角度本质概念探讨

2005/3/24學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 489001148角本質概探討一、前言實際生活中與學上對於角的意義有多種解釋，角的大小是一種二維特徵， 和長的一維特性有較大的差，一般人常厘清。兒童隨著認知發展程的 同，對各種角的概也有同的解時機。小學學新課程（依八十二教育部頒佈之小學課程標準所設計的課程） 中，圖形與空間域的角概及與實測域的角 ，皆安排在 中級階段指導。這部份的教學程序為：三級上學期，從三角形及四邊形的構 成要素引出角形及角的命名；三級下學期，建張開角概，進角的直接 與間接比較，介紹直角並察覺直角三角形、正方形與長方形上角的特徽；四級 上學期，用直角特徵引出直線的垂直與平關係，進角器上角的報， 角的合成 、個別單位的積活動 ，並比較角的大小，角器上刻意義的認、 角的實測及畫指定的角；四級下學期，引出旋轉角概，進旋轉角 的比較，用鍾面介紹 180 與 360 間的旋轉角。附： 3-s-04 能認角，並比較角的大小。4-s-01 能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。4-s-02 能透過操作，認基本三角形與四邊形的簡單性質。4-s-04 能認角單位 ，使用角器實測角或畫出指定的角。4-s-05 能解旋轉角的意義。4-s-06 能解平面上直角、垂直與平的意義。4-s-07 能由直角、垂直與平的概，認簡單平面圖形。4-s-08 能用三角板畫出直角與平線段，並用描繪平面圖形。二、角概學上的角概和日常生活中所談到的角，所表示的意義有時是太 一樣的。兒童角概的認知，有其發展的順序性，先由具體的經驗、察覺，習發展特徵及指導原則。學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/241. 一般生活中所的角概一般人對角的認 ，常是真正角概的局部 ：一個角有個線段當作邊， 邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點。此外，常以角的頂點或頂點 的鄰近區域描述角如桌角牆角三角形的角，四邊形的角等由於角的形象大以有限的物件呈現，因此，角的邊也常以線段表示。2. 想的角概 從實際經驗及學上的定義角的意義可分成以下三方面明:（1）角是一雙定出個方向間的差之射線。（2）角是自同一端點射出的射線圍出的一個平面區域。（3）角是一射線繞其端點旋轉一個程的。因此想化的角概可簡單解釋成是自一點朝個同的方向延 伸出條射線的結構 角的邊是射線而 是線段 （在旋轉產生角的情況下 雖然旋轉是一種動作動作停止其現象即消失但它有一個起始方向和 終止方向此二方向可用條射線表示）此射線是製成角的展開活 動的限制邊界。事實上平面上的有限圖形（如多邊形）中並包含任何角而只 包含角頂點的鄰近區域。構成角頂點的鄰近區域線段長的同會使 角頂點的鄰近區域有所同。同時角與角的內部是共生的（二者同時出 現）角的邊之張開程大小因為邊長的差而有所同。三、國小兒童對角概的認知1. 圖形角小學階段的兒童尚解想化的角概。根據荷學教育家van Hiele 夫雪對兒童幾何思考模式的研究指出：兒童最初是透過視覺觀 察具體物由實物的辨認圖形須透過感官的操作視覺的觀察進 分、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概。兒童當能認正方形 或長方形的命名時並得知道如何給正方形下定義。對於角的認學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24也有同樣的情況。由於我們日常生活中所看到的平面圖形，大屬於有限 圖形，許多的這圖形上包含角頂點的鄰近區域，同時角的內部與角是 共生的（二者同時出現），區域的概在初學階段的兒童較解。因此， 學新課程在最初引出角的概時，由圖形角出發，採取角是多邊形頂點 的局部的觀點，由描出凸多邊形各角的活動引出角小於 180 的角之部 份形象以認角（ 83 版學實驗教材第五冊第單元）。以概是 解題活動過程的抽象的看法，讓兒童透過要素抽的實際活動，自多邊 形上描下角形，使兒童認角是構成多邊形的要素，初步認角。2. 張開角由於角的多種同意義，兒童對角的解較為困難， 8 至 9 歲的學童 對角的認，大僅止於物體上靜態的角之局部形象。因此為使想化的 角概和實物上的角產生結，應用角概的產品，如扇子的開合 現象進入，從產品的功能及其形成活動引出角概（張開角）、角 的內部與角共生現象、方向改變及邊為射線的一部份（可任意延 長）的意義。