二次方程的一般形式把方程化成一元二次方程的一般形式2.把二次项系数化为把二次项系数化为13.把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。在方程的右边。4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方方程的两边同加上一次项系数一半的平方5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数6.利用直接开平方的方法去解利用直接开平方的方法去解 共同记一记共同记一记2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法1.把方程化成一元二次方程的一般形式把方程化成一元二次方程的一般形式2.写出方程各项的系数写出方程各项的系数3.计算出计算出b2-4ac的值，看的值，看b2-4ac的值与的值与0的关系，若的关系，若b2-4ac0，则此方程没有实数根，则此方程没有实数根。4.当当b2-4ac0时，时，代入求根公式代入求根公式 计算出方程的值计算出方程的值 4402acaca22（-bbx=b）3722 xx 共同记一记共同记一记2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法4.4.因式分解法因式分解法1.移项，使方程的右边为0。2.利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解 3.令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。3121x xx11江 南 初 级 中 学 周军龙2、已知一元二次方程、已知一元二次方程x2=2x 的解是（的解是（）（A）0 （B）2 （C）0或或-2 （D）0或或2 D 1、已知一元二次方程、已知一元二次方程(x+1)(2x1)=0的解是（的解是（）（A）-1 （B）1/2 （C）-1或或-2 （D）-1或或1/2 5、（2008广州）方程 的根是（）A B C D D(2)0 x x2x 0 x 120,2xx 120,2xx12江 南 初 级 中 学 周军龙 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）例例3、下列方程应选用哪种方法、下列方程应选用哪种方法 (1)x(1)x2 2=0=0626x xx(2)(2)2310 xx 213x 2320 xx224xx(3)(4)(5)(6)2x52 2x x (7)(7)认真做一做认真做一做20.20.（20122012从化九年级期末考试本题满分从化九年级期末考试本题满分1010分）分）已知一元二次方程已知一元二次方程 （1 1）若这个方程有实数根，求）若这个方程有实数根，求k k的取值范围；的取值范围；（2 2）若此方程有一个根是）若此方程有一个根是1 1，求另一个根及，求另一个根及 的值的值三三.判别式判别式1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根.(1)当当0时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根；2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题.共同记一记共同记一记 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式acb42 002acbxax042acb000两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 根的判式是根的判式是:002acbxax判别式的情况判别式的情况根的情况根的情况定理与逆定理定理与逆定理042acb042acb两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)三）三）、知识回顾知识回顾四：根与系数关系：如果方程ax2+bx+c=0（a0）的两根分别为x1、x2，则abxxacxx212118江 南 初 级 中 学 周军龙 3 3已知方程已知方程x x2 2+kx=-3+kx=-3的一个根是的一个根是-1-1，则，则 k=k=,另一根为另一根为_ _ 4 4x=-3x=-31（2010广东广州，广东广州，19，10分）已知分）已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，求求 的值。的值。2（2012广东广州广东广州3分）关于的一元二分）关于的一元二次次 方程方程 有两个有两个相等的实数根，则的值为相等的实数根，则的值为_ 0322kxx0322kxx)0(012abxax4)2(222baab9（2007广东广州，)若关于x的一元二次方程的两根同为负数，则（*）（A）且 （B）且 （C）且 （D）且 认真做一做认真做一做20 xpxq0p 0q0p 0q 0p 0q 0p 0q 23（2010广东）已知关于 的一元二次方程 （为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设 ，为方程的两个实数根，且 ，试求出方程的两个实数根和的值 认真做一做认真做一做1x2x12214xx2260 xxkxk传染问题、传染问题、百分率问题、百分率问题、营销问题、营销问题、面积问题面积问题五五.实际问题实际问题2(1)axb 这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答步骤及步骤及注意23江 南 初 级 中 学 周军龙)、参加一次同学聚会，每两人都握一、参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了次手，所有人共握了45次，若设共有次，若设共有x人参加同学聚会。列方程得人参加同学聚会。