167;5.4常用的三大统计量分布ppt

5.4 常用的三大统计量分布常用的三大统计量分布22.6.6XN(0,1),Y=X例设求的分布?2 0yx解：的值域为，）Y0F()0yy当时，Y0F()P(Y)yyy当时，2P(X)yP(X)yy()()yy 1y1y22-21211yey0ey01()2y2()20y00y0y22Y(1).这个密度函数是自由度为1 的统计量的密度函数，即先看前面讲先看前面讲过的例题过的例题122221XXX)X(0,1)X()niiNnn定义一、设（，.为来自总体的样本，则统计量12221e0()2()200nynyynPyy密度函数2221.2EnDn统计量的性质:2.一分布2特点：标准正态随机变量的平方和才服从分布。22n2i=1XN(0,1)EXDXE X=1EXn2212222212222122.,(),()()nmnm独立，且则24421EXed(4 1)!32xxxn2211it(t)(1)证明：的特征函数m2222it(t)(1)的特征函数24222DXEX(EX)3 12nn222i 1i 1D=DXDX2n=2212的特征函数为22212(nm)所以服从n mnm22212ititit(t)(t)(1)(1)(1)22213.()()1nn 统计量的上侧 分位数 确定方法：P221()()nn或者 P2425221 0.050.95Pn100.05(10)(10)18.307见分布表：当时，21()n120.05(n)220.05P(n)0.0520.05(10)3.9403.F 二分布223X(m),Y(n),XYX/mFF(m,n),m,nY/n定义设且 与 独立，则分别为第一、第二自由度。m11(m n)22(n1)/2mmm()()(1)0(m/2)(n/2)nnn00 xxxP(x)x2F特点：两个分布之商服从 分布。分子的自由度为第一自由度分子的自由度为第一自由度分母的自由度为第二自由度分母的自由度为第二自由度从密度函数的图像可知，从密度函数的图像可知，F的的分布是只取非负值的偏态分布。分布是只取非负值的偏态分布。FFF(m,n),1/FF(n,m)统计量有一个特别的性质:若则1FPFF(m,n)1 分布的分位数这个性质是由它的构造决定的。这个性质是由它的构造决定的。11F(m,n)分位数分位数1(01)PFF(m,n)1(1)所以对任意给定有：11PF(n,m)P(F)FF(n,m)1P(F)12F(n,m)从而()111F(m,n)F(n,m)1F(n,m)F(m,n)故或11F(m,n)F(n,m)11F(m,n)F(mn)，PFF(m,n)1F(m,n)FF(n,m),这个关系式用于查表。因为分位数 在 分布表中是查不到的，我们就把自由度换位查出然后取倒数。FF(10,5),0.05例 若1-0.95F(10,5)=F(10,5)=4.740.050.9511F(10,5)=F(10,5)=0.3F(5,10)3.33.t 三分布22XN(0,1),Y(n),XYXt()Y/t nn定义：设且和独立，则统计量=n 122()(n1)/2(1)Rnn(n/2)t nxP(x)x的密度函数为:2t特点：正态分布与分布之商服从分布。自由度为自由度为1的的T 分布就是柯西分布分布就是柯西分布 （期望不存在）（期望不存在）下面导出下面导出T分布的密度函数？分布的密度函数？TFTF由 分布和 分布的构造可知：分布和 分布的关系为：222XXt()F(1,n)Y/nY/n服从分布。:X-X由于标准正态分布密度函数的对称性可知与有相同的分布2XXN(0,1),Y(n),XYtY/n证明:设且和独立，统计量=t-t从而可得与也有相同的分布，RP(0t)P(0t)P(t0)yyyy 即对，22t1F()P(0t)P(t)2yyy 于是222tF11 F()P(0t)P(t)F()22yyyy 所以根据分布函数和密度函数的关系得：根据分布函数和密度函数的关系得：1211+n122222tF1n1()12nP()P()()(1)1nn()()22yyyyyy故1+n221n12(1)Rnnn()2nTyy这就是自由度为 的 分布的密度函数。t(n)1.yP(x)的性质：曲线关于 轴对称，5.nt 当时，分布趋于标准正态分布。116.tPTt(n)1t(n)分布表的构造公式分位数可从表中直接查到。4.lim0 xP(x)2.当当n1时，时，E T=03.