新課程首先以可張合呈現角形的物件，如扇子之開合現象， 讓兒童察覺角的形成過程。由觀察張開動作體認張開的結果，以活動產生 角形，及由角形明活動現象，使二者形成結。其次再用記（描繪） 一端可開合物件的張開形象，產生的角形和多邊形圖形板所描下的角形之 結，引出角及其構成要素邊和頂點的概及名稱。起初重 在引出造角活動，其次為活動結果的記及其構成要素的命名 （ 84 版 小學學實驗教材第冊第九單元活動 1，2）。3. 旋轉角（時鐘）是一種動作，動作停止，其現象即消失，為具體呈現其起始位置和終 止位置，通常以直線段或射線表示，要強調其起始位置及旋轉方向，表 示一個旋轉的記中起始位置的線段（射線）稱為始邊，表示終止位 置的線段（射線）稱為終邊，線段的交點稱為旋轉中心或頂學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24點，考慮其旋轉方向，僅記出其起始的邊，則其形象和表態的圖 形角相似，故一般將旋轉角亦簡稱角。這種旋轉是一種較抽象難懂的位置變換，10到 11 歲的兒童，才有50% 以上能夠描繪一個簡單圖形繞著一個項點的旋轉(Michael,1989)。向 各國把角為一射線旋轉產生的概保到中學角的測制這 前介紹。Kirsche (1987)認為這樣太遲。他認為小學時期的兒童能夠而且 應該獲得旋轉的非正式經驗，旋轉角概可以像時鐘一樣的圖像表示。四、角概與角的大小比較角的大小，乃指角的一邊掃過一個範圍，到達另一邊後邊張開程 的大小，這種二維的特徵，一般人常會在角的邊各選一點，以此點的 距當做角的開，認為一個角的邊越長，其角就越大的錯誤觀。因 此，角的張開程的大小因為邊長的差而有所同之正確概的建 ，是角化的基礎。(一) 兒童角概的發展特徵根據皮亞傑 (J. Piaget)的研究發現，角的大小常被兒童認為和角邊 長有關。 8 歲以前的兒童，大以角的邊長觀察角的大小，直到 8 歲以 後，才能察覺角的邊張開的程，但此時許多學童尚缺乏角的保性概 ，同大的角，擺置的方向同，如a和b為同大的角, c和d皆為直角，但擺放的開口方向同，他們會 認為大小一樣。學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24據研究發現，兒童能察覺角的大小是指個邊張開程的同之後，才能做個同的角之比較，進而以一個基準角（ex ： 角器 ）去另一個角，將角值化。 Micheal 強調兒童必須熟悉角的射線、區域、旋轉三 種的概，而且達到融會貫通之後，才能瞭解測出的意義。當兒童能察覺角的大小乃是邊張開程的差時，開相差較大的 角，兒童可以由視覺判定其大小，開相差大的角、角的邊長短一致 或角的開口方向同，較難由視覺正確分辨的情況，可以經引導後，用 疊合方式加以判別。當兒童具有角的開保概及遷移概時，對於無 法進直接疊合判斷大小的角，能用複雜（如描繪）的方式加以處。兒童能以單位角之前，必須先具備角的合成概：個角可以 使其一邊相疊合成另一個角。解此概之後，進而可會個相等的角 可以依此法合併，形成一個開相當於一個角的倍大的角，因而解5個 1 的角可以合併成 5 角， 10 個 1 的角可以合併成 10 角， 進而明白角器上刻的意義。（二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定個或個以上的角之大小基於以上兒童角概的發展特性，教學時，必須以同的實物呈現 同特徵的角供兒童觀察、操作與討。因此，開始上角課程時，首先 拿出開差較大的角，如張開把差極顯著的紙扇，由兒童直觀的 用視覺辨別。其次提供較難由視覺正確分辨其大小的角，如用各種圖形 板上的角，引出使用疊合之方式進直接比較。直接比較與角所附著情境的同，可分成四種同難層次，由低而 高分別為（1）單純角形且可任意移動的二角之疊合；（ 2）一角可隨意拿 動，另一角可單獨移動；（ 3）角皆可單獨移動，但其附著物可隨意 移動，且可疊合；（4）實物上的角，其中至少一個於拿動。教學時，自 較低層次的比較情況開始，再漸進到較高層次的比較。學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24在兒童熟悉直接比較之方式後，接著引出無法或進直接比較的 個角，如在同一圖形板上的角或同一可變的實物上的角，讓兒童經驗 並察覺用複製（如描繪）的方式進間接比較。（三）一般角的描述單位及小學介紹的對象所有角的方法均以細分圖為基礎，一般有二種常用的單位，它們 分別根據和弧長。（1）：一圓以半徑將之等分割為360 部份，則每二相鄰的半徑所的角為 1 ，記作 1 。（2）弳：一個圓心角所對弧的長，與圓心角成正比。