列方程得。2)三（七）班的同学毕业的时候每人三（七）班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共都送了其他人一张自己的照片，全班共送了送了1770张，三（七）班的人数是多少张，三（七）班的人数是多少人。人。列方程得列方程得 3）足球世界杯预选赛实行主客场的）足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场。共举行比赛场和客场踢一场。共举行比赛210场，场，则参加比赛的球队共有则参加比赛的球队共有 支。支。24江 南 初 级 中 学 周军龙 1 1有一人患了流感，经过两轮传染后共有一人患了流感，经过两轮传染后共100100人人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（人数为（）A A8 8人人 B B9 9人人 C10 C10人人D11D11人人 2、有一种细菌，每小时分裂成若干个新细菌，、有一种细菌，每小时分裂成若干个新细菌，这些新细菌又以同样的速度进行分裂这些新细菌又以同样的速度进行分裂 ，成为下，成为下一代的新细菌。在一次试验中，科学家取了一一代的新细菌。在一次试验中，科学家取了一个这种细菌进行研究，个这种细菌进行研究，2小时后总数达到小时后总数达到14个，个，问每个这种细菌平均每小时分裂成多少个问每个这种细菌平均每小时分裂成多少个新细菌？新细菌？三、常见实际问题运用举例：（一）变化率的题目 方法提示：增长率问题：设基数为增长率问题：设基数为a，平均增长率为，平均增长率为x，则一次增长后的值为则一次增长后的值为 ，二次增长后的值为，二次增长后的值为 降低率问题：若基数为降低率问题：若基数为a，平均降低率为，平均降低率为x，则一次降低后的值为，二次降低后的值为则一次降低后的值为，二次降低后的值为 巩固练习1、政府近几年下大力气降低药品价格、政府近几年下大力气降低药品价格,希望使广大人民群众希望使广大人民群众看得起病吃得起药看得起病吃得起药,某种针剂的单价由某种针剂的单价由100元经过两次降价元经过两次降价,降降至至64元元,设平均每次下降的百分率为设平均每次下降的百分率为x，则可列方程，则可列方程（）.2、某商厦二月份的销售额为、某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了万元，三月份销售额下降了20%,该商厦赶快改进经营措施该商厦赶快改进经营措施,销售额开始稳步上升销售额开始稳步上升,五月份五月份销售额达到了销售额达到了135.2万元万元,设四、五月份的平均增长率为设四、五月份的平均增长率为x，则，则可列方程（可列方程（）a(1+x)a(1+x)2a(1-x)a(1-x)2100(1-X)=642100(1-20%)(1+x)=135.22拓展提高：拓展提高：某超市某超市1月份的营业额为月份的营业额为200万元，万元，第一季度营业额为第一季度营业额为1000万元，若万元，若平均每月增长率相同，求该增长率。平均每月增长率相同，求该增长率。200+200(1+x)+200(1+x)=10002利利润润问问题题 某水果批发商场经销一种高档水果某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克如果每千克盈利盈利1010元元,每天可售出每天可售出500500千克千克,经市场调查发现经市场调查发现,在在进价不变的情况下进价不变的情况下,若每千克涨价若每千克涨价1 1元元,日销售量将日销售量将减少减少2020千克千克,现该商场要保证每天盈利现该商场要保证每天盈利60006000元元,同时同时又让顾客得到实惠又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元那么每千克应涨价多少元?每千克的盈利每千克的盈利每天的销售量每天的销售量=每天的盈利每天的盈利解解:设每千克应涨价设每千克应涨价x x元元.由题意得由题意得:(10+x)(500-20 x)=6000 (10+x)(500-20 x)=6000解得解得:x:x1 1=5,x=5,x2 2=10=10因为为了使顾客得到实惠因为为了使顾客得到实惠,所以所以x=5x=5答答:每千克应涨价每千克应涨价5 5元元.(10+x)(10+x)元元(500-20 x)(500-20 x)千克千克60006000元元6.新华商场销售某种水箱，每台进货价为新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：元，市场调研表明：当销售价为当销售价为2900元时，平均每天能售出元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种冰箱的销售台商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？元，每台冰箱的定价应为多少元？本题的主要等量关系是什么？本题的主要等量关系是什么？每台冰箱的销售利润每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量平均每天销售冰箱的数量5000元元如果设每台冰箱降价如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是元，那么每台冰箱的定价就是_元，每元，每台冰箱的销售利润为台冰箱的销售利润为_元，平均每天销售冰箱的数元，平均每天销售冰箱的数量为量为_台，这样就可以列出一个方程，进而解决问题了台，这样就可以列出一个方程，进而解决问题了解：设每台冰箱降价解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得元，根据题意，得29002500845000.50 xx 解这个方程，得解这个方程，得x1=x2=150.2900150=2750.