212空间中直线与直线之间的位置关系2

新课导入同一平面内的直线有哪些位置关系？同一平面内的直线有哪些位置关系？aboab回顾旧知回顾旧知abo如何判断两直线相交？如何判断两直线相交？两直线有公共交点。两直线有公共交点。如何判断两直线平行？如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。两直线在同一平面，且无公共交点。ab2.1.2 空间中直线与直线之间的位空间中直线与直线之间的位置关系置关系教学目标知识与能力知识与能力了解空间中两条直线的位置关系了解空间中两条直线的位置关系。理解并掌握公理理解并掌握公理4 4和等角定理。和等角定理。异面直线所成角的定义、范围及应用异面直线所成角的定义、范围及应用。过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观师生的共同讨论与讲授法相结合师生的共同讨论与讲授法相结合。让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣提高学生的学习兴趣。教学重难点重点重点难点难点异面直线的概念异面直线的概念。公理公理4 4及等角定理及等角定理。异面直线所成角的计算异面直线所成角的计算。ABCDABCD 在正方体的面在正方体的面ABCD中，中，AB与与AD相交，相交，AB与与CD平行平行.AB和和CC的位置关系是平行还是的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？相交还是两者都不是？两者都不是两者都不是 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？在直线是什么位置关系？既非平行既非平行又非相交又非相交 旗杆所在的直线与其正后方跑道所旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？在直线是什么位置关系？既非平行既非平行又非相交又非相交 不同在任何一个平面内的两条直线叫不同在任何一个平面内的两条直线叫做做异面直线异面直线（skew lines）空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：共面直线共面直线异面直线异面直线相交直线相交直线平行直线平行直线不同在任何一个平面内，没有不同在任何一个平面内，没有公共点。公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；abab异面直线的画法异面直线的画法为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托。为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托。视频：空间直线的位置视频：空间直线的位置 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段这四条线段所在的直线是异面直线的有所在的直线是异面直线的有 对。对。DBACEFHGAH)(BF)(CEDG3直线直线EF和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线CD 如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCD中，中，BB/AA,DD/AA,那么那么BB与与DD平行吗？平行吗？平行平行ABCDABCD观察观察 在同一平面内，如果两条直线都与第三条在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行在空间直线平行，那么这两条直线相互平行在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？也有类似的规律？思考思考平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线互相平行。互相平行。平行线的传递性平行线的传递性 在空间平行于一条已知直线的所有在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行直线都互相平行。如图如图 ，空间四边形，空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。BCADEFHG所以所以EH/BD,且且 BD21EH 证明：连接证明：连接BD，因为因为 EH是是 的中位的中位线线，ABD同理同理FG/BD,且且 BD21FG 因为因为EH/FG，且，且EH/FGEH/FG 所以所以，四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形。例三例三 在例在例三三中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那么四，那么四边形边形EFGH是什么图形？是什么图形？四边形四边形EFGH是菱形。是菱形。BCADEFHG180EQFAOBCODAOBBO/DP/FQAO/CP/EQAOBCPDEFQ 在平面上在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补边分别平行，那么这两个角相等或互补.思考思考空间中，空间中，该该结论是否仍然成立？结论是否仍然成立？在长方体在长方体 中，中，的两对边分别对应平行，这两组角，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？的大小关系如何？CDAADC与与CBAADC与与DCBAABCDCDAADC180CBAADCABCDABCD 空间中如果有两个角的两边分别对应平空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等行，那么这两个角相等或互补。或互补。定理定理等角定理等角定理ABCCABABCCABBACCAB180BACCABBA AB/,CAAC/夹角夹角 在在平面内两直线相交成四个角，平面内两直线相交成四个角，不大于不大于90的角成为夹角的角成为夹角。ab 夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过程度，异面直线通过异面直线所称的角异面直线所称的角来刻画。来刻画。abaOababO异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线a/a,b/b，我们把我们把a与与b所成的锐角（或直所成的锐角（或直角）叫做角）叫做异面直线异面直线a与与b所成的角（或夹角）所成的角（或夹角）。为简便，为简便，O点常取点常取在某一直线上在某一直线上 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直两条直线相互垂直ab记作：记作：.ba 思想方法思想方法：异面直线异面直线相交直线相交直线平移平移异面直线所成的角异面直线所成的角空间图形空间图形问题问题平面图形平面图形问题问题 （1）在长方体）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ABCDABCD有，如有，如AB和和CC，AB和和DD。垂直垂直 （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线的垂直相交直线的垂直异面直线的垂直异面直线的垂直acbacb（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？acb 如图，若如图，若c，则，则c垂直于垂直于内所有直线，内所有直线，而而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。是相交。不一定不一定ABGFHEDC例四例四 如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求（1）哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BE是异面是异面直线直线(2)BE与与CG所成的角所成的角(3)FO与与BD所成的角所成的角。解解:(1)棱棱CG,DH,CD,HG,AD,FG所在直线与直所在直线与直线线BD是异面直线。是异面直线。(2)BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直为异面直线线 BE与与CG所成的角，又所成的角，又 BEF中中EBF=45，所以，所以BE与与CG所成的角是所成的角是45。ABGFHEDCAH=HF=FAAFH为等边为等边三角形，三角形，依题意知依题意知O为为AH中点中点，HFO=30,FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30.(2)连接连接FH四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBDHD EA，EA FB HD FB=ABGFHEDCO连接连接HA、AF课堂小结不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的空间两直线的位置关系位置关系公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。互相平行。空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等那么这两个角相等或互补。或互补。等角定理：等角定理：异面直线所成的角异面直线所成的角:平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角。高考链接1（2007 湖南）湖南）如图如图1，在正四棱柱，在正四棱柱 中，中，分别是分别是 ，的中的中点，则下列结论中不成立的是（点，则下列结论中不成立的是（）1111ABCDABC DEF，1AB1BCABCF图图1A.与与 垂直垂直 B.与与 垂直垂直C.与与 异面异面D.与与 异面异面EF1BBEFBDEFEFCD11ACD2.（2008 四川）四川）设直线设直线 ，过平面，过平面 外一点外一点A与与 ，都成都成30角的直线有且只角的直线有且只有有（）l 平面lA.1条条 B.2条条C.3条条 D.4条条B随堂练习一、一、下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面BD和和FH是是 直线直线EC和和BH是是 直线直线BH和和DC是是 直线直线BACDEFHG与与棱棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是：CG、HD、GF、HE说出说出以下各对线段的位置关系以下各对线段的位置关系?1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。3）a与与b是异面直线，是异面直线，b与与c是异面直线，则是异面直线，则a与与c是是异面直线异面直线。4）a与与b是共面，是共面，b与与c是共面，则是共面，则a与与c共面共面。错错错错错错错错2）a ,b ,则则a,b一定异面。一定异面。二、判断二、判断1.两条直线两条直线a，b分别和异面直线分别和异面直线c，d都相交，则都相交，则直线直线a，b的位置关系是的位置关系是()A.一定是异面直线一定是异面直线 B.一定是相交直线一定是相交直线 C.可能是平行直线可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线可能是异面直线，也可能是相交直线2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（和另一条的位置关系是（）A.平行平行 B.相交相交 C.异面异面 D.相交或异面相交或异面三、选择三、选择BD3.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）A.异面异面 B.平行平行C.相交相交 D.以上都有可能以上都有可能4.异面直线异面直线a，b满足满足a，b，=l，则则l与与a，b的的位置关系一定是（位置关系一定是（）A.l与与a，b都都相交相交B.l至少与至少与a，b中的一条相交中的一条相交C.l至多与至多与a，b中的一条相交中的一条相交 D.l至少与至少与a，b中的一条平行中的一条平行BD解答：解答：ABGFHEDC233225.已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=AD=,AE=2(1)求求BC和和EG所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?32(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45。(2)BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG=60习题答案1.(1)3条，分别是条，分别是BB,CC,DD。(2)可能相等，也可能互补可能相等，也可能互补。2.(1)45(2)60