如果取圓心角所 對的弧長對其半徑的比值作為圓心角大小的，則此稱為 弳，又稱為弧。由於的概與用尺長的概關係較為密，中級的兒童 可以用長值化經驗的延伸，引出角的開和角器上刻值的 結，進而解的意義。弳的概此階段的兒童尚解，此種角單 位，一般在高中階段才介紹。五、由建直角概，察覺長方形、正方形、直角三角形的特徵 及引出直線的垂直與平關係（一）直角的認1.直角的形成及角的分直角是人們觀察鉛直方向與水平方向所成之形象特徵 。學上， 角以邊所指的方向差的大小加以分， 角相等於一圓半徑繞圓心旋 轉四分之一圓時，則稱此角為直角 。以此定義，相等於半徑旋轉半個 圓時，稱為平角，小於直角，則稱為銳角，大於直角而小於平學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24角，則稱為鈍角，大於平角稱為優角，邊重疊的優角稱為周 角或全角。由於直角是構成生活中許多特殊圖形的基本要素，如正方形、長方形、 垂直與平關係的引出皆與直角息息相關，所以在中級教材中特別另 活動引導此概，至於平角、周角、銳角、鈍角，尚在小學教材的引導 內容中，此處加以討。2.兒童直角概的認知發展特徵Bryant ( 1974)的研究發現，5歲的兒童可以在一堆直角與非直角的 圖形卡中分辨出直角，同時發現，在一些直角的圖形中，角的邊是否呈水 平或鉛直，在比較角是否相等時，對於觀察者的反應有敏感的影響。 直角之比較，其開口方向同，如 Noss ( 1987 )發現到 50% 的 10 11 歲的兒童會認為二者相等。由此顯示傾斜擺置的直角常被確認，可 知在部分的兒童對直角的保概發展約在 1011 歲以後才較成熟。兒童 最初僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角。3. 直角概的建小學三級的學童，尚處於角概的啟蒙階段，對於直角僅是初 步的認。由於自一級開始引出正方形、長方形的觀察，此時兒童對 於這些圖形的特徵已有相當的認，因此，新課程用正方形和長方 形板上的角為觀察對象，引出直角名稱。再進各個具有明顯直角特徵物 件上的直角之比對，如找出三角板上的直角，並將其描繪在紙上，把直角 由實物上的象徵抽為紙上抽象的圖示，察覺在同方位上顯現的直角特 徵，再由檢驗周遭物件上的直角的特徵，引起折直角的動機，導出直角的 簡折法，以增進兒童對直角之認及瞭解其簡作法。(84 出版小學學實驗課程教師手冊第冊第九單元活動 5)二)直角概的應用學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/241.透過直角察覺直角三角形、正方形及長方形之特性在引出直角概之前，兒童對於三角形與四邊形構成要素邊、 角、頂點已有所認，但尚未進一步察覺其角開的特殊性。在 引出直角概之後，進一步引導兒童檢驗三角形、四邊形上各角開的差 ，使兒童察覺直角三角形上有一個角是直角，正方形和長方形上有四個 直角，使兒童對於這些圖形的構成要素特徵有進一步的認。2.垂直和平概垂直線：生活中所的垂直線，常指與水平面成直角的線，學上的 則稱交角的直線為互相垂直的線。平線：二直線方向相同，則為平線，或處處等距的直線為平 線。在平面上而言，可成任意延長相交的直線為平線。由以上概可知，直角定義為互相垂直的線，直線間的距，通常 指垂直直線的線段長，與直角關係亦密可分。四級的學童，對於長方形、正方形角的性質大已經熟悉，新課程 用此舊經驗，運用長條形物件（如竹簽、吸管等），排長方形，由相鄰 邊排成直角引出邊互相垂直的意義 ，再逐步延伸一直角的邊形成 T 及之形，以擴張直角邊互相垂直的意義至直線互相垂直的一 般現象。學童的簿本中，常畫有平的線條，五線譜亦為常的平等線。新課 程用這些兒童常的平線情境與一些歪斜線對照，引出平線的特徵 及用語，再用一張紙續折次直角的方式察覺同時垂直於第三條直線 的直線互相平之特徵，並以此特徵檢查再直線是否平。在兒童熟悉垂直線的特徵之後，再引導兒童試畫互相垂直的線，先由 兒童自思考試畫，然後共同討一般的畫法。在平線方面的畫圖亦仿 此策引導，使兒童經驗互相垂直及互相平和的直線之畫法。學科教材教法鄭詠文 488040188、黃卿如 4890011482005/3/24、結語新課程有關角的教學設計，特別注意學童的認知發展程序，從圖形角 的認到張開角以至旋轉角，分成三個階段引導，採用製作、描繪及觀 察，自實際生活現象中抽出概的原則，和舊課程中在同一時段即把這 些概直接灌輸給兒童的方式同，期望兒童有較長的時間解各種角概 ，從操作、反覆思考及共同討的學習活動中，對角的意義及其測 方法有正確的認，而將其活用於生活中，使學習有效果。七、考資：角的課程設計 好 國台中師範學院教育系