所以，每台冰箱应定价所以，每台冰箱应定价2750元元（2900 x）（2900 x2500）50 x（8+4 ）（二）几何问题（二）几何问题 方法提示：1)主要集中在几何图形的主要集中在几何图形的面积面积问题问题,这类问题的这类问题的面积公式面积公式是等量关系是等量关系,如果图形不规则应如果图形不规则应割割或或补补成规则图形成规则图形,找出各部分面积之间的关系找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出再运用规则图形的面积公式列出方程方程;2)与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是边的平方和等于斜边的平方是 这类问题的等量关系，即用勾这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程。股定理列方程。巩固练习：如图，一块长方形铁板，长是宽如图，一块长方形铁板，长是宽的的2倍，如果在倍，如果在4个角上截去边长为个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是是3000cm，求铁板的长和宽。，求铁板的长和宽。1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)20)(232(xx化简得，化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.面积问题面积问题拓展提高：拓展提高：在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修的矩形地面上修筑同样宽的道路筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540,求两种方案下的道求两种方案下的道路的宽分别为多少？路的宽分别为多少？(32-2x)(20-x)=540(32-x)(20-x)=54080cm50cmxxxx2 2、在一幅长、在一幅长80cm80cm，宽，宽50cm50cm的矩形风景画的四周的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果使整个挂图的面积是如果使整个挂图的面积是5400cm5400cm2 2，设金边的宽为，设金边的宽为xcmxcm，则列出的方程是则列出的方程是 .（80+2x80+2x）（）（50+2x50+2x）=5400=5400w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w(1)鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到180m2吗吗?w(2)鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到200m2吗吗?w(3)鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到250m2吗吗?w 如果能如果能,请给出设计方案请给出设计方案;如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.25m180m2w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w解解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm,根据题意得根据题意得.180240 xx.0360402xx即.10220;1022021xx240 x25mx180m2得解这个方程,.,2525204020102201舍去不合题意x.10220,180:2mm这时鸡场的长为鸡场的面积能达到答w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w解解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为设养鸡场垂直于墙的一边为xm,w根据题意得根据题意得.180240 xx.090202xx即.1010;101021xxx25m40-2x180m2得解这个方程,.,2510220240,10102舍去不合题意长时当xx.1010,180:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w 解解:(2)解解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm,根据题意得根据题意得.200240 xx.0400402xx即.2021 xx240 x25mx200m2得解这个方程,.20,200:2mm这时鸡场的长为鸡场的面积能达到答w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.200240 xx.0100202xx即.1021 xxx25m40-2x200m2得解这个方程,.10,200:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答w解解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为设养鸡场垂直于墙的一边为xm,根据题意得根据题意得w 2.某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.解解:(3)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm,根据题意得根据题意得.250240 xx.0500402xx即.这个方程无解240 x25mx250m2220100.x 负数是没有平方根的.250:2m鸡场的面积不能达到答240500 xx 240400500400 xx
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