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专项突破析情境数学应用1.2019 郑州国际马拉松赛“郑州银行杯”2019 郑州国际马拉松赛于 10 月 13 日上午鸣枪开赛. 马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约 42 千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极 大的考验 ,专业的马拉松运动员经过长期的训练 ,跑步时的步幅 (一步的距离)一般略低于自身的 身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5 时,则他平均每分的步数可能为 ( )A.60 B.120 C.180 D.2402.中国高铁2008 年 8 月,我国第一条高速铁路京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道 , 中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先. 图 3 - 1 是20132018 年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是( )图 3 - 1A. 2016 年旅客运输量增速超过 14%B. 旅客运输量增速最大的是 2014 年C. 20162018 年旅客运输量减少D. 20162018 年旅客运输量逐年增长3.垃圾分类垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转 变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其 用. 为响应国家号召 ,各地区采取多种措施推行此项活动 .某商家设计了一种新式分类垃圾桶 ,它 是长方体状,高为 0.5 米,长和宽之和为 2.4 米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量 最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为( )A.2.4 平方米 B.3 平方米 C.3.84 平方米 D.5.28 平方米4. 黄金三角形17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是 勾股定理 ,另一件是黄金分割 . 如果把勾股定理比作黄金矿的话 , 那么可以把黄金分割比作钻石 矿.”黄金三角形有两种 , 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形 ,它 是一个顶角为 36的等腰三角形(另一种是顶角为 108的等腰三角形).例如,如图 3 - 2 所示的五 角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,图 3 - 2=𝐵𝐶 5-1A.𝑀2,= - 在其中一个黄金三角形 ABC 中, .根据这些信息,可得 sin 234= ( )𝐴𝐶 21-2 54B. -3+ 58C. -5+14D. -4+ 585.2019 年 3 月 10 日,长征三号乙运载火箭托举“中星 6C” 卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年,第二个“百发”用了不到 8 年,第三个“百发”用时仅 4 年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v(单位:米/秒)和燃料的质量 M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位:千克)的函数关系式是 v=2 000ln(1+𝑚).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达 12 000 米/秒.6.爱国主义教育活动某学校开展爱国主义教育活动,要在 6 名男生和 3 名女生中选出 5 名学生参加关于庆祝新中国成立 70 周年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得 2 分,答错得 0 分.已知 6 名男生中有 2 人所有题目都不会答,只能得 0 分,其余 4 人可保证得 2 分;3 名女生每人得 2 分的概率均为 .现选择 2 名男生和 3 名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为 6 分3的概率为.7.2020 洛阳市第一次联考水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,图 3 - 3 是一个半径为 R 的水车的示意图,一个水斗从点A(33, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 秒,经过 t 秒后,水斗旋转到点P, 设点 P 的坐标为 (x,y), 其纵坐标满足 y=f (t)=Rsin(t+)(t0,0,| 是.(填序号)2), 则下列叙述正确的图 3 - 3R=6,= 30 6;当 t35,55时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6; 当 t10,25时,函数 y=f (t)单调递减;42000𝑥+𝑦5+15+1当 t=20 时,|PA|=63.答案及解析1.C 2.5 时=150 分,42 千米=42 000 米,故该运动员每分的路程为 =280(米),由题意及选项知,150若每分的步数为180, 则其步幅为2801.56( 米 ), 符合题意 . 若每分的步数为60, 则其步幅为280601804.67(米),不合题意,同理,当每分的步数分别为 120,240 时,也不合题意.故选 C.【素养落地】 试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、 数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养.2.C根据题图中的曲线,通过计算可得 A,B 正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得 C 错误,D 正确.故选 C.3.C 设长和宽分别为 x 米,y 米,则该垃圾桶的体积 V=0.5xy 米 3,而 0.5xy0.5()2=0.72,当且仅2当 x=y=1.2 时取等号,此时所需耗费铁皮的面积为 1.21.2+0.51.24=3.84(米 2),故选 C.【素养落地】 试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养.4.C解法一由题可知 ACB=72,且 cos 72=12𝐵𝐶=5-1,cos 144=2cos272 - 1= -5+1, 则sin𝐴𝐶44234=sin(144+90)=cos 144= -.故选C.4解 法 二由 正弦 定 理得sin𝐴 sin𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐶, 即sin36sin72=sin362sin36cos36=5-12, 得 cos 36=15-1=5+14, 则 sin234=sin(270 - 36)= - cos 36= -.故选C.4解法三 如图 D 3 - 1,取 BC 的中点为 D,连接 AD,=5-15-15+1𝑀𝑀𝑀 𝑀 𝑀282C2( )=31 122) ( ) ;P(C)=2122 1 413.2, 所以 = - , 故 正确 ;y=6sin( ), 当 t35,55时,t -, ,则 sin(t - 2t -, 则 y=6sin图 D 3 - 1由题意知 BAC=36,AB=AC, BAD= CAD=18,ADBC,𝐵𝐶=5-1, sin CAD =𝐷𝐶 𝐵𝐶,即 sin𝐴𝐶2𝐴𝐶2𝐴𝐶18=, sin 234=sin(270 - 36 )= - cos 36= - (1 - 2sin218)=2sin218 - 1=2()2- 1= -.故选44 4C.【素养落地】 试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的 逻辑推理、数学抽象等核心素养.5.e6- 1 v=2 000ln(1+),又火箭的最大速度可达 12 000 米/秒, 12 000=2 000ln(1+),可得ln(1+ )=6,1+ =e6,解得𝑚=e6- 1 .𝑚𝑚𝑚𝑚【素养落地】 试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查 了考生的数学抽象、数学运算等核心素养.6.81由题意知,得分之和为 6 分有以下三种情况:“男生得 0 分,女生得 6 分”,设为事件 A;“男生得2 分,女生得 4 分”,设为事件 B;“男生得 4 分,女生得 2 分”,设为事件 C.P(A)= 2 C6 𝐶 332 83 405;P(B)=C C2 4C6 𝐶 23(2 1 32 C43 3 135 C6 𝐶 ( )1( )2= .3 3 45故所选队员得分之和为 6 分的概率 P=P(A)+P(B)+P(C)=8+32+4=2840513545817. 由题意可知函数 f (t)的最小正周期 T=60,所以 =60,解得 =,又从点 A(33, - 3)出发, 所以 R=6,6sin = - 3,又 |𝜔30 t -26306305 ) - 1 ,0,y - 6 ,0,点 P 到 x 轴的距离为| y|,所以点 P 到 x 轴的距离的最63306大值为 6,故正确;当 t10,25时, t - , ,所以函数 y=6sin( )在10,25上不单调,故30 6 6 3 306 不 正 确 ; 当 t=20 时 ,t -= =6, 且 x=6cos=0 , 所 以 P(0,6), 则306222|PA|= (0-33)2 + (-3-6)2=63,故正确.综上,正确的是.
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