当当 n2时，时，DT=n/(n-2)1t(n)t(n)1-0.05n10,0.05t(10)1.8125如查得11t(n)t(n)由性质 知：0.051-0.05t(10)t(10)1.8125 如四四、总结：、总结：常见分布的几种关系：常见分布的几种关系：1、正态与卡方：222121XXX(0,1)X()niiNnn，.独立同分布2F、卡方与m22ii 1n22jj 1(X)/m(m)/mF(m,n)(n)/n(Y)/n服从3t,、正态、卡方与2XXN(0,1),Y(n),X,Yt(n)Y/n独立，24tF t(n)F(1,n)、与15FF,F(n,m)F(m,n)、与67、独立的正态随机变量具有可加性。、独立的卡方随机变量具有可加性。Ln8Tt(n)N(0,1)、2L22nnn9(n)N(0,1)2n、五、推出一些重要结果五、推出一些重要结果2212m1112n22(X,X,.X)N(,)Y,Y,.Y)N(,)设来自总体，（来自。i1i212XYN(0,1)N(0,1)2222i1i2221211(X)(1)(Y)(1)mn2222i1i222i 1j 11211(X)(m)(Y)(n)mn2222ii22i 1j 11211(XX)(m-1)(YY)(n-1)12X,Y,若将 换成将换成则有：自由度减少自由度减少 12m2221i22i 111mS1(XX)(m-1)(m-1)mn22221i2ii 1i 111S(XX)S(YY)mn设2n2222i22j 122nS1(YY)(n-1)(n-1)作比值等于F21212222mS(m 1)F(m-1,n-1)nS(n1)由由F分布的定义分布的定义2212222121222212m(n1)Sm(n1)SF(m-1,n-1)n(m 1)Sn(m 1)S 221212(XY)N(,)mn221212XN(,)YN(,)mn又：11211XXUN(0,1)/mm122212(XY)()N(0,1)mn2212mn22221i2ii 1i 111S(XX)S(XX)m-1n-1把式中的，分别换成和就有下面的结果。12222mn(XY)()(mn2)11mnmnSmn2wwttSSS其中212n(X,X,.X)N(X)1(1)nntt nS来自（，）则又有2222XN(0,1)nnS(n1)证明：由已知条件222Xnt(n1)nS(n1)(X)1(1)nntt nS即六、举例：六、举例：21291291292221295.4.1XXXYY.YN(0,3)XX.XUYY.Y例设（，.）和（，）是来自总体的两组样本。求统计量的分布？92iii 1XN(0,9)XN(0,9)解：由9ii 11XN(0,1)9jjYYN(0,9)N(0,1)3又2j2Y(1)9922jj 11Y(9)912129XXXYY.Yn，.和，相互独立。992iji 1j 111XY99和也相互独立。129222129XX.XUYY.Y所以1292221291/9(XX.X)1/9 YY.Y1292221291/9(XX.X)YY.Y/99t(9)121522212102221112155.4.2(X,X,.X)N(0,4)XX.X2XX.X例设是来自的样本，求统计量的分布？（）iXN(0,4)i1,2,.15.解：iXN(0,1)222i1X(1)41022ii 11X(10)41522ii=111X(5)4同理1215X,X,.X相互独立，101522iii 1i 1111XX44与也相互独立。2221210222111215XX.X2XX.X（）22212102221112151(XX.X)/1041XX.X54（）/F(10,5)22123412345.4.3(X,X,X,X)N(0,4)Ya(X2X)b(3X4X)abY例已知来自，确定常数的值，求的分布？iXN(0,4)i1,2,3,4.解：12(X2X)N(0,20)121(X2X)N(0,1)2022121(X2X)(1)2034341(3X4X)N(0,100)(3X4X)N(0,1)10同理22341(3X4X)(1)100221234(X2X)(3X4X)与相互独立。11ab20100当时21234a(X2X)b(3X4X)22123411=(X2X)(3X4X)201002(2)22215.4.4Xt(n),Y=XA(n),B(n-1),C F(n,1),D F(1,n)例设则服从（）？2U tX=,UN(0,1),V(n)V/n解：由分布的定义知2211YUX()V/nFYF(n,1)由分布的定义可知：服从2V/nU2V/nU/1C作业：习题作业：习题5.4 3，9，12，13。