实验二 二维离散傅立叶变换程序设计

实验二 二维离散傅立叶变换程序设计一、实验目的与要求通过对傅立叶变换原理的学习，掌握并编程验证二维离散傅立叶变换，理解二维傅立 叶变换的主要性质。二、知识点1、数字图像傅立叶变换的目的 为了有效地和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以 某种形式转换(正变换)到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定 的加工，最后再转换回图像空间(反变换或逆变换)以得到所需要的效果。傅立叶变换就 一种重要的常用的变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。2、二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式如公式2-1 所示：逆变换公式如2-2 所示：F (u, v )efux+vyIM N(2 -1)u=0 v=0M -1N -1f (X, y) =F (u, v)eux+vy I(2- 2)u =0 v=0频谱公式如 2-3 所示F (u, v) = |F (u, v) e j 申(u ,v) = R(u,v) + jI(u,v)F (u, v)| = L 2(u, v) +12(u, v)(2 一 3)由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是 一个一维傅立叶变换。先对fx, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v),再对F(x, v)按行进行傅 立叶变换，便可得到fx, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换，再 按列进行离散傅立叶变换也是可行的。3、一维快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform， FFT)离散傅立叶变换计算量非常大， 运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2,特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以 至于无法容忍。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法是非常有必要的。下面介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法(FFT)思想，它是1965年Cooley 和Tukey首先提出的。采用该FFT算法，其运算次数正比于NlbN,当N很大时计算量可以大 大减少。把公式(2-4)简记为旋转因子。-j 2兀 wux = e n ux(2 - 4)N则有一维傅立叶变换公式如(2-5)所示：(2-5)F (u) = -1 S f (x)eTux = -1 S f (x)w“xNNNx=0x=0这样一维离散傅立叶变换(DFT)用矩阵的形式表示为：F (0)W 0 X 0W 1 X 0W 2 x 0W(N - 1) X 0 f (0)F (1)=W 0 X 1W 1X1W 2 x 1.W(N - 1) X 1f (1)/NF (N 1)W 0 X (N - 1)W 1 X (N-1)W 2 X (N - 1)W(N - 1) X (N-1)_ f (N 1) _式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式W=e-j2n/N，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的，不必进行 多次重复计算，且由于W的对称性，因此可进一步减少计算工作量。如果把一个离散序列分解 成若干短序列，并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简 化运算过程，这就是FFT的基本思想。三、实验内容及步骤二维傅立叶变换的实现步骤：1.读入一幅原始图像午如1图：并用imshow ()函数显示出来。图 1 原始图像2利用函数fft2,对其进行快速傅立叶变换，ft=fft2(f1);3. 利用abs函数来得到傅立叶频谱(幅度谱),s1=abs(ft),利用imshow来可视化频谱图像, 观察此图像的特点，Imshow(s1,)；4使用以e为底的对数对图像的频谱进行拉伸，并显示结果，imshow(log(sl),),观察分 析第三步和第四步的不同。步骤三的频谱步骤四的频谱两者的异同，及不同的原因是什么？5. 利用函数fftshift将变换后的图像原点移动到频率矩形的中心,fs=fftshift(ft)；显 示变换了中心后的频谱图，Imshow(log(abs(fs),),观察频谱的变化，与第四步的结果有什 么不同？步骤五的频谱与步骤四不同点6. 利用傅立叶逆变换的实部值恢复原始的图像，g=real(ifft2(sl),这样做的原因是：从 理论上来说，如果计算傅立叶变换后的值F的输入是实数，逆变换后的值也应该是实数，但是在实际中，ifft2的输出都会有很小的虚数分量，这是由浮点计算的舍入误差所导致的，因此 我们在计算逆变换的后，提取结果的实部输出； figure,imshow(g);7、利用imrotate函数，将fi图像顺时针旋转 45度得到f2,如图2所示，语法 f2=imrotate(f1,45);图 2 旋转后的图像&对旋转后的图像f2,仿照步骤24的方法，获取f2的对数拉伸的频谱图，与步骤四的 结果对比，从傅里叶变换的性质来分析，结果不同的原因。f2 图像的对数频谱观察与步骤四不同的地方是什么，什么原因造成的？9.对图fl进行离散余弦变换，dt=dct2(fl);使用对数变换拉伸幅度谱，即 dtl=log(abs(dt);显示变换结果imshow(dtl,)；观察分析与步骤四的不同。离散余弦变换频谱观察分析与步骤四的不同及原因10.对离散余弦变换的结果进行反变化，id=idct2 (dt),并显示反变换结果。四、考核要点1、快速傅立叶变换的频谱图像3、傅立叶